如果將一個帶把手的茶杯和一個甜甜圈放在一個人的面前，然後問他：這兩個東西有差別嗎？
一般人可能會回答：這根本就是兩個東西，還需要問有沒有差別嗎？
而拓撲學家則會回答：在一個更本質的層面上，這兩個東西沒有差別。
明明是兩個東西，怎麼會沒有差別呢？
因為在拓撲學家的眼中，茶杯和甜甜圈，可以通過這樣的變換而變成同一樣東西：
"如果將一個帶把手的茶杯和一個甜甜圈放在一個人的面前，然後問他：這兩個東西有差別嗎？
一般人可能會回答：這根本就是兩個東西，還需要問有沒有差別嗎？
而拓撲學家則會回答：在一個更本質的層面上，這兩個東西沒有差別。
明明是兩個東西，怎麼會沒有差別呢？
因為在拓撲學家的眼中，茶杯和甜甜圈，可以通過這樣的變換而變成同一樣東西：
是不是覺得很神奇？今天超模君就來講講這個被稱作“橡皮泥的幾何”的學科——拓撲學的前世今生。
拓撲學（Topology）是一門研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。也就是說，拓撲學所關注的，並不是傳統幾何學意義上的面積、體積、形狀等一系列的幾何特徵，而是一種更為基礎的“共性”和“個性”。
這種“共性”和“個性”會導致拓撲學對於幾何圖形和空間的分類，與傳統幾何的分類完全不一樣。在拓撲學中，大小和形狀會失去意義（但並非全部），圓、正方形和三角形是等價的——它們之間可以通過連續變換來與對方一樣；足球和橄欖球也是等價的。但是足球的表面和游泳圈的表面卻不是等價的，這也是為什麼說形狀並沒有失去全部意義的原因。
而率先察覺到這種“共性”和“個性”的人，是萊布尼茨。
"如果將一個帶把手的茶杯和一個甜甜圈放在一個人的面前，然後問他：這兩個東西有差別嗎？
一般人可能會回答：這根本就是兩個東西，還需要問有沒有差別嗎？
而拓撲學家則會回答：在一個更本質的層面上，這兩個東西沒有差別。
明明是兩個東西，怎麼會沒有差別呢？
因為在拓撲學家的眼中，茶杯和甜甜圈，可以通過這樣的變換而變成同一樣東西：
是不是覺得很神奇？今天超模君就來講講這個被稱作“橡皮泥的幾何”的學科——拓撲學的前世今生。
拓撲學（Topology）是一門研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。也就是說，拓撲學所關注的，並不是傳統幾何學意義上的面積、體積、形狀等一系列的幾何特徵，而是一種更為基礎的“共性”和“個性”。
這種“共性”和“個性”會導致拓撲學對於幾何圖形和空間的分類，與傳統幾何的分類完全不一樣。在拓撲學中，大小和形狀會失去意義（但並非全部），圓、正方形和三角形是等價的——它們之間可以通過連續變換來與對方一樣；足球和橄欖球也是等價的。但是足球的表面和游泳圈的表面卻不是等價的，這也是為什麼說形狀並沒有失去全部意義的原因。
而率先察覺到這種“共性”和“個性”的人，是萊布尼茨。
萊布尼茨：終於沒有人跟我爭了（看著牛頓）
然而萊布尼茨覺察到的契機並非來自對幾何圖形或空間的直接觀察，而是來自於對抽象符號的特殊偏好。這種特殊偏好使得萊布尼茨嘗試用抽象符號來表示物體幾何性質。
可是當萊布尼茨有這樣的想法時，笛卡爾早已創立了解析幾何，用代數來探討幾何性質不再是新奇的東西。結果萊布尼茨皺了皺眉頭，不滿道：笛卡爾的方法不好，因為有些幾何性質是跟幾何體的大小無關的。
儘管萊布尼茨察覺到這一點，但他很明顯還沒想明白到底有哪些幾何性質是與幾何體的大小無關的（哪怕一條性質也沒有給出），以至於他跟很多同時期的數學家提起這個觀點時，都是搖搖頭，沒有給予多少注意。
可是萊布尼茨沒有想到的是，他的這句話，在三百年之後，被兩個後輩發展成為拓撲學的主要內容。
時間來到18世紀，拓撲學在另一個人手裡得到了發展——他為拓撲學貢獻了兩條“最初的定理”。
他的名字，叫做歐拉。
"如果將一個帶把手的茶杯和一個甜甜圈放在一個人的面前，然後問他：這兩個東西有差別嗎？
一般人可能會回答：這根本就是兩個東西，還需要問有沒有差別嗎？
而拓撲學家則會回答：在一個更本質的層面上，這兩個東西沒有差別。
明明是兩個東西，怎麼會沒有差別呢？
因為在拓撲學家的眼中，茶杯和甜甜圈，可以通過這樣的變換而變成同一樣東西：
是不是覺得很神奇？今天超模君就來講講這個被稱作“橡皮泥的幾何”的學科——拓撲學的前世今生。
拓撲學（Topology）是一門研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。也就是說，拓撲學所關注的，並不是傳統幾何學意義上的面積、體積、形狀等一系列的幾何特徵，而是一種更為基礎的“共性”和“個性”。
這種“共性”和“個性”會導致拓撲學對於幾何圖形和空間的分類，與傳統幾何的分類完全不一樣。在拓撲學中，大小和形狀會失去意義（但並非全部），圓、正方形和三角形是等價的——它們之間可以通過連續變換來與對方一樣；足球和橄欖球也是等價的。但是足球的表面和游泳圈的表面卻不是等價的，這也是為什麼說形狀並沒有失去全部意義的原因。
而率先察覺到這種“共性”和“個性”的人，是萊布尼茨。
萊布尼茨：終於沒有人跟我爭了（看著牛頓）
然而萊布尼茨覺察到的契機並非來自對幾何圖形或空間的直接觀察，而是來自於對抽象符號的特殊偏好。這種特殊偏好使得萊布尼茨嘗試用抽象符號來表示物體幾何性質。
可是當萊布尼茨有這樣的想法時，笛卡爾早已創立了解析幾何，用代數來探討幾何性質不再是新奇的東西。結果萊布尼茨皺了皺眉頭，不滿道：笛卡爾的方法不好，因為有些幾何性質是跟幾何體的大小無關的。
儘管萊布尼茨察覺到這一點，但他很明顯還沒想明白到底有哪些幾何性質是與幾何體的大小無關的（哪怕一條性質也沒有給出），以至於他跟很多同時期的數學家提起這個觀點時，都是搖搖頭，沒有給予多少注意。
可是萊布尼茨沒有想到的是，他的這句話，在三百年之後，被兩個後輩發展成為拓撲學的主要內容。
時間來到18世紀，拓撲學在另一個人手裡得到了發展——他為拓撲學貢獻了兩條“最初的定理”。
他的名字，叫做歐拉。
歐拉：身為先驅者就要有這種俯視後輩的氣概
歐拉為拓撲學貢獻的第一條定理與普魯士的哥尼斯堡有關。在哥尼斯堡有一個公園，有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來（如下圖）。有人提出了這樣一個問題：一個步行者怎樣才能不重複、不遺漏地一次走完七座橋，最後回到出發點？
歐拉解決了這個問題，並將它轉化成一個“一筆畫”的幾何問題：如下圖中，如何只用一筆，就把整個圖形畫出來？
答案是不可能的，因為歐拉給出了這類“一筆畫”問題的充分必要條件：奇點的數目必須是0或者2。可以看到，在歐拉轉化出來的幾何問題中，線段圍成的圖形形狀是不重要的，只需要點的位置關係不改變就行。這就超越了傳統幾何學的研究範疇，而進入了拓撲學的領域。
所謂“奇點”，就是指連到該點的線段數目為奇數條。“七橋問題”中的四個點均為奇點，按照歐拉提出的充要條件，該問題不可能用“一筆畫”來解決。
歐拉貢獻的第二條定理同樣超越了傳統幾何學的範疇：如果一個凸多面體的頂點數為v，稜數為e，面數為f，那麼它們f+v-e=2。這個已經與萊布尼茨當初提出的想法相當接近了。
在歐拉之後，高斯於1833年用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數，使拓撲學中一個代表性的課題——扭結問題得以發展起來，讓拓撲學的內容進一步充實起來。
環繞數：是描述三維空間中兩條閉曲線環繞的一個數值不變量。直觀上，環繞數表示每一條曲線纏繞另一條曲線的次數。環繞數總是整數，但有可能取正數或負數，取決於這兩條曲線的定向。
扭結問題：是一個研究如何判斷繩子是否打結的課題，即當兩段閉合的繩子纏繞在一起時，如何只通過觀察，就判斷繩子間是否產生扭結的問題。除了判斷繩子是否打結以外，還有研究如何給扭結分類的問題。
在數學家們糾結著繩子打結的問題時，一個哥廷根大學的無薪講師，在他的就職演說中，將現代拓撲學帶到了世界上。
這位哥廷根大學的無薪講師，就是黎曼。
無薪講師：是指學校不提供固定的薪酬，收入完全來自於聽課學生所繳納的學費的講師。
"如果將一個帶把手的茶杯和一個甜甜圈放在一個人的面前，然後問他：這兩個東西有差別嗎？
一般人可能會回答：這根本就是兩個東西，還需要問有沒有差別嗎？
而拓撲學家則會回答：在一個更本質的層面上，這兩個東西沒有差別。
明明是兩個東西，怎麼會沒有差別呢？
因為在拓撲學家的眼中，茶杯和甜甜圈，可以通過這樣的變換而變成同一樣東西：
是不是覺得很神奇？今天超模君就來講講這個被稱作“橡皮泥的幾何”的學科——拓撲學的前世今生。
拓撲學（Topology）是一門研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。也就是說，拓撲學所關注的，並不是傳統幾何學意義上的面積、體積、形狀等一系列的幾何特徵，而是一種更為基礎的“共性”和“個性”。
這種“共性”和“個性”會導致拓撲學對於幾何圖形和空間的分類，與傳統幾何的分類完全不一樣。在拓撲學中，大小和形狀會失去意義（但並非全部），圓、正方形和三角形是等價的——它們之間可以通過連續變換來與對方一樣；足球和橄欖球也是等價的。但是足球的表面和游泳圈的表面卻不是等價的，這也是為什麼說形狀並沒有失去全部意義的原因。
而率先察覺到這種“共性”和“個性”的人，是萊布尼茨。
萊布尼茨：終於沒有人跟我爭了（看著牛頓）
然而萊布尼茨覺察到的契機並非來自對幾何圖形或空間的直接觀察，而是來自於對抽象符號的特殊偏好。這種特殊偏好使得萊布尼茨嘗試用抽象符號來表示物體幾何性質。
可是當萊布尼茨有這樣的想法時，笛卡爾早已創立了解析幾何，用代數來探討幾何性質不再是新奇的東西。結果萊布尼茨皺了皺眉頭，不滿道：笛卡爾的方法不好，因為有些幾何性質是跟幾何體的大小無關的。
儘管萊布尼茨察覺到這一點，但他很明顯還沒想明白到底有哪些幾何性質是與幾何體的大小無關的（哪怕一條性質也沒有給出），以至於他跟很多同時期的數學家提起這個觀點時，都是搖搖頭，沒有給予多少注意。
可是萊布尼茨沒有想到的是，他的這句話，在三百年之後，被兩個後輩發展成為拓撲學的主要內容。
時間來到18世紀，拓撲學在另一個人手裡得到了發展——他為拓撲學貢獻了兩條“最初的定理”。
他的名字，叫做歐拉。
歐拉：身為先驅者就要有這種俯視後輩的氣概
歐拉為拓撲學貢獻的第一條定理與普魯士的哥尼斯堡有關。在哥尼斯堡有一個公園，有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來（如下圖）。有人提出了這樣一個問題：一個步行者怎樣才能不重複、不遺漏地一次走完七座橋，最後回到出發點？
歐拉解決了這個問題，並將它轉化成一個“一筆畫”的幾何問題：如下圖中，如何只用一筆，就把整個圖形畫出來？
答案是不可能的，因為歐拉給出了這類“一筆畫”問題的充分必要條件：奇點的數目必須是0或者2。可以看到，在歐拉轉化出來的幾何問題中，線段圍成的圖形形狀是不重要的，只需要點的位置關係不改變就行。這就超越了傳統幾何學的研究範疇，而進入了拓撲學的領域。
所謂“奇點”，就是指連到該點的線段數目為奇數條。“七橋問題”中的四個點均為奇點，按照歐拉提出的充要條件，該問題不可能用“一筆畫”來解決。
歐拉貢獻的第二條定理同樣超越了傳統幾何學的範疇：如果一個凸多面體的頂點數為v，稜數為e，面數為f，那麼它們f+v-e=2。這個已經與萊布尼茨當初提出的想法相當接近了。
在歐拉之後，高斯於1833年用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數，使拓撲學中一個代表性的課題——扭結問題得以發展起來，讓拓撲學的內容進一步充實起來。
環繞數：是描述三維空間中兩條閉曲線環繞的一個數值不變量。直觀上，環繞數表示每一條曲線纏繞另一條曲線的次數。環繞數總是整數，但有可能取正數或負數，取決於這兩條曲線的定向。
扭結問題：是一個研究如何判斷繩子是否打結的課題，即當兩段閉合的繩子纏繞在一起時，如何只通過觀察，就判斷繩子間是否產生扭結的問題。除了判斷繩子是否打結以外，還有研究如何給扭結分類的問題。
在數學家們糾結著繩子打結的問題時，一個哥廷根大學的無薪講師，在他的就職演說中，將現代拓撲學帶到了世界上。
這位哥廷根大學的無薪講師，就是黎曼。
無薪講師：是指學校不提供固定的薪酬，收入完全來自於聽課學生所繳納的學費的講師。
黎曼：當個老師還要靠學生打賞來過日子……
不過黎曼的這場就職演說並非是輕鬆自在，或者說至少準備充足——因為學校委員會在黎曼提交的三個課題中，挑選了黎曼當時沒怎麼思考過的一個課題——關於幾何學的基本假設，來作為他的就職演說主題。
這下黎曼就懵了：你們委員會的想法怎麼那麼獨特？我拿了個不怎麼成熟的課題來湊個數，你們就看上了？！
"如果將一個帶把手的茶杯和一個甜甜圈放在一個人的面前，然後問他：這兩個東西有差別嗎？
一般人可能會回答：這根本就是兩個東西，還需要問有沒有差別嗎？
而拓撲學家則會回答：在一個更本質的層面上，這兩個東西沒有差別。
明明是兩個東西，怎麼會沒有差別呢？
因為在拓撲學家的眼中，茶杯和甜甜圈，可以通過這樣的變換而變成同一樣東西：
是不是覺得很神奇？今天超模君就來講講這個被稱作“橡皮泥的幾何”的學科——拓撲學的前世今生。
拓撲學（Topology）是一門研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。也就是說，拓撲學所關注的，並不是傳統幾何學意義上的面積、體積、形狀等一系列的幾何特徵，而是一種更為基礎的“共性”和“個性”。
這種“共性”和“個性”會導致拓撲學對於幾何圖形和空間的分類，與傳統幾何的分類完全不一樣。在拓撲學中，大小和形狀會失去意義（但並非全部），圓、正方形和三角形是等價的——它們之間可以通過連續變換來與對方一樣；足球和橄欖球也是等價的。但是足球的表面和游泳圈的表面卻不是等價的，這也是為什麼說形狀並沒有失去全部意義的原因。
而率先察覺到這種“共性”和“個性”的人，是萊布尼茨。
萊布尼茨：終於沒有人跟我爭了（看著牛頓）
然而萊布尼茨覺察到的契機並非來自對幾何圖形或空間的直接觀察，而是來自於對抽象符號的特殊偏好。這種特殊偏好使得萊布尼茨嘗試用抽象符號來表示物體幾何性質。
可是當萊布尼茨有這樣的想法時，笛卡爾早已創立了解析幾何，用代數來探討幾何性質不再是新奇的東西。結果萊布尼茨皺了皺眉頭，不滿道：笛卡爾的方法不好，因為有些幾何性質是跟幾何體的大小無關的。
儘管萊布尼茨察覺到這一點，但他很明顯還沒想明白到底有哪些幾何性質是與幾何體的大小無關的（哪怕一條性質也沒有給出），以至於他跟很多同時期的數學家提起這個觀點時，都是搖搖頭，沒有給予多少注意。
可是萊布尼茨沒有想到的是，他的這句話，在三百年之後，被兩個後輩發展成為拓撲學的主要內容。
時間來到18世紀，拓撲學在另一個人手裡得到了發展——他為拓撲學貢獻了兩條“最初的定理”。
他的名字，叫做歐拉。
歐拉：身為先驅者就要有這種俯視後輩的氣概
歐拉為拓撲學貢獻的第一條定理與普魯士的哥尼斯堡有關。在哥尼斯堡有一個公園，有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來（如下圖）。有人提出了這樣一個問題：一個步行者怎樣才能不重複、不遺漏地一次走完七座橋，最後回到出發點？
歐拉解決了這個問題，並將它轉化成一個“一筆畫”的幾何問題：如下圖中，如何只用一筆，就把整個圖形畫出來？
答案是不可能的，因為歐拉給出了這類“一筆畫”問題的充分必要條件：奇點的數目必須是0或者2。可以看到，在歐拉轉化出來的幾何問題中，線段圍成的圖形形狀是不重要的，只需要點的位置關係不改變就行。這就超越了傳統幾何學的研究範疇，而進入了拓撲學的領域。
所謂“奇點”，就是指連到該點的線段數目為奇數條。“七橋問題”中的四個點均為奇點，按照歐拉提出的充要條件，該問題不可能用“一筆畫”來解決。
歐拉貢獻的第二條定理同樣超越了傳統幾何學的範疇：如果一個凸多面體的頂點數為v，稜數為e，面數為f，那麼它們f+v-e=2。這個已經與萊布尼茨當初提出的想法相當接近了。
在歐拉之後，高斯於1833年用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數，使拓撲學中一個代表性的課題——扭結問題得以發展起來，讓拓撲學的內容進一步充實起來。
環繞數：是描述三維空間中兩條閉曲線環繞的一個數值不變量。直觀上，環繞數表示每一條曲線纏繞另一條曲線的次數。環繞數總是整數，但有可能取正數或負數，取決於這兩條曲線的定向。
扭結問題：是一個研究如何判斷繩子是否打結的課題，即當兩段閉合的繩子纏繞在一起時，如何只通過觀察，就判斷繩子間是否產生扭結的問題。除了判斷繩子是否打結以外，還有研究如何給扭結分類的問題。
在數學家們糾結著繩子打結的問題時，一個哥廷根大學的無薪講師，在他的就職演說中，將現代拓撲學帶到了世界上。
這位哥廷根大學的無薪講師，就是黎曼。
無薪講師：是指學校不提供固定的薪酬，收入完全來自於聽課學生所繳納的學費的講師。
黎曼：當個老師還要靠學生打賞來過日子……
不過黎曼的這場就職演說並非是輕鬆自在，或者說至少準備充足——因為學校委員會在黎曼提交的三個課題中，挑選了黎曼當時沒怎麼思考過的一個課題——關於幾何學的基本假設，來作為他的就職演說主題。
這下黎曼就懵了：你們委員會的想法怎麼那麼獨特？我拿了個不怎麼成熟的課題來湊個數，你們就看上了？！
加上當時黎曼還頗為貧困，新課題的壓力讓他一度情緒失控。（心疼黎曼一秒鐘）不過最終黎曼還是用7個星期準備好了演說，而且為了讓委員們清楚自己說的是啥，他全場只展示了一個公式，忽略了所有計算細節。儘管如此，委員們依舊錶示：
聽！不！懂！
萬幸的是，還是有人聽懂了，這個人就是前面提到的高斯先生。（然而他也是讓黎曼情緒失控的罪魁禍首——黎曼的就職演說主題就是他選的）
讓我們來看看黎曼到底在就職演說裡說了啥：
黎曼認為，幾何學的對象缺乏先驗的定義，歐幾里德的公理只是假設了未定義的幾何對象之間的關係，而我們卻不知道這些關係怎麼來的， 甚至不知道為什麼幾何對象之間會存在關係。
他認為，幾何對象應該是一些多度延展的量，體現出各種可能的度量性質。而我們生活的空間只是一個特殊的三度延展的量，因此歐幾里德的公理只能從經驗導出，而不是幾何對象基本定義的推論。歐氏幾何的公理和定理根本就只是假設而已。但是，我們可以考察這些定理成立的可能性，然後再試圖把它們推廣到我們日常觀察的範圍之外的幾何。
他給這些多度延展的量取了個名字——德文寫作 mannigfaltigkeit, 英文翻譯為 manifold，意為“多層”。中國第一個拓撲學家江澤涵將其譯作“流形”，即“多樣化的形體”。
黎曼還提出了“n維流形”的概念，即流形的局部與 n 維歐氏空間的局部具有相同的拓撲性質，並闡述了關於延展性、維數、以及將延展性數量化的想法。而這些集合起來，恰恰是現代拓撲學研究的主要內容。
在黎曼之後，龐加萊繼續研究黎曼留下來的n維流形，他創立了用剖分來研究流形的基本方法，同時引進了許多不變量：基本群、同調、貝蒂數、撓係數。不過最著名的，還是他在研究三維流形時留下的“龐加萊猜想”：任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。
簡單說，一個閉的三維流形就是一個有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。
"如果將一個帶把手的茶杯和一個甜甜圈放在一個人的面前，然後問他：這兩個東西有差別嗎？
一般人可能會回答：這根本就是兩個東西，還需要問有沒有差別嗎？
而拓撲學家則會回答：在一個更本質的層面上，這兩個東西沒有差別。
明明是兩個東西，怎麼會沒有差別呢？
因為在拓撲學家的眼中，茶杯和甜甜圈，可以通過這樣的變換而變成同一樣東西：
是不是覺得很神奇？今天超模君就來講講這個被稱作“橡皮泥的幾何”的學科——拓撲學的前世今生。
拓撲學（Topology）是一門研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的學科。也就是說，拓撲學所關注的，並不是傳統幾何學意義上的面積、體積、形狀等一系列的幾何特徵，而是一種更為基礎的“共性”和“個性”。
這種“共性”和“個性”會導致拓撲學對於幾何圖形和空間的分類，與傳統幾何的分類完全不一樣。在拓撲學中，大小和形狀會失去意義（但並非全部），圓、正方形和三角形是等價的——它們之間可以通過連續變換來與對方一樣；足球和橄欖球也是等價的。但是足球的表面和游泳圈的表面卻不是等價的，這也是為什麼說形狀並沒有失去全部意義的原因。
而率先察覺到這種“共性”和“個性”的人，是萊布尼茨。
萊布尼茨：終於沒有人跟我爭了（看著牛頓）
然而萊布尼茨覺察到的契機並非來自對幾何圖形或空間的直接觀察，而是來自於對抽象符號的特殊偏好。這種特殊偏好使得萊布尼茨嘗試用抽象符號來表示物體幾何性質。
可是當萊布尼茨有這樣的想法時，笛卡爾早已創立了解析幾何，用代數來探討幾何性質不再是新奇的東西。結果萊布尼茨皺了皺眉頭，不滿道：笛卡爾的方法不好，因為有些幾何性質是跟幾何體的大小無關的。
儘管萊布尼茨察覺到這一點，但他很明顯還沒想明白到底有哪些幾何性質是與幾何體的大小無關的（哪怕一條性質也沒有給出），以至於他跟很多同時期的數學家提起這個觀點時，都是搖搖頭，沒有給予多少注意。
可是萊布尼茨沒有想到的是，他的這句話，在三百年之後，被兩個後輩發展成為拓撲學的主要內容。
時間來到18世紀，拓撲學在另一個人手裡得到了發展——他為拓撲學貢獻了兩條“最初的定理”。
他的名字，叫做歐拉。
歐拉：身為先驅者就要有這種俯視後輩的氣概
歐拉為拓撲學貢獻的第一條定理與普魯士的哥尼斯堡有關。在哥尼斯堡有一個公園，有七座橋將普雷格爾河中兩個島及島與河岸連接起來（如下圖）。有人提出了這樣一個問題：一個步行者怎樣才能不重複、不遺漏地一次走完七座橋，最後回到出發點？
歐拉解決了這個問題，並將它轉化成一個“一筆畫”的幾何問題：如下圖中，如何只用一筆，就把整個圖形畫出來？
答案是不可能的，因為歐拉給出了這類“一筆畫”問題的充分必要條件：奇點的數目必須是0或者2。可以看到，在歐拉轉化出來的幾何問題中，線段圍成的圖形形狀是不重要的，只需要點的位置關係不改變就行。這就超越了傳統幾何學的研究範疇，而進入了拓撲學的領域。
所謂“奇點”，就是指連到該點的線段數目為奇數條。“七橋問題”中的四個點均為奇點，按照歐拉提出的充要條件，該問題不可能用“一筆畫”來解決。
歐拉貢獻的第二條定理同樣超越了傳統幾何學的範疇：如果一個凸多面體的頂點數為v，稜數為e，面數為f，那麼它們f+v-e=2。這個已經與萊布尼茨當初提出的想法相當接近了。
在歐拉之後，高斯於1833年用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數，使拓撲學中一個代表性的課題——扭結問題得以發展起來，讓拓撲學的內容進一步充實起來。
環繞數：是描述三維空間中兩條閉曲線環繞的一個數值不變量。直觀上，環繞數表示每一條曲線纏繞另一條曲線的次數。環繞數總是整數，但有可能取正數或負數，取決於這兩條曲線的定向。
扭結問題：是一個研究如何判斷繩子是否打結的課題，即當兩段閉合的繩子纏繞在一起時，如何只通過觀察，就判斷繩子間是否產生扭結的問題。除了判斷繩子是否打結以外，還有研究如何給扭結分類的問題。
在數學家們糾結著繩子打結的問題時，一個哥廷根大學的無薪講師，在他的就職演說中，將現代拓撲學帶到了世界上。
這位哥廷根大學的無薪講師，就是黎曼。
無薪講師：是指學校不提供固定的薪酬，收入完全來自於聽課學生所繳納的學費的講師。
黎曼：當個老師還要靠學生打賞來過日子……
不過黎曼的這場就職演說並非是輕鬆自在，或者說至少準備充足——因為學校委員會在黎曼提交的三個課題中，挑選了黎曼當時沒怎麼思考過的一個課題——關於幾何學的基本假設，來作為他的就職演說主題。
這下黎曼就懵了：你們委員會的想法怎麼那麼獨特？我拿了個不怎麼成熟的課題來湊個數，你們就看上了？！
加上當時黎曼還頗為貧困，新課題的壓力讓他一度情緒失控。（心疼黎曼一秒鐘）不過最終黎曼還是用7個星期準備好了演說，而且為了讓委員們清楚自己說的是啥，他全場只展示了一個公式，忽略了所有計算細節。儘管如此，委員們依舊錶示：
聽！不！懂！
萬幸的是，還是有人聽懂了，這個人就是前面提到的高斯先生。（然而他也是讓黎曼情緒失控的罪魁禍首——黎曼的就職演說主題就是他選的）
讓我們來看看黎曼到底在就職演說裡說了啥：
黎曼認為，幾何學的對象缺乏先驗的定義，歐幾里德的公理只是假設了未定義的幾何對象之間的關係，而我們卻不知道這些關係怎麼來的， 甚至不知道為什麼幾何對象之間會存在關係。
他認為，幾何對象應該是一些多度延展的量，體現出各種可能的度量性質。而我們生活的空間只是一個特殊的三度延展的量，因此歐幾里德的公理只能從經驗導出，而不是幾何對象基本定義的推論。歐氏幾何的公理和定理根本就只是假設而已。但是，我們可以考察這些定理成立的可能性，然後再試圖把它們推廣到我們日常觀察的範圍之外的幾何。
他給這些多度延展的量取了個名字——德文寫作 mannigfaltigkeit, 英文翻譯為 manifold，意為“多層”。中國第一個拓撲學家江澤涵將其譯作“流形”，即“多樣化的形體”。
黎曼還提出了“n維流形”的概念，即流形的局部與 n 維歐氏空間的局部具有相同的拓撲性質，並闡述了關於延展性、維數、以及將延展性數量化的想法。而這些集合起來，恰恰是現代拓撲學研究的主要內容。
在黎曼之後，龐加萊繼續研究黎曼留下來的n維流形，他創立了用剖分來研究流形的基本方法，同時引進了許多不變量：基本群、同調、貝蒂數、撓係數。不過最著名的，還是他在研究三維流形時留下的“龐加萊猜想”：任何一個單連通的，閉的三維流形一定同胚於一個三維的球面。
簡單說，一個閉的三維流形就是一個有邊界的三維空間；單連通就是這個空間中每條封閉的曲線都可以連續的收縮成一點，或者說在一個封閉的三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球。
到現在為止，拓撲學已經發展出幾個成熟的分支：點集拓撲、代數拓撲、同微分拓撲。這些分支學科極大地拓寬了拓撲學的研究範圍和研究手段，並且使拓撲學與其他學科產生了意義深遠的聯繫，如物理中的超導現象，就需要拓撲學的理論支持。
點集拓撲：有時也被稱為一般拓撲學，它研究拓撲空間以及定義在其上的數學結構的基本性質。
代數拓撲：使用抽象代數的工具來研究拓撲空間的數學分支。
微分拓撲：研究微分流形和可微映射的一個數學分支。微分流形除了是拓撲流形外,還有一個微分結構。
也許看到這裡，很多模友依舊不能很好地理解拓撲學到底研究的是什麼，這並不要緊——因為這是一門異常艱深的學科。而我們現在所需要了解的，是要永遠保持一顆求知的心，不要被已有的認知所束縛，就像拓撲學家面對茶杯和甜甜圈時，能夠說出的那句話一樣：“在一個更本質的層面上，這兩個東西沒有任何差別。”
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