為什麼人們說克萊因瓶造不出來？可那瓶子看起來好像可以造啊？
因為你看見的實際上只是一個三維的投影，但克萊因瓶實際是四維的物體。克萊因瓶是科學家們臆想的一個物體，主要幫助我們理解四維的一些特性。
為什麼不少人認為克萊因瓶容易造?
因為你看見的實際上只是一個三維的投影，但克萊因瓶實際是四維的物體。克萊因瓶是科學家們臆想的一個物體，主要幫助我們理解四維的一些特性。
為什麼不少人認為克萊因瓶容易造?
因為我們所有人看到的克萊因瓶簡化後都是上圖這樣的，我們會清楚的看到扭轉過來瓶體從瓶身中穿過。所以這個瓶子很容易造啊。比如下圖這樣。
因為你看見的實際上只是一個三維的投影，但克萊因瓶實際是四維的物體。克萊因瓶是科學家們臆想的一個物體，主要幫助我們理解四維的一些特性。
為什麼不少人認為克萊因瓶容易造?
因為我們所有人看到的克萊因瓶簡化後都是上圖這樣的，我們會清楚的看到扭轉過來瓶體從瓶身中穿過。所以這個瓶子很容易造啊。比如下圖這樣。
看，一個克萊因瓶造出來了。
可是這完全只是一個三維認知的仿克萊因瓶，並不是德國幾何學大師菲立克斯·克萊因 (Felix Klein)所描述的不分內外的奇異瓶子。
克萊因瓶實質是指一種無定向性的平面，就像莫比烏斯環一樣，如下圖
因為你看見的實際上只是一個三維的投影，但克萊因瓶實際是四維的物體。克萊因瓶是科學家們臆想的一個物體，主要幫助我們理解四維的一些特性。
為什麼不少人認為克萊因瓶容易造?
因為我們所有人看到的克萊因瓶簡化後都是上圖這樣的，我們會清楚的看到扭轉過來瓶體從瓶身中穿過。所以這個瓶子很容易造啊。比如下圖這樣。
看，一個克萊因瓶造出來了。
可是這完全只是一個三維認知的仿克萊因瓶，並不是德國幾何學大師菲立克斯·克萊因 (Felix Klein)所描述的不分內外的奇異瓶子。
克萊因瓶實質是指一種無定向性的平面，就像莫比烏斯環一樣，如下圖
一個不分正反的扭曲循環的面。
而我們之所以能做出莫比烏斯環，是因為我們在一個三維空間中，在比二維多的一個維度中扭轉這個平面，首尾相接就能搞定。
而克萊因瓶就是莫比烏斯環的三維升級版。
為什麼實際上我們根本造不出來？
正如莫比烏斯環要在三維空間中才能製作出來，克萊因瓶就必須在四維空間中才能製作出來。沒有多出來這一個維度空間，我們無法扭轉三維的物體使它首尾相接。
所以克萊因瓶實際上是四維空間中的一個扭曲的面。
真正的克萊因瓶是不會和瓶體相交的。這樣的形象，作為三維世界的我們，只可意會不可言傳，當然更不可圖繪。
但我們又有極強的表現欲啊，畫不出真的模樣，就搞個高仿嘛。
所以對於那些只是看到我們畫的高仿圖，而沒有了解克萊因瓶真正含義的人來說，這個瓶子製作其實很簡單嘛，實際上我們與克萊因瓶隔著無法逾越的天塹鴻溝。
克萊因瓶的意義是什麼?
人類之所以比其他生物優秀，就是我們總是敢於去思考一些挑戰現實的事情，也喜歡去設計許多的思想實驗。
而克萊因瓶就是幾何大牛菲立克斯·克萊因設計出來挑戰四維空間認知的神器，我們把不屬於我們這個世界的東西通過想象去刻畫出來，以鍛鍊我們的思維能力。
“如果能擁有一個沒有正反的平面，為什麼不能擁有一個沒有內外的三維立體？”
這就是菲立克斯·克萊因用克萊因瓶給人類提出的一個空間思考命題。
總結一下
克萊因瓶能不能造出來其實不重要，重要的是能不能想到，作為探知宇宙才剛剛起步的人類，誰知道真正的宇宙到底是什麼樣子的？
整個人類文明不過還是一個坐在宏大宮殿角落裡畫著小圈圈的孩子而已。
我們日常生活中看到的“克萊因瓶”實際上是真正的“克萊因瓶”在三維空間中的類似，要想完美的呈現出克萊因瓶需要額外的一個空間維度。而克萊因瓶在三維空間中它的瓶頸和瓶身是相交的，這意味著某些位置佔據了一個空間維度。
我們日常生活中看到的“克萊因瓶”實際上是真正的“克萊因瓶”在三維空間中的類似，要想完美的呈現出克萊因瓶需要額外的一個空間維度。而克萊因瓶在三維空間中它的瓶頸和瓶身是相交的，這意味著某些位置佔據了一個空間維度。
因為目前為止四維空間只在數學公式中出現，在現實生活中它們並不存在，所以真正的克萊因瓶是造不出來的，在市場上出現的克萊因瓶只是一種近似物。
我們日常生活中看到的“克萊因瓶”實際上是真正的“克萊因瓶”在三維空間中的類似，要想完美的呈現出克萊因瓶需要額外的一個空間維度。而克萊因瓶在三維空間中它的瓶頸和瓶身是相交的，這意味著某些位置佔據了一個空間維度。
因為目前為止四維空間只在數學公式中出現，在現實生活中它們並不存在，所以真正的克萊因瓶是造不出來的，在市場上出現的克萊因瓶只是一種近似物。
上邊的圖片展示的是相交的兩個繩環，實際上它們是相互穿過的，這種性質只能在三維空間上展示，但是當被拍成照片變成二維空間的時候，繩環就交叉了。它們需要額外的一個空間維度，讓彼此不交叉。這在原理上和克萊因瓶類似，因為少了一個空間維度，生產出來的克萊因瓶在瓶頸和瓶身交叉的地方就共用了一個空間維度。
如果克萊因瓶在四維空間展示，瓶頸和瓶身並不會相交。跟克萊因瓶比較類似的就是莫比烏斯環，莫比烏斯魂是一個沒有正反面的平面，而克萊因瓶就是一個沒有內外之分的立體模型。
我們日常生活中看到的“克萊因瓶”實際上是真正的“克萊因瓶”在三維空間中的類似，要想完美的呈現出克萊因瓶需要額外的一個空間維度。而克萊因瓶在三維空間中它的瓶頸和瓶身是相交的，這意味著某些位置佔據了一個空間維度。
因為目前為止四維空間只在數學公式中出現，在現實生活中它們並不存在，所以真正的克萊因瓶是造不出來的，在市場上出現的克萊因瓶只是一種近似物。
上邊的圖片展示的是相交的兩個繩環，實際上它們是相互穿過的，這種性質只能在三維空間上展示，但是當被拍成照片變成二維空間的時候，繩環就交叉了。它們需要額外的一個空間維度，讓彼此不交叉。這在原理上和克萊因瓶類似，因為少了一個空間維度，生產出來的克萊因瓶在瓶頸和瓶身交叉的地方就共用了一個空間維度。
如果克萊因瓶在四維空間展示，瓶頸和瓶身並不會相交。跟克萊因瓶比較類似的就是莫比烏斯環，莫比烏斯魂是一個沒有正反面的平面，而克萊因瓶就是一個沒有內外之分的立體模型。
假如我們的宇宙就是類似的模型，那我們將永遠都到不了邊界，朝著一個方向一直前進最終將返回起點。這一點上愛因斯坦的廣義相對論就有過考慮，時空是可以彎曲的，如果不同時間不同地點的兩個位置因為時空的彎曲結合到一起，那麼穿過這個點意味著穿越了時空，這個點就是“蟲洞”。
我們日常生活中看到的“克萊因瓶”實際上是真正的“克萊因瓶”在三維空間中的類似，要想完美的呈現出克萊因瓶需要額外的一個空間維度。而克萊因瓶在三維空間中它的瓶頸和瓶身是相交的，這意味著某些位置佔據了一個空間維度。
因為目前為止四維空間只在數學公式中出現，在現實生活中它們並不存在，所以真正的克萊因瓶是造不出來的，在市場上出現的克萊因瓶只是一種近似物。
上邊的圖片展示的是相交的兩個繩環，實際上它們是相互穿過的，這種性質只能在三維空間上展示，但是當被拍成照片變成二維空間的時候，繩環就交叉了。它們需要額外的一個空間維度，讓彼此不交叉。這在原理上和克萊因瓶類似，因為少了一個空間維度，生產出來的克萊因瓶在瓶頸和瓶身交叉的地方就共用了一個空間維度。
如果克萊因瓶在四維空間展示，瓶頸和瓶身並不會相交。跟克萊因瓶比較類似的就是莫比烏斯環，莫比烏斯魂是一個沒有正反面的平面，而克萊因瓶就是一個沒有內外之分的立體模型。
假如我們的宇宙就是類似的模型，那我們將永遠都到不了邊界，朝著一個方向一直前進最終將返回起點。這一點上愛因斯坦的廣義相對論就有過考慮，時空是可以彎曲的，如果不同時間不同地點的兩個位置因為時空的彎曲結合到一起，那麼穿過這個點意味著穿越了時空，這個點就是“蟲洞”。
如果有一天能親眼所見真正的克萊因瓶，那絕對是人類的科技水平、理論水平已經達到了非常高的層次，並且也發現證明了四維空間的存在，否則真正的克萊因瓶是無法體現在我們眼前的。
克萊因瓶真的很神奇，我們雖然目前無法證明四維空間的存在，但是聰明的數學家貌似已經想象出了四維空間中的物體，那就是克萊因瓶。
我們日常生活中看到的“克萊因瓶”實際上是真正的“克萊因瓶”在三維空間中的類似，要想完美的呈現出克萊因瓶需要額外的一個空間維度。而克萊因瓶在三維空間中它的瓶頸和瓶身是相交的，這意味著某些位置佔據了一個空間維度。
因為目前為止四維空間只在數學公式中出現，在現實生活中它們並不存在，所以真正的克萊因瓶是造不出來的，在市場上出現的克萊因瓶只是一種近似物。
上邊的圖片展示的是相交的兩個繩環，實際上它們是相互穿過的，這種性質只能在三維空間上展示，但是當被拍成照片變成二維空間的時候，繩環就交叉了。它們需要額外的一個空間維度，讓彼此不交叉。這在原理上和克萊因瓶類似，因為少了一個空間維度，生產出來的克萊因瓶在瓶頸和瓶身交叉的地方就共用了一個空間維度。
如果克萊因瓶在四維空間展示，瓶頸和瓶身並不會相交。跟克萊因瓶比較類似的就是莫比烏斯環，莫比烏斯魂是一個沒有正反面的平面，而克萊因瓶就是一個沒有內外之分的立體模型。
假如我們的宇宙就是類似的模型，那我們將永遠都到不了邊界，朝著一個方向一直前進最終將返回起點。這一點上愛因斯坦的廣義相對論就有過考慮，時空是可以彎曲的，如果不同時間不同地點的兩個位置因為時空的彎曲結合到一起，那麼穿過這個點意味著穿越了時空，這個點就是“蟲洞”。
如果有一天能親眼所見真正的克萊因瓶，那絕對是人類的科技水平、理論水平已經達到了非常高的層次，並且也發現證明了四維空間的存在，否則真正的克萊因瓶是無法體現在我們眼前的。
克萊因瓶真的很神奇，我們雖然目前無法證明四維空間的存在，但是聰明的數學家貌似已經想象出了四維空間中的物體，那就是克萊因瓶。
這麼和你講，真正的克萊因瓶，瓶底就是瓶嘴，同時要求瓶身不能相交的，在三維空間中你壓根想象不出來是個啥樣的造型，但我們現在看到所有造出來的克萊因瓶，只表達了瓶嘴就是瓶底這個概念，但瓶身相交叉了，，，因為在三維空間中，根本造不出來不交叉的克萊因瓶。所以，你看到的只是四維空間的瓶子投影在三維空間中的部分（看下面這張圖）。
這麼和你講，真正的克萊因瓶，瓶底就是瓶嘴，同時要求瓶身不能相交的，在三維空間中你壓根想象不出來是個啥樣的造型，但我們現在看到所有造出來的克萊因瓶，只表達了瓶嘴就是瓶底這個概念，但瓶身相交叉了，，，因為在三維空間中，根本造不出來不交叉的克萊因瓶。所以，你看到的只是四維空間的瓶子投影在三維空間中的部分（看下面這張圖）。
你無法理解的話，你可以降低一個維度來理解，例如我們生活中經常看到這種手抓太陽效果的照片，其實，就是把三維的事物投影到二維空間的效果，我們生活的空間就是三維，而相機拍的照片是二維空間，我們把生活中的場景拍到照片裡面，就會因為少了一個維度而產生片面的視覺效果。
克萊因瓶是一個拓撲學上概念，在拓撲學中，克萊因瓶（Klein Bottle）是一個不可定向的拓撲空間。他的本質是一個不可定向的二維緊流形，是一張無定向性的平面，沒有“內部”和“外部”之分。最初由德國數學家菲利克斯·克萊因提出的。
其數學表達公式如下：
克萊因瓶是一個拓撲學上概念，在拓撲學中，克萊因瓶（Klein Bottle）是一個不可定向的拓撲空間。他的本質是一個不可定向的二維緊流形，是一張無定向性的平面，沒有“內部”和“外部”之分。最初由德國數學家菲利克斯·克萊因提出的。
其數學表達公式如下：
由公式可知，克萊因瓶是一個存在於四維空間才能表現出來的曲面，但由於我們生活的空間是三維的，所以凡是可以畫出來的克萊因瓶都是其在三維空間的投影。
由於四維空間無法真實的感受出來，所以我先用三維對二維的投影來闡述四維對三維的投影
(1) 三維在二維的投影
克萊因瓶是一個拓撲學上概念，在拓撲學中，克萊因瓶（Klein Bottle）是一個不可定向的拓撲空間。他的本質是一個不可定向的二維緊流形，是一張無定向性的平面，沒有“內部”和“外部”之分。最初由德國數學家菲利克斯·克萊因提出的。
其數學表達公式如下：
由公式可知，克萊因瓶是一個存在於四維空間才能表現出來的曲面，但由於我們生活的空間是三維的，所以凡是可以畫出來的克萊因瓶都是其在三維空間的投影。
由於四維空間無法真實的感受出來，所以我先用三維對二維的投影來闡述四維對三維的投影
(1) 三維在二維的投影
如圖所示的一個三維圖像，其在X軸的投影為圓形，在Y軸上的投影是三角形，在Z軸上的投影是正方形。對二維世界人來說，從不同的角度觀察一個三維圖像，就猶如盲人摸象，摸到的只是三維圖像的一部分特性而已。
(2)克萊因瓶在三維空間的投影
克萊因瓶是一個拓撲學上概念，在拓撲學中，克萊因瓶（Klein Bottle）是一個不可定向的拓撲空間。他的本質是一個不可定向的二維緊流形，是一張無定向性的平面，沒有“內部”和“外部”之分。最初由德國數學家菲利克斯·克萊因提出的。
其數學表達公式如下：
由公式可知，克萊因瓶是一個存在於四維空間才能表現出來的曲面，但由於我們生活的空間是三維的，所以凡是可以畫出來的克萊因瓶都是其在三維空間的投影。
由於四維空間無法真實的感受出來，所以我先用三維對二維的投影來闡述四維對三維的投影
(1) 三維在二維的投影
如圖所示的一個三維圖像，其在X軸的投影為圓形，在Y軸上的投影是三角形，在Z軸上的投影是正方形。對二維世界人來說，從不同的角度觀察一個三維圖像，就猶如盲人摸象，摸到的只是三維圖像的一部分特性而已。
(2)克萊因瓶在三維空間的投影
克萊因瓶是一個拓撲學上概念，在拓撲學中，克萊因瓶（Klein Bottle）是一個不可定向的拓撲空間。他的本質是一個不可定向的二維緊流形，是一張無定向性的平面，沒有“內部”和“外部”之分。最初由德國數學家菲利克斯·克萊因提出的。
其數學表達公式如下：
由公式可知，克萊因瓶是一個存在於四維空間才能表現出來的曲面，但由於我們生活的空間是三維的，所以凡是可以畫出來的克萊因瓶都是其在三維空間的投影。
由於四維空間無法真實的感受出來，所以我先用三維對二維的投影來闡述四維對三維的投影
(1) 三維在二維的投影
如圖所示的一個三維圖像，其在X軸的投影為圓形，在Y軸上的投影是三角形，在Z軸上的投影是正方形。對二維世界人來說，從不同的角度觀察一個三維圖像，就猶如盲人摸象，摸到的只是三維圖像的一部分特性而已。
(2)克萊因瓶在三維空間的投影
下圖為經常使用的克萊因瓶在三維的一個經典投影，也有助於我們理解克萊因瓶的本質，在四維空間中克萊因瓶瓶頸是通過第四維空間和瓶底相連的，投影在三維空間上，肉眼上看就感覺瓶頸是穿過瓶壁，但其實他們並不相交。但此投影可以看出一些克萊因瓶的本質——一個沒有“內部”和“外部”之分的二維緊流形。 假設有一隻蜜蜂在瓶中，則他不用穿過瓶壁，只需要沿著二維面便可以飛出克萊因瓶。即他是一個扭曲的二維面。
不要自欺欺人啦，不要說克萊因瓶，就是連莫比烏斯環都是假的，莫比烏斯環做二維面的扭曲，理論上是沒有厚度的，那怎麼能在所謂的三維空間裡製作出來？莫比烏斯環與克萊因瓶只是概念，不是所有的概念都能轉化為現實，這類概念的真正意義是鍛鍊人類的思維深度，如果不能自控，研究者將毀於這種概念鍛鍊，我的判斷是（不敢稱為預言），人類如果如此不加節制的探究下去，最終將滅於瘋狂。
克萊因真會想，居然想出一個做不出來的克萊因瓶。能夠想其實不算什麼，如果拼想象，我比你更會想：我有一個你做不出來的盒子，這個盒子可以裝無數個克萊因瓶，還可以裝得下無數個宇宙。厲害吧？
克萊因真會想，居然想出一個做不出來的克萊因瓶。能夠想其實不算什麼，如果拼想象，我比你更會想：我有一個你做不出來的盒子，這個盒子可以裝無數個克萊因瓶，還可以裝得下無數個宇宙。厲害吧？
這瓶子你連畫都畫不出來，如何製造？你看到的圖片是一個低維度的產物，涉及四維的部分沒畫出來，也畫不出來。你看它內部和外部有個管子相連，其實那管子壓根沒有穿過瓶身，而是以一種匪夷所思的方式連接內部和外部，在我看來就好像那裡有一個傳送門。
都說克萊因瓶裝不滿，反向思維，把克萊因瓶扔到裝滿水的箱子裡或者幾米深的和李，到底是裝不滿，還是被淹沒，到底是瓶子還是個通道？
四維空間的東西三圍空間是製造不出來，舉個例子。你在二維的紙上是可以畫出很像真的的橘子，但是它並不是橘子，橘子只能在三維空間裡才能創造出來。所以你在三維空間製造的萊茵瓶，只是像萊茵瓶而不是萊茵瓶，萊茵瓶只能在四維空間才能製造出來。
為什麼這些東西都是外國名字呢？
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