寫作14個月，審稿花10年：這篇論文解決了數學物理界的大問題

有沒有興趣

來做題

在普林斯頓大學的某個網站至今仍保留著上世紀的頁面風格。

這個簡陋的網站上只有紅色、藍色、紫色和橙色的文字，以及一系列難懂的短語列表，如“不可能性定理”、“自旋玻璃態”和“費米氣體”。

這就是“數學物理開放問題”（Open Problems in Mathematical Physics）的網站，它列出了數學物理學中最令人費解的 13 道數學難題。

這13道題也是普林斯頓大學的物理和數學教授Michael Aizenman，在20世紀末，所收集整理的“願望清單”。

解開其中任一難題，都可能為你贏得數學界的“諾貝爾獎”——菲爾茲獎。所以對科學家來說，解開其中任意一題，都是至高無上的榮譽。

網站還很少女性的在已經解決了的問題旁標識一個“已解決！”的卡通爆炸圖案。

在這些棘手的問題當中，有一個問題叫量子霍爾電導問題（quantum Hall conductance problem）折磨了數學家們多年。

雖然在物理界，很少有人聽說過，但它與量子技術的實際應用有著緊密關係。

在問題毫無進展之時，一位來自希臘名為Spyridon Michalakis的新人聲稱得到了答案。

數學狂熱分子

Spyridon Michalakis 出生於希臘，從小就熱愛數學，並展現出過人的數學天賦。

Spyridon Michalakis

1994年，他的哥哥在全國數學競賽上失利，而當時才14 歲的 Spyridon拿到卷子， 只花了三天就解出了那份試卷上的問題。

成績優異的他也一路開掛，在獲得量子信息科學博士學位後，Michalakis 來到新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯國家實驗室，開啟他學術職業生涯。

一天，他與導師 Matthew Hastings 在一家壽司店共進午餐。

Hastings 問：“你是想現在就做些有趣的工作，還是先熱熱身？”

Michalakis 說，他已經準備好迎接挑戰。

當天晚上，Hastings 給他發送了那個普林斯頓大學的復古網頁鏈接，說道：“這些是由數學物理學家 Michael Aizenman 於 1998 年至 1999 年間收集的難題，你只要能做出來就算你厲害。”

Michalakis瀏覽了網頁後發現，只有一個問題旁邊貼上了卡通爆炸圖案，儘管它只是被部分解決了。

他發現，即便是這個部分的解決方案，但也為兩位數學家分別贏得了 2006 年和 2010 年的菲爾茲獎章。

原來Hastings 想讓他嘗試的是量子霍爾電導問題，而 Michalakis 此前從未聽說過它。

Matthew Hastings

但既然給了任務，那就去嘗試吧，畢竟就算解決部分問題，也能獲得一些榮譽！

那量子霍爾效應是什麼呢？

這個問題於1999年被首次提出，與“量子霍爾效應”相關。

1879 年，物理學家埃德溫·霍爾（Edwin Hall）發現，當電流通過金屬片時，在垂直方向施加磁場，一小部分電流會發生偏轉。

經典霍爾效應是帶電粒子在磁場中運動的簡單結果。

這裡顯示的是一個簡單的實驗示意圖：開啟一個指向z-方向的恆定磁場（B）；在x-方向上存在一個恆定的電流（I）；同時，電子只能在於（x，y）平面內。根據霍爾定律，這樣的設置會在y-方向產生電壓（V）。霍爾效應之所以會出現，是因為磁場會使得帶電粒子繞圈圈運動。

1980 年，德國物理學家馮·克利青（Klaus von Klitzing）的重複實驗確證了這一效應，這次電流通過的是冷卻到接近絕對零度的金屬和半導體之間的薄界面。

在這些條件下，電流是二維的，正如超薄石墨烯材料一樣，二維完全改變了它的性質。

馮·克利青發現，如果緩慢增加磁場強度，偏轉的電流並不會像預期般穩定增長，而是發生階躍（current step）。

也就是說，電流表現得更像量子世界的粒子一樣，有特定的能級，只不過這是在日常生活中可見的量子行為。

這一發現也讓馮·克利青獲得了1985年的諾貝爾物理學獎。

1982 年，AT&T 貝爾實驗室的研究人員改進了這一實驗，這進一步加深了人們的興趣。他們在實驗中使用了更強的磁場和更低的溫度，發現在原來的能量階躍之間還有等分的新階躍。

他們給這一新現象起了專屬的名字：分數量子霍爾效應（fractional quantum Hall effect）。

量子霍爾效應有兩種，分別是整數和分數量子霍爾效應。

兩種效應的發現都是先源於實驗，之後才發展了相關的理論基礎。

整數和分數量子霍爾效應都表明，這些系統中的電子在某種程度上會以一種統一的、整體的方式相互作用，儘管通常它們會表現得像一個個乒乓球一樣相互彈開。

即使物理學家已經在這一領域取得了如此多的重大進展，但關於電子究竟是如何做到這一點的問題仍然存在。

數學途徑來解決

Michalakis在2008年開始研究這個問題，他花了很長的時間來弄清楚，對於量子霍爾效應出現的原因，理論研究者們是怎樣開始研究的。

他發現，關鍵點出現在 20 世紀 80 年代，當時物理學家 David Thouless 等人正著手繪製一幅涉及到拓撲學的量子霍爾效應全景圖。

拓撲學研究的是物體的形狀在彎曲或拉伸時不會改變的特性。例如，甜甜圈可以被拉伸成咖啡杯的形狀，但如果想要把它變成球體，就必須將它撕裂。

在霍爾效應的背後，就存在有點類似的情形：即使材料中存在著雜質，電導也不會改變。

用數學方法來描述這類事物時會用到兩個性質：其一是“虧格”（genus），表示一個物體上有多少個洞；其二是“卷繞數”（winding number），表示一個物體環繞另一個物體的圈數。

擠壓一枚甜甜圈（或右側的小餅乾）會改變其幾何形狀，但洞的數量不變。在拓撲學中，這一性質被稱為“虧格”。卷繞數描述的是一個物體環繞另一個物體的圈數，就像手指上纏繞的橡膠圈一樣。

Thouless 和合作者將量子霍爾效應中的電子視作連續的電子海，並用拓撲語言來描述它。

這就解釋了馮·克利青觀察到的現象。就像擠壓甜甜圈一樣，如果你輕微改變電子路徑，類似於半導體中的雜質造成的效果，電子海的拓撲描述不會發生明顯變化。

這就從數學上解釋了為什麼即使在實驗不精確的情況下，這種效應也精確發生了。

結果還表明，卷繞數（只能是1或2這樣的整數）與階躍出現時的電壓在數學上有著緊密的聯繫。

平息電子海

其實早在Michalakis和Hastings之前，就有將拓撲用於研究量子霍爾效應的想法存在。

但是之前的研究人員都被迫做出兩種假設中的一種——要麼是假設描述系統的數學空間的整體圖景等同於局域圖景，要麼是假設系統中的電子不相互作用。

第一個數學假設被懷疑是錯誤的，而第二個物理假設是不現實的。

Michalakis說：“在物質的拓撲狀態下，電子會失去它們的‘身份’。你會得到一個更分散、更穩定、更糾纏的系統，表現的跟單一的物體一樣。在我們之前的研究人員意識到了這可以解釋量子霍爾電導的整體性質，但它們卻作出了放大圖景與縮小圖景一樣的假設。”

當他一籌莫展時，他忽然想到，既然Hastings 找他來完成這項任務一定是有原因的。

他開始仔細查閱 Hastings 的研究目錄，很快就找到了有希望解決問題的工具。

在 Hastings 的引導下，他逐漸構建了對這個問題的全新認知模型。

Michalakis和Hastings用一種新穎的方式將整體圖景與局域圖景聯繫了起來，對問題中拓撲結構的理解更加精細，成功的移除了這些假設。

為了說明它們的方法，讓我們想象一下讓快速遠離地球時看到的畫面：我們將看到的是一個沒有山脈、沒有峽谷的球體，讓你可能會誤以為能在沒有任何障礙的情況下環遊這顆星球。但當你回到地球時，你意識到這是不可能的——你必須穿越高山和峽谷。

兩人使用的是一個被稱為“準絕熱演化”的改進版工具，與其前身不同的是，它本身是拓撲的。這使他們能夠看到量子海的整體能量景觀，並消除所有的峰和谷，因為拓撲結構不會受這些細節影響。

在數學意義上，Michalakis和Hastings的解決方案所做的，就是確定一條開放、平坦的路徑，在這條路徑上你不會遇到任何的低谷或高峰，本質上與你在遠離地球時所感知的幻覺相符。

已解決！

當然，Michalakis和Hastings的實際證明比這個要複雜得多了；他們用了40頁的數學推理來書寫最初的證明，但經過艱苦的編輯過程，這個數字最終縮減到了30頁。

他們在2009年就提交了解決方案，但專家們花了很長的時間才消化這個結果。

但當他們試圖就此發表正式文章時，審稿人們卻無法理解它。

以色列海法理工學院的物理學家 Joseph Avron 說，“Hastings 和 Michalakis 的論文技巧性太強，我無法從全部步驟中判斷整體證明是否成立。”

Avron 是 1999 年最初提議將這個問題添加到普林斯頓網站的人之一，因此他有權宣佈它是否已被解決。

2013 年Hastings 和 Michalakis 最後一次梳理了這一證明，使其儘可能地緊湊和優雅。

但改進後的論文仍未獲包括 Avron 在內的評審人的認可。

他和兩人打了電話，但仍然無法弄懂證明中的數學。

“當我提問時，我認為他們誤解了我的問題，我也誤解了他們的答案。” Avron 說。在兩年多的時間裡，他不僅和兩人多次交談，還多次重讀了論文，並參加了他們的講座。

最後，綜合他自己和其他專家對不同證明部分的理解，Avron 終於認可了該論文。

2015年，這個證明在《數學物理通訊》上正式發表。

不久之後，其他研究者用 Avron 能夠理解的數學語言發表了補充論文。

在問題被貼出的 19 年後，同時也是 Michalakis 和 Hastings 完成證明 10 年後，Avron 終於把這個問題標記為“已解決！”

不過也不是所有人都同意這一問題已成定論。

佐治亞理工學院的物理學家 Jean Bellissard 說：“他們證明了量子霍爾效應的拓撲性，但沒有證明電導是階躍變化的，存在平臺。”

雖然 Michalakis 反駁了這點，但是Bellissard 也承認他們的工作是一項突破，是最終解法重要的一部分。

不管怎樣，這個證明有助於實現量子霍爾效應的實際應用。Hastings 現在就在微軟位於加州的量子計算實驗室“Q 站”工作，他正在試圖造出一種全新的量子計算機。

那既然他們解決出了這個難題，他們有機會獲得菲爾茲獎嗎？

很遺憾不行。

不是因為沒達到那個高度，而是錯過了年紀……

因為這一數學界最高獎項 4 年一次，頒發給 4 位 40 歲以下的數學家。

當他們最初發表證明時，Michalakis 29 歲，Hastings 則已 36 歲。由於科學界花了近十年才接受他們的證明，這意味著等 2022 年評選下一屆菲爾茲獎時，他們倆已經超齡了……

不過，這並沒有困擾到 Michalakis，他現在將研究與科學傳播相結合，比如成為電影《蟻人》的科學顧問。

“我不再關心獲獎了，對我來說，弄明白問題的真正樂趣在於與下一代人分享它。”