'扎哈的絕唱：“六芒星”大興機場的幾何賞析'
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
圖6. 建築界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）
女魔頭
扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎者！她徹底解構了傳統的建築美學標準，大膽運用幾何結構來構造空間，其參數化（parametricism)設計使得建築掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標誌性的曲線更給她帶來了無數的讚美和爭議。
傳統建制派的建築師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建築的實用性、施工難度、和環境的融入程度方面責難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休於屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設計都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
圖6. 建築界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）
女魔頭
扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎者！她徹底解構了傳統的建築美學標準，大膽運用幾何結構來構造空間，其參數化（parametricism)設計使得建築掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標誌性的曲線更給她帶來了無數的讚美和爭議。
傳統建制派的建築師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建築的實用性、施工難度、和環境的融入程度方面責難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休於屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設計都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。
圖7. 望京Soho
但是扎哈不屈不撓，以雖萬人、吾往矣的英雄氣概與世界抗爭。沒有經過建築設計訓練的廣大人民群眾被扎哈的作品深深震撼，扎哈的設計突破了他們的想象極限，使得他們看到原來建築可以在大地上糾纏盤繞，奔騰流淌，破碎融合，蜷曲彌散。扎哈的才華最終掙脫了世俗的羈絆，得到了世人的愛戴和敬仰。但是，作為一名鬥士，長期的精神摧殘和超負荷的設計，使得扎哈在事業的巔峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨華麗的遺作：大興機場，令人扼腕痛惜！
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
圖6. 建築界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）
女魔頭
扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎者！她徹底解構了傳統的建築美學標準，大膽運用幾何結構來構造空間，其參數化（parametricism)設計使得建築掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標誌性的曲線更給她帶來了無數的讚美和爭議。
傳統建制派的建築師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建築的實用性、施工難度、和環境的融入程度方面責難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休於屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設計都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。
圖7. 望京Soho
但是扎哈不屈不撓，以雖萬人、吾往矣的英雄氣概與世界抗爭。沒有經過建築設計訓練的廣大人民群眾被扎哈的作品深深震撼，扎哈的設計突破了他們的想象極限，使得他們看到原來建築可以在大地上糾纏盤繞，奔騰流淌，破碎融合，蜷曲彌散。扎哈的才華最終掙脫了世俗的羈絆，得到了世人的愛戴和敬仰。但是，作為一名鬥士，長期的精神摧殘和超負荷的設計，使得扎哈在事業的巔峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨華麗的遺作：大興機場，令人扼腕痛惜！
圖8. 澳門新濠天地酒店
數學分析扎哈的突破
那麼，從數學家的角度如何來評價扎哈的設計作品呢？扎哈的本質突破在哪裡？其作品是精神失常的產物嗎？還是歸結為幾何的必然？
老顧對建築設計方面一無所知，但卻是最懂扎哈作品之人，能夠將扎哈的建築風格提升到（數學）理論高度。
- 幾何的突破: 在傳統建築行業，幾乎所有的作品都是橫樑、立柱、平牆、方窗，換言之幾乎所有的建築表面都是平直的，高斯曲率幾乎處處為零。這意味著傳統建築是基於歐幾里得幾何。只有極少數天才的設計突破了零曲率幾何，例如高迪和扎哈。扎哈是絕無僅有的肆無忌憚地使用黎曼幾何進行建築設計的第一人。人類歷史上，在長達數千年的期間，人類都認為平直的歐幾里得幾何是天然的、唯一真實的幾何，直到愛因斯坦創建了廣義相對論，人類才意識到原來自然時空是彎曲的，黎曼幾何才是世界的真實圖景。從這個角度而言，扎哈使人類明白了真實的建築世界應該是彎曲的黎曼幾何。
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
圖6. 建築界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）
女魔頭
扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎者！她徹底解構了傳統的建築美學標準，大膽運用幾何結構來構造空間，其參數化（parametricism)設計使得建築掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標誌性的曲線更給她帶來了無數的讚美和爭議。
傳統建制派的建築師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建築的實用性、施工難度、和環境的融入程度方面責難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休於屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設計都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。
圖7. 望京Soho
但是扎哈不屈不撓，以雖萬人、吾往矣的英雄氣概與世界抗爭。沒有經過建築設計訓練的廣大人民群眾被扎哈的作品深深震撼，扎哈的設計突破了他們的想象極限，使得他們看到原來建築可以在大地上糾纏盤繞，奔騰流淌，破碎融合，蜷曲彌散。扎哈的才華最終掙脫了世俗的羈絆，得到了世人的愛戴和敬仰。但是，作為一名鬥士，長期的精神摧殘和超負荷的設計，使得扎哈在事業的巔峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨華麗的遺作：大興機場，令人扼腕痛惜！
圖8. 澳門新濠天地酒店
數學分析扎哈的突破
那麼，從數學家的角度如何來評價扎哈的設計作品呢？扎哈的本質突破在哪裡？其作品是精神失常的產物嗎？還是歸結為幾何的必然？
老顧對建築設計方面一無所知，但卻是最懂扎哈作品之人，能夠將扎哈的建築風格提升到（數學）理論高度。
- 幾何的突破: 在傳統建築行業，幾乎所有的作品都是橫樑、立柱、平牆、方窗，換言之幾乎所有的建築表面都是平直的，高斯曲率幾乎處處為零。這意味著傳統建築是基於歐幾里得幾何。只有極少數天才的設計突破了零曲率幾何，例如高迪和扎哈。扎哈是絕無僅有的肆無忌憚地使用黎曼幾何進行建築設計的第一人。人類歷史上，在長達數千年的期間，人類都認為平直的歐幾里得幾何是天然的、唯一真實的幾何，直到愛因斯坦創建了廣義相對論，人類才意識到原來自然時空是彎曲的，黎曼幾何才是世界的真實圖景。從這個角度而言，扎哈使人類明白了真實的建築世界應該是彎曲的黎曼幾何。
圖9. 大興機場內部的紐結結構
- 拓撲的突破: 在傳統建築中，幾乎所有的樓宇都是簡單的拓撲球面，即大樓的整體表面沒有環柄。扎哈以睥睨天下的氣魄，將高虧格曲面大膽應用。圖8的 澳門新濠天地酒店大樓表面就是一張虧格為3的黎曼面，即3個環柄。三維歐幾里得空間中的曲線可以彼此纏繞，從而形成各種紐結。圖9顯示了大興機場內部棧橋被設計成紐結結構。這些複雜的拓撲構型，在傳統建築中極為罕見，這是扎哈在拓撲方面的突破。
- 葉狀結構: 身為曲線之王，曲面的葉狀結構（foliation）成為扎哈的終身標誌。Foliation本意是落葉層疊之意，在拓撲中代表將高維流形規則地分解為低維流形，因此本質上是具有美學價值的解構。
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
圖6. 建築界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）
女魔頭
扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎者！她徹底解構了傳統的建築美學標準，大膽運用幾何結構來構造空間，其參數化（parametricism)設計使得建築掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標誌性的曲線更給她帶來了無數的讚美和爭議。
傳統建制派的建築師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建築的實用性、施工難度、和環境的融入程度方面責難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休於屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設計都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。
圖7. 望京Soho
但是扎哈不屈不撓，以雖萬人、吾往矣的英雄氣概與世界抗爭。沒有經過建築設計訓練的廣大人民群眾被扎哈的作品深深震撼，扎哈的設計突破了他們的想象極限，使得他們看到原來建築可以在大地上糾纏盤繞，奔騰流淌，破碎融合，蜷曲彌散。扎哈的才華最終掙脫了世俗的羈絆，得到了世人的愛戴和敬仰。但是，作為一名鬥士，長期的精神摧殘和超負荷的設計，使得扎哈在事業的巔峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨華麗的遺作：大興機場，令人扼腕痛惜！
圖8. 澳門新濠天地酒店
數學分析扎哈的突破
那麼，從數學家的角度如何來評價扎哈的設計作品呢？扎哈的本質突破在哪裡？其作品是精神失常的產物嗎？還是歸結為幾何的必然？
老顧對建築設計方面一無所知，但卻是最懂扎哈作品之人，能夠將扎哈的建築風格提升到（數學）理論高度。
- 幾何的突破: 在傳統建築行業，幾乎所有的作品都是橫樑、立柱、平牆、方窗，換言之幾乎所有的建築表面都是平直的，高斯曲率幾乎處處為零。這意味著傳統建築是基於歐幾里得幾何。只有極少數天才的設計突破了零曲率幾何，例如高迪和扎哈。扎哈是絕無僅有的肆無忌憚地使用黎曼幾何進行建築設計的第一人。人類歷史上，在長達數千年的期間，人類都認為平直的歐幾里得幾何是天然的、唯一真實的幾何，直到愛因斯坦創建了廣義相對論，人類才意識到原來自然時空是彎曲的，黎曼幾何才是世界的真實圖景。從這個角度而言，扎哈使人類明白了真實的建築世界應該是彎曲的黎曼幾何。
圖9. 大興機場內部的紐結結構
- 拓撲的突破: 在傳統建築中，幾乎所有的樓宇都是簡單的拓撲球面，即大樓的整體表面沒有環柄。扎哈以睥睨天下的氣魄，將高虧格曲面大膽應用。圖8的 澳門新濠天地酒店大樓表面就是一張虧格為3的黎曼面，即3個環柄。三維歐幾里得空間中的曲線可以彼此纏繞，從而形成各種紐結。圖9顯示了大興機場內部棧橋被設計成紐結結構。這些複雜的拓撲構型，在傳統建築中極為罕見，這是扎哈在拓撲方面的突破。
- 葉狀結構: 身為曲線之王，曲面的葉狀結構（foliation）成為扎哈的終身標誌。Foliation本意是落葉層疊之意，在拓撲中代表將高維流形規則地分解為低維流形，因此本質上是具有美學價值的解構。
圖10. 小貓曲面的葉狀結構
圖10顯示了小貓曲面的葉狀結構，除了幾個奇異點之外，曲面整體被分解為封閉圓圈（葉子），局部上看，這些圓圈彼此平行。對比圖7，我們看到，望京Soho的大樓表面被分解成彼此平行的圓圈，這些圓圈構成了曲面的一個葉狀結構。
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
圖6. 建築界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）
女魔頭
扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎者！她徹底解構了傳統的建築美學標準，大膽運用幾何結構來構造空間，其參數化（parametricism)設計使得建築掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標誌性的曲線更給她帶來了無數的讚美和爭議。
傳統建制派的建築師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建築的實用性、施工難度、和環境的融入程度方面責難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休於屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設計都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。
圖7. 望京Soho
但是扎哈不屈不撓，以雖萬人、吾往矣的英雄氣概與世界抗爭。沒有經過建築設計訓練的廣大人民群眾被扎哈的作品深深震撼，扎哈的設計突破了他們的想象極限，使得他們看到原來建築可以在大地上糾纏盤繞，奔騰流淌，破碎融合，蜷曲彌散。扎哈的才華最終掙脫了世俗的羈絆，得到了世人的愛戴和敬仰。但是，作為一名鬥士，長期的精神摧殘和超負荷的設計，使得扎哈在事業的巔峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨華麗的遺作：大興機場，令人扼腕痛惜！
圖8. 澳門新濠天地酒店
數學分析扎哈的突破
那麼，從數學家的角度如何來評價扎哈的設計作品呢？扎哈的本質突破在哪裡？其作品是精神失常的產物嗎？還是歸結為幾何的必然？
老顧對建築設計方面一無所知，但卻是最懂扎哈作品之人，能夠將扎哈的建築風格提升到（數學）理論高度。
- 幾何的突破: 在傳統建築行業，幾乎所有的作品都是橫樑、立柱、平牆、方窗，換言之幾乎所有的建築表面都是平直的，高斯曲率幾乎處處為零。這意味著傳統建築是基於歐幾里得幾何。只有極少數天才的設計突破了零曲率幾何，例如高迪和扎哈。扎哈是絕無僅有的肆無忌憚地使用黎曼幾何進行建築設計的第一人。人類歷史上，在長達數千年的期間，人類都認為平直的歐幾里得幾何是天然的、唯一真實的幾何，直到愛因斯坦創建了廣義相對論，人類才意識到原來自然時空是彎曲的，黎曼幾何才是世界的真實圖景。從這個角度而言，扎哈使人類明白了真實的建築世界應該是彎曲的黎曼幾何。
圖9. 大興機場內部的紐結結構
- 拓撲的突破: 在傳統建築中，幾乎所有的樓宇都是簡單的拓撲球面，即大樓的整體表面沒有環柄。扎哈以睥睨天下的氣魄，將高虧格曲面大膽應用。圖8的 澳門新濠天地酒店大樓表面就是一張虧格為3的黎曼面，即3個環柄。三維歐幾里得空間中的曲線可以彼此纏繞，從而形成各種紐結。圖9顯示了大興機場內部棧橋被設計成紐結結構。這些複雜的拓撲構型，在傳統建築中極為罕見，這是扎哈在拓撲方面的突破。
- 葉狀結構: 身為曲線之王，曲面的葉狀結構（foliation）成為扎哈的終身標誌。Foliation本意是落葉層疊之意，在拓撲中代表將高維流形規則地分解為低維流形，因此本質上是具有美學價值的解構。
圖10. 小貓曲面的葉狀結構
圖10顯示了小貓曲面的葉狀結構，除了幾個奇異點之外，曲面整體被分解為封閉圓圈（葉子），局部上看，這些圓圈彼此平行。對比圖7，我們看到，望京Soho的大樓表面被分解成彼此平行的圓圈，這些圓圈構成了曲面的一個葉狀結構。
圖11. 高虧格曲面的葉狀結構
圖11顯示了虧格為2的曲面上，三個彼此不同的葉狀結構。在奇異點處，葉子成為三岔路口。我們將每片葉子在曲面上自由滑動，使得這些葉子的分佈儘量流暢光滑，這種形變不會改變葉狀結構的整體拓撲性質，但是會增加葉狀結構的美學價值。兩個葉狀結構如果能夠彼此形變成為對方，則我們說它們彼此等價。由共形幾何理論，每個葉狀結構都可以如此變換成一個最為流暢柔順的葉狀結構，即所謂的調和葉狀結構，每個葉狀結構等價類中，調和葉狀結構存在並且唯一。
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
圖6. 建築界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）
女魔頭
扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎者！她徹底解構了傳統的建築美學標準，大膽運用幾何結構來構造空間，其參數化（parametricism)設計使得建築掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標誌性的曲線更給她帶來了無數的讚美和爭議。
傳統建制派的建築師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建築的實用性、施工難度、和環境的融入程度方面責難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休於屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設計都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。
圖7. 望京Soho
但是扎哈不屈不撓，以雖萬人、吾往矣的英雄氣概與世界抗爭。沒有經過建築設計訓練的廣大人民群眾被扎哈的作品深深震撼，扎哈的設計突破了他們的想象極限，使得他們看到原來建築可以在大地上糾纏盤繞，奔騰流淌，破碎融合，蜷曲彌散。扎哈的才華最終掙脫了世俗的羈絆，得到了世人的愛戴和敬仰。但是，作為一名鬥士，長期的精神摧殘和超負荷的設計，使得扎哈在事業的巔峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨華麗的遺作：大興機場，令人扼腕痛惜！
圖8. 澳門新濠天地酒店
數學分析扎哈的突破
那麼，從數學家的角度如何來評價扎哈的設計作品呢？扎哈的本質突破在哪裡？其作品是精神失常的產物嗎？還是歸結為幾何的必然？
老顧對建築設計方面一無所知，但卻是最懂扎哈作品之人，能夠將扎哈的建築風格提升到（數學）理論高度。
- 幾何的突破: 在傳統建築行業，幾乎所有的作品都是橫樑、立柱、平牆、方窗，換言之幾乎所有的建築表面都是平直的，高斯曲率幾乎處處為零。這意味著傳統建築是基於歐幾里得幾何。只有極少數天才的設計突破了零曲率幾何，例如高迪和扎哈。扎哈是絕無僅有的肆無忌憚地使用黎曼幾何進行建築設計的第一人。人類歷史上，在長達數千年的期間，人類都認為平直的歐幾里得幾何是天然的、唯一真實的幾何，直到愛因斯坦創建了廣義相對論，人類才意識到原來自然時空是彎曲的，黎曼幾何才是世界的真實圖景。從這個角度而言，扎哈使人類明白了真實的建築世界應該是彎曲的黎曼幾何。
圖9. 大興機場內部的紐結結構
- 拓撲的突破: 在傳統建築中，幾乎所有的樓宇都是簡單的拓撲球面，即大樓的整體表面沒有環柄。扎哈以睥睨天下的氣魄，將高虧格曲面大膽應用。圖8的 澳門新濠天地酒店大樓表面就是一張虧格為3的黎曼面，即3個環柄。三維歐幾里得空間中的曲線可以彼此纏繞，從而形成各種紐結。圖9顯示了大興機場內部棧橋被設計成紐結結構。這些複雜的拓撲構型，在傳統建築中極為罕見，這是扎哈在拓撲方面的突破。
- 葉狀結構: 身為曲線之王，曲面的葉狀結構（foliation）成為扎哈的終身標誌。Foliation本意是落葉層疊之意，在拓撲中代表將高維流形規則地分解為低維流形，因此本質上是具有美學價值的解構。
圖10. 小貓曲面的葉狀結構
圖10顯示了小貓曲面的葉狀結構，除了幾個奇異點之外，曲面整體被分解為封閉圓圈（葉子），局部上看，這些圓圈彼此平行。對比圖7，我們看到，望京Soho的大樓表面被分解成彼此平行的圓圈，這些圓圈構成了曲面的一個葉狀結構。
圖11. 高虧格曲面的葉狀結構
圖11顯示了虧格為2的曲面上，三個彼此不同的葉狀結構。在奇異點處，葉子成為三岔路口。我們將每片葉子在曲面上自由滑動，使得這些葉子的分佈儘量流暢光滑，這種形變不會改變葉狀結構的整體拓撲性質，但是會增加葉狀結構的美學價值。兩個葉狀結構如果能夠彼此形變成為對方，則我們說它們彼此等價。由共形幾何理論，每個葉狀結構都可以如此變換成一個最為流暢柔順的葉狀結構，即所謂的調和葉狀結構，每個葉狀結構等價類中，調和葉狀結構存在並且唯一。
圖12. 共軛調和葉狀結構
每個調和葉狀結構都有另外的一個調和葉狀結構處處與之垂直，被稱為共軛調和葉狀結構。如圖12所示，紅色和藍色的兩個葉狀結構彼此共軛。仔細觀察圖3和圖4，用建築術語講，我們看到扎哈為大興機場設計了兩族彼此垂直的流暢曲線；用幾何術語講，扎哈對於流暢柔順流線的極致追求，本質上導致了大興機場設計中的共軛調和葉狀結構。由此可見，美學的語言和幾何語言在這個場景下彼此等價。
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
圖6. 建築界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）
女魔頭
扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎者！她徹底解構了傳統的建築美學標準，大膽運用幾何結構來構造空間，其參數化（parametricism)設計使得建築掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標誌性的曲線更給她帶來了無數的讚美和爭議。
傳統建制派的建築師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建築的實用性、施工難度、和環境的融入程度方面責難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休於屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設計都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。
圖7. 望京Soho
但是扎哈不屈不撓，以雖萬人、吾往矣的英雄氣概與世界抗爭。沒有經過建築設計訓練的廣大人民群眾被扎哈的作品深深震撼，扎哈的設計突破了他們的想象極限，使得他們看到原來建築可以在大地上糾纏盤繞，奔騰流淌，破碎融合，蜷曲彌散。扎哈的才華最終掙脫了世俗的羈絆，得到了世人的愛戴和敬仰。但是，作為一名鬥士，長期的精神摧殘和超負荷的設計，使得扎哈在事業的巔峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨華麗的遺作：大興機場，令人扼腕痛惜！
圖8. 澳門新濠天地酒店
數學分析扎哈的突破
那麼，從數學家的角度如何來評價扎哈的設計作品呢？扎哈的本質突破在哪裡？其作品是精神失常的產物嗎？還是歸結為幾何的必然？
老顧對建築設計方面一無所知，但卻是最懂扎哈作品之人，能夠將扎哈的建築風格提升到（數學）理論高度。
- 幾何的突破: 在傳統建築行業，幾乎所有的作品都是橫樑、立柱、平牆、方窗，換言之幾乎所有的建築表面都是平直的，高斯曲率幾乎處處為零。這意味著傳統建築是基於歐幾里得幾何。只有極少數天才的設計突破了零曲率幾何，例如高迪和扎哈。扎哈是絕無僅有的肆無忌憚地使用黎曼幾何進行建築設計的第一人。人類歷史上，在長達數千年的期間，人類都認為平直的歐幾里得幾何是天然的、唯一真實的幾何，直到愛因斯坦創建了廣義相對論，人類才意識到原來自然時空是彎曲的，黎曼幾何才是世界的真實圖景。從這個角度而言，扎哈使人類明白了真實的建築世界應該是彎曲的黎曼幾何。
圖9. 大興機場內部的紐結結構
- 拓撲的突破: 在傳統建築中，幾乎所有的樓宇都是簡單的拓撲球面，即大樓的整體表面沒有環柄。扎哈以睥睨天下的氣魄，將高虧格曲面大膽應用。圖8的 澳門新濠天地酒店大樓表面就是一張虧格為3的黎曼面，即3個環柄。三維歐幾里得空間中的曲線可以彼此纏繞，從而形成各種紐結。圖9顯示了大興機場內部棧橋被設計成紐結結構。這些複雜的拓撲構型，在傳統建築中極為罕見，這是扎哈在拓撲方面的突破。
- 葉狀結構: 身為曲線之王，曲面的葉狀結構（foliation）成為扎哈的終身標誌。Foliation本意是落葉層疊之意，在拓撲中代表將高維流形規則地分解為低維流形，因此本質上是具有美學價值的解構。
圖10. 小貓曲面的葉狀結構
圖10顯示了小貓曲面的葉狀結構，除了幾個奇異點之外，曲面整體被分解為封閉圓圈（葉子），局部上看，這些圓圈彼此平行。對比圖7，我們看到，望京Soho的大樓表面被分解成彼此平行的圓圈，這些圓圈構成了曲面的一個葉狀結構。
圖11. 高虧格曲面的葉狀結構
圖11顯示了虧格為2的曲面上，三個彼此不同的葉狀結構。在奇異點處，葉子成為三岔路口。我們將每片葉子在曲面上自由滑動，使得這些葉子的分佈儘量流暢光滑，這種形變不會改變葉狀結構的整體拓撲性質，但是會增加葉狀結構的美學價值。兩個葉狀結構如果能夠彼此形變成為對方，則我們說它們彼此等價。由共形幾何理論，每個葉狀結構都可以如此變換成一個最為流暢柔順的葉狀結構，即所謂的調和葉狀結構，每個葉狀結構等價類中，調和葉狀結構存在並且唯一。
圖12. 共軛調和葉狀結構
每個調和葉狀結構都有另外的一個調和葉狀結構處處與之垂直，被稱為共軛調和葉狀結構。如圖12所示，紅色和藍色的兩個葉狀結構彼此共軛。仔細觀察圖3和圖4，用建築術語講，我們看到扎哈為大興機場設計了兩族彼此垂直的流暢曲線；用幾何術語講，扎哈對於流暢柔順流線的極致追求，本質上導致了大興機場設計中的共軛調和葉狀結構。由此可見，美學的語言和幾何語言在這個場景下彼此等價。
圖13. 葉狀結構中度為6的奇異點
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
圖6. 建築界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）
女魔頭
扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎者！她徹底解構了傳統的建築美學標準，大膽運用幾何結構來構造空間，其參數化（parametricism)設計使得建築掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標誌性的曲線更給她帶來了無數的讚美和爭議。
傳統建制派的建築師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建築的實用性、施工難度、和環境的融入程度方面責難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休於屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設計都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。
圖7. 望京Soho
但是扎哈不屈不撓，以雖萬人、吾往矣的英雄氣概與世界抗爭。沒有經過建築設計訓練的廣大人民群眾被扎哈的作品深深震撼，扎哈的設計突破了他們的想象極限，使得他們看到原來建築可以在大地上糾纏盤繞，奔騰流淌，破碎融合，蜷曲彌散。扎哈的才華最終掙脫了世俗的羈絆，得到了世人的愛戴和敬仰。但是，作為一名鬥士，長期的精神摧殘和超負荷的設計，使得扎哈在事業的巔峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨華麗的遺作：大興機場，令人扼腕痛惜！
圖8. 澳門新濠天地酒店
數學分析扎哈的突破
那麼，從數學家的角度如何來評價扎哈的設計作品呢？扎哈的本質突破在哪裡？其作品是精神失常的產物嗎？還是歸結為幾何的必然？
老顧對建築設計方面一無所知，但卻是最懂扎哈作品之人，能夠將扎哈的建築風格提升到（數學）理論高度。
- 幾何的突破: 在傳統建築行業，幾乎所有的作品都是橫樑、立柱、平牆、方窗，換言之幾乎所有的建築表面都是平直的，高斯曲率幾乎處處為零。這意味著傳統建築是基於歐幾里得幾何。只有極少數天才的設計突破了零曲率幾何，例如高迪和扎哈。扎哈是絕無僅有的肆無忌憚地使用黎曼幾何進行建築設計的第一人。人類歷史上，在長達數千年的期間，人類都認為平直的歐幾里得幾何是天然的、唯一真實的幾何，直到愛因斯坦創建了廣義相對論，人類才意識到原來自然時空是彎曲的，黎曼幾何才是世界的真實圖景。從這個角度而言，扎哈使人類明白了真實的建築世界應該是彎曲的黎曼幾何。
圖9. 大興機場內部的紐結結構
- 拓撲的突破: 在傳統建築中，幾乎所有的樓宇都是簡單的拓撲球面，即大樓的整體表面沒有環柄。扎哈以睥睨天下的氣魄，將高虧格曲面大膽應用。圖8的 澳門新濠天地酒店大樓表面就是一張虧格為3的黎曼面，即3個環柄。三維歐幾里得空間中的曲線可以彼此纏繞，從而形成各種紐結。圖9顯示了大興機場內部棧橋被設計成紐結結構。這些複雜的拓撲構型，在傳統建築中極為罕見，這是扎哈在拓撲方面的突破。
- 葉狀結構: 身為曲線之王，曲面的葉狀結構（foliation）成為扎哈的終身標誌。Foliation本意是落葉層疊之意，在拓撲中代表將高維流形規則地分解為低維流形，因此本質上是具有美學價值的解構。
圖10. 小貓曲面的葉狀結構
圖10顯示了小貓曲面的葉狀結構，除了幾個奇異點之外，曲面整體被分解為封閉圓圈（葉子），局部上看，這些圓圈彼此平行。對比圖7，我們看到，望京Soho的大樓表面被分解成彼此平行的圓圈，這些圓圈構成了曲面的一個葉狀結構。
圖11. 高虧格曲面的葉狀結構
圖11顯示了虧格為2的曲面上，三個彼此不同的葉狀結構。在奇異點處，葉子成為三岔路口。我們將每片葉子在曲面上自由滑動，使得這些葉子的分佈儘量流暢光滑，這種形變不會改變葉狀結構的整體拓撲性質，但是會增加葉狀結構的美學價值。兩個葉狀結構如果能夠彼此形變成為對方，則我們說它們彼此等價。由共形幾何理論，每個葉狀結構都可以如此變換成一個最為流暢柔順的葉狀結構，即所謂的調和葉狀結構，每個葉狀結構等價類中，調和葉狀結構存在並且唯一。
圖12. 共軛調和葉狀結構
每個調和葉狀結構都有另外的一個調和葉狀結構處處與之垂直，被稱為共軛調和葉狀結構。如圖12所示，紅色和藍色的兩個葉狀結構彼此共軛。仔細觀察圖3和圖4，用建築術語講，我們看到扎哈為大興機場設計了兩族彼此垂直的流暢曲線；用幾何術語講，扎哈對於流暢柔順流線的極致追求，本質上導致了大興機場設計中的共軛調和葉狀結構。由此可見，美學的語言和幾何語言在這個場景下彼此等價。
圖13. 葉狀結構中度為6的奇異點
圖14. 葉狀結構中度為8的奇異點
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
圖6. 建築界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）
女魔頭
扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎者！她徹底解構了傳統的建築美學標準，大膽運用幾何結構來構造空間，其參數化（parametricism)設計使得建築掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標誌性的曲線更給她帶來了無數的讚美和爭議。
傳統建制派的建築師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建築的實用性、施工難度、和環境的融入程度方面責難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休於屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設計都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。
圖7. 望京Soho
但是扎哈不屈不撓，以雖萬人、吾往矣的英雄氣概與世界抗爭。沒有經過建築設計訓練的廣大人民群眾被扎哈的作品深深震撼，扎哈的設計突破了他們的想象極限，使得他們看到原來建築可以在大地上糾纏盤繞，奔騰流淌，破碎融合，蜷曲彌散。扎哈的才華最終掙脫了世俗的羈絆，得到了世人的愛戴和敬仰。但是，作為一名鬥士，長期的精神摧殘和超負荷的設計，使得扎哈在事業的巔峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨華麗的遺作：大興機場，令人扼腕痛惜！
圖8. 澳門新濠天地酒店
數學分析扎哈的突破
那麼，從數學家的角度如何來評價扎哈的設計作品呢？扎哈的本質突破在哪裡？其作品是精神失常的產物嗎？還是歸結為幾何的必然？
老顧對建築設計方面一無所知，但卻是最懂扎哈作品之人，能夠將扎哈的建築風格提升到（數學）理論高度。
- 幾何的突破: 在傳統建築行業，幾乎所有的作品都是橫樑、立柱、平牆、方窗，換言之幾乎所有的建築表面都是平直的，高斯曲率幾乎處處為零。這意味著傳統建築是基於歐幾里得幾何。只有極少數天才的設計突破了零曲率幾何，例如高迪和扎哈。扎哈是絕無僅有的肆無忌憚地使用黎曼幾何進行建築設計的第一人。人類歷史上，在長達數千年的期間，人類都認為平直的歐幾里得幾何是天然的、唯一真實的幾何，直到愛因斯坦創建了廣義相對論，人類才意識到原來自然時空是彎曲的，黎曼幾何才是世界的真實圖景。從這個角度而言，扎哈使人類明白了真實的建築世界應該是彎曲的黎曼幾何。
圖9. 大興機場內部的紐結結構
- 拓撲的突破: 在傳統建築中，幾乎所有的樓宇都是簡單的拓撲球面，即大樓的整體表面沒有環柄。扎哈以睥睨天下的氣魄，將高虧格曲面大膽應用。圖8的 澳門新濠天地酒店大樓表面就是一張虧格為3的黎曼面，即3個環柄。三維歐幾里得空間中的曲線可以彼此纏繞，從而形成各種紐結。圖9顯示了大興機場內部棧橋被設計成紐結結構。這些複雜的拓撲構型，在傳統建築中極為罕見，這是扎哈在拓撲方面的突破。
- 葉狀結構: 身為曲線之王，曲面的葉狀結構（foliation）成為扎哈的終身標誌。Foliation本意是落葉層疊之意，在拓撲中代表將高維流形規則地分解為低維流形，因此本質上是具有美學價值的解構。
圖10. 小貓曲面的葉狀結構
圖10顯示了小貓曲面的葉狀結構，除了幾個奇異點之外，曲面整體被分解為封閉圓圈（葉子），局部上看，這些圓圈彼此平行。對比圖7，我們看到，望京Soho的大樓表面被分解成彼此平行的圓圈，這些圓圈構成了曲面的一個葉狀結構。
圖11. 高虧格曲面的葉狀結構
圖11顯示了虧格為2的曲面上，三個彼此不同的葉狀結構。在奇異點處，葉子成為三岔路口。我們將每片葉子在曲面上自由滑動，使得這些葉子的分佈儘量流暢光滑，這種形變不會改變葉狀結構的整體拓撲性質，但是會增加葉狀結構的美學價值。兩個葉狀結構如果能夠彼此形變成為對方，則我們說它們彼此等價。由共形幾何理論，每個葉狀結構都可以如此變換成一個最為流暢柔順的葉狀結構，即所謂的調和葉狀結構，每個葉狀結構等價類中，調和葉狀結構存在並且唯一。
圖12. 共軛調和葉狀結構
每個調和葉狀結構都有另外的一個調和葉狀結構處處與之垂直，被稱為共軛調和葉狀結構。如圖12所示，紅色和藍色的兩個葉狀結構彼此共軛。仔細觀察圖3和圖4，用建築術語講，我們看到扎哈為大興機場設計了兩族彼此垂直的流暢曲線；用幾何術語講，扎哈對於流暢柔順流線的極致追求，本質上導致了大興機場設計中的共軛調和葉狀結構。由此可見，美學的語言和幾何語言在這個場景下彼此等價。
圖13. 葉狀結構中度為6的奇異點
圖14. 葉狀結構中度為8的奇異點
圖15. 度為5的奇異點
扎哈建築理論的深入思考
至此，我們得出結論，大興機場的整體設計是共軛調和葉狀結構，設計中心是葉狀結構的奇異點。那麼，我們自然會產生一系列的疑問，這些疑問的解答只能依賴於深刻的共形幾何理論。
- 第一個問題：為什麼一定是六芒星？而不是五芒，或者七芒星？
圖13-15 詳盡地解答了這個問題：仔細觀察圖13和圖14，沿著格線，我們的確能夠得到兩族彼此共軛的調和葉狀結構。但是，圖15中，沿著格線，我們得到的不止兩族圓圈，並且每族圓圈都無法覆蓋整個曲面。換言之，圖15中的任意一族局部彼此平行的圓圈都無法構成曲面的葉狀結構。理論上，曲面上的葉狀結構的奇異點通常是如圖13所示那樣，局部是一顆六芒星。圖14中度為8的奇異點不穩定，經過微小擾動，可以分解成兩顆六芒星。因此，大興機場的六芒星構型本質上代表了調和葉狀結構的穩定奇異點（唯一）結構，這是幾何原理所限制的必然。
扎哈並沒有精神失常，她的極端理性和審美導致了唯一的設計方案。扎哈天才地悟到了調和葉狀結構的唯一性，和奇異點結構的唯一性。
- 第二個問題：在一般曲面上，扎哈追求的共軛調和葉狀結構存在嗎？有多少個？
這個問題非常深刻。共軛調和葉狀結構滿足特定的橢圓型偏微分方程，解的存在性和解空間的大小由曲面的拓撲所決定，葉子的形狀和分佈由曲面的黎曼度量和葉狀結構的整體拓撲性質所決定。
一對共軛的調和葉狀結構等價於曲面的一個全純二次微分。如果部分指定奇異點的位置，那麼所有滿足條件的調和葉狀結構構成一個線性空間，空間的維數由黎曼-羅赫定理所決定。有興趣的同學可以參看老顧關於黎曼-羅赫定理的講義。
- 第三個問題：在一般曲面上，共軛調和葉狀結構的奇異點如何確定？
調和葉狀結構，或者等價的，全純二次微分具有很強的剛性。剛性這裡意味著如果所有的奇異點位置確定下來，那麼相應的全純二次微分和葉狀結構也就確定下來了。對於設計而言，要麼整體大改，要麼不改，局部微調是不可能的。並且所有的奇異點之間存在很強的約束，隨意給定幾個點，基本上不存在以這些點為奇異點的全純二次微分。那麼如何確定給定的點可否作為奇異點來求得調和葉狀結構？答案在於，這些點應該滿足阿貝爾定理。同學們可以參看阿貝爾定理講義和雅可比定理講義。
扎哈建築設計的計算
扎哈的大興機場整體設計是共軛調和葉狀結構，設計中心是葉狀結構的奇異點。據說這些柔順的曲線都是扎哈手繪出來的。大興機場還沒有對外開放，老顧還沒有實地考察過內部設計。理論上，調和葉狀結構都是可以自動計算出來的，但是現存於世的方法不超過兩種。老顧團隊在2017年給出了一種基於圖值調和映射的算法，詳細解釋請參閱【1】和【2】。
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
圖6. 建築界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）
女魔頭
扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎者！她徹底解構了傳統的建築美學標準，大膽運用幾何結構來構造空間，其參數化（parametricism)設計使得建築掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標誌性的曲線更給她帶來了無數的讚美和爭議。
傳統建制派的建築師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建築的實用性、施工難度、和環境的融入程度方面責難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休於屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設計都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。
圖7. 望京Soho
但是扎哈不屈不撓，以雖萬人、吾往矣的英雄氣概與世界抗爭。沒有經過建築設計訓練的廣大人民群眾被扎哈的作品深深震撼，扎哈的設計突破了他們的想象極限，使得他們看到原來建築可以在大地上糾纏盤繞，奔騰流淌，破碎融合，蜷曲彌散。扎哈的才華最終掙脫了世俗的羈絆，得到了世人的愛戴和敬仰。但是，作為一名鬥士，長期的精神摧殘和超負荷的設計，使得扎哈在事業的巔峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨華麗的遺作：大興機場，令人扼腕痛惜！
圖8. 澳門新濠天地酒店
數學分析扎哈的突破
那麼，從數學家的角度如何來評價扎哈的設計作品呢？扎哈的本質突破在哪裡？其作品是精神失常的產物嗎？還是歸結為幾何的必然？
老顧對建築設計方面一無所知，但卻是最懂扎哈作品之人，能夠將扎哈的建築風格提升到（數學）理論高度。
- 幾何的突破: 在傳統建築行業，幾乎所有的作品都是橫樑、立柱、平牆、方窗，換言之幾乎所有的建築表面都是平直的，高斯曲率幾乎處處為零。這意味著傳統建築是基於歐幾里得幾何。只有極少數天才的設計突破了零曲率幾何，例如高迪和扎哈。扎哈是絕無僅有的肆無忌憚地使用黎曼幾何進行建築設計的第一人。人類歷史上，在長達數千年的期間，人類都認為平直的歐幾里得幾何是天然的、唯一真實的幾何，直到愛因斯坦創建了廣義相對論，人類才意識到原來自然時空是彎曲的，黎曼幾何才是世界的真實圖景。從這個角度而言，扎哈使人類明白了真實的建築世界應該是彎曲的黎曼幾何。
圖9. 大興機場內部的紐結結構
- 拓撲的突破: 在傳統建築中，幾乎所有的樓宇都是簡單的拓撲球面，即大樓的整體表面沒有環柄。扎哈以睥睨天下的氣魄，將高虧格曲面大膽應用。圖8的 澳門新濠天地酒店大樓表面就是一張虧格為3的黎曼面，即3個環柄。三維歐幾里得空間中的曲線可以彼此纏繞，從而形成各種紐結。圖9顯示了大興機場內部棧橋被設計成紐結結構。這些複雜的拓撲構型，在傳統建築中極為罕見，這是扎哈在拓撲方面的突破。
- 葉狀結構: 身為曲線之王，曲面的葉狀結構（foliation）成為扎哈的終身標誌。Foliation本意是落葉層疊之意，在拓撲中代表將高維流形規則地分解為低維流形，因此本質上是具有美學價值的解構。
圖10. 小貓曲面的葉狀結構
圖10顯示了小貓曲面的葉狀結構，除了幾個奇異點之外，曲面整體被分解為封閉圓圈（葉子），局部上看，這些圓圈彼此平行。對比圖7，我們看到，望京Soho的大樓表面被分解成彼此平行的圓圈，這些圓圈構成了曲面的一個葉狀結構。
圖11. 高虧格曲面的葉狀結構
圖11顯示了虧格為2的曲面上，三個彼此不同的葉狀結構。在奇異點處，葉子成為三岔路口。我們將每片葉子在曲面上自由滑動，使得這些葉子的分佈儘量流暢光滑，這種形變不會改變葉狀結構的整體拓撲性質，但是會增加葉狀結構的美學價值。兩個葉狀結構如果能夠彼此形變成為對方，則我們說它們彼此等價。由共形幾何理論，每個葉狀結構都可以如此變換成一個最為流暢柔順的葉狀結構，即所謂的調和葉狀結構，每個葉狀結構等價類中，調和葉狀結構存在並且唯一。
圖12. 共軛調和葉狀結構
每個調和葉狀結構都有另外的一個調和葉狀結構處處與之垂直，被稱為共軛調和葉狀結構。如圖12所示，紅色和藍色的兩個葉狀結構彼此共軛。仔細觀察圖3和圖4，用建築術語講，我們看到扎哈為大興機場設計了兩族彼此垂直的流暢曲線；用幾何術語講，扎哈對於流暢柔順流線的極致追求，本質上導致了大興機場設計中的共軛調和葉狀結構。由此可見，美學的語言和幾何語言在這個場景下彼此等價。
圖13. 葉狀結構中度為6的奇異點
圖14. 葉狀結構中度為8的奇異點
圖15. 度為5的奇異點
扎哈建築理論的深入思考
至此，我們得出結論，大興機場的整體設計是共軛調和葉狀結構，設計中心是葉狀結構的奇異點。那麼，我們自然會產生一系列的疑問，這些疑問的解答只能依賴於深刻的共形幾何理論。
- 第一個問題：為什麼一定是六芒星？而不是五芒，或者七芒星？
圖13-15 詳盡地解答了這個問題：仔細觀察圖13和圖14，沿著格線，我們的確能夠得到兩族彼此共軛的調和葉狀結構。但是，圖15中，沿著格線，我們得到的不止兩族圓圈，並且每族圓圈都無法覆蓋整個曲面。換言之，圖15中的任意一族局部彼此平行的圓圈都無法構成曲面的葉狀結構。理論上，曲面上的葉狀結構的奇異點通常是如圖13所示那樣，局部是一顆六芒星。圖14中度為8的奇異點不穩定，經過微小擾動，可以分解成兩顆六芒星。因此，大興機場的六芒星構型本質上代表了調和葉狀結構的穩定奇異點（唯一）結構，這是幾何原理所限制的必然。
扎哈並沒有精神失常，她的極端理性和審美導致了唯一的設計方案。扎哈天才地悟到了調和葉狀結構的唯一性，和奇異點結構的唯一性。
- 第二個問題：在一般曲面上，扎哈追求的共軛調和葉狀結構存在嗎？有多少個？
這個問題非常深刻。共軛調和葉狀結構滿足特定的橢圓型偏微分方程，解的存在性和解空間的大小由曲面的拓撲所決定，葉子的形狀和分佈由曲面的黎曼度量和葉狀結構的整體拓撲性質所決定。
一對共軛的調和葉狀結構等價於曲面的一個全純二次微分。如果部分指定奇異點的位置，那麼所有滿足條件的調和葉狀結構構成一個線性空間，空間的維數由黎曼-羅赫定理所決定。有興趣的同學可以參看老顧關於黎曼-羅赫定理的講義。
- 第三個問題：在一般曲面上，共軛調和葉狀結構的奇異點如何確定？
調和葉狀結構，或者等價的，全純二次微分具有很強的剛性。剛性這裡意味著如果所有的奇異點位置確定下來，那麼相應的全純二次微分和葉狀結構也就確定下來了。對於設計而言，要麼整體大改，要麼不改，局部微調是不可能的。並且所有的奇異點之間存在很強的約束，隨意給定幾個點，基本上不存在以這些點為奇異點的全純二次微分。那麼如何確定給定的點可否作為奇異點來求得調和葉狀結構？答案在於，這些點應該滿足阿貝爾定理。同學們可以參看阿貝爾定理講義和雅可比定理講義。
扎哈建築設計的計算
扎哈的大興機場整體設計是共軛調和葉狀結構，設計中心是葉狀結構的奇異點。據說這些柔順的曲線都是扎哈手繪出來的。大興機場還沒有對外開放，老顧還沒有實地考察過內部設計。理論上，調和葉狀結構都是可以自動計算出來的，但是現存於世的方法不超過兩種。老顧團隊在2017年給出了一種基於圖值調和映射的算法，詳細解釋請參閱【1】和【2】。
圖16. 調和葉狀結構的算法
圖16解釋了我們算法的核心思路。如圖所示，給定一個靠虧格曲面，我們計算一些封閉圈（紅色曲線）滿足條件：每條圈沒有自相交；圈與圈彼此不相交；圈與圈彼此不同倫，即我們無法在曲面上將一條圈漸變成另外一條圈。我們儘量選取儘可能多的這種圈，直至無法在找到新圈為止。這些圈將曲面分解成一些碎片，每個碎片都是虧格為零的曲面帶有三條邊界，被稱為是一條褲子。如此得到了曲面的一個褲子分解。
我們構造相應的褲子分解圖（graph），每條褲子變成圖中的一個結點（node），每條紅圈變成圖中的一條邊（edge）。我們再為圖中每條邊賦予一個長度，然後計算從曲面到褲子分解圖的映射，使得每條褲子映到相應結點；每條圓圈的鄰域映到相應的邊。調節映射，使得曲面映射的彈性形變能量最小，如此得到了曲面的圖值調和映射（graph-valued harmonic map）。褲子分解圖（graph）邊上每一個點的原像是曲面上的一個圓圈，這些圓圈構成了曲面的一個調和葉狀結構，每條褲子上都有一對奇異點。具體計算細節，請看論文【1，2】和【3】。
這一算法尚未融入到商業軟件，例如autocad或者maya。如果建築師朋友們有興趣在設計中融入扎哈的風格，可以聯繫老顧團隊。
思想的地標
這裡老顧從共形幾何角度，對扎哈設計理念進行透徹分析，將大興機場整體設計思想歸結為共軛調和葉狀結構（全純二次微分）及奇異點。雖然扎哈具有數學本科的背景，她不太可能深刻理解黎曼-羅赫，阿貝爾定理和葉狀結構的共形幾何理論。但令人無比驚訝的是，扎哈僅僅憑藉敏銳的審美，就從本質上深刻洞察到這些抽象的幾何理論。這也正是扎哈無與倫比的偉大之處：對人世英勇無畏，對自然敬畏純真。
共形幾何理論表明扎哈設計的結構具有極強的剛性，可以說是牽一髮而動全身，這意味著扎哈貌似驚世駭俗、大膽狂放的設計實際上是基於嚴格精密的理性。那些質疑扎哈精神失常的凡夫俗子，實際上是無法理解扎哈深邃的思想。與其說扎哈顛覆了舊世界，不如說她使人類解放了思想，使得人為的僵硬設計更加貼近自然。
明年，老顧會將清華計算共形幾何的課堂搬到大興機場，用扎哈的藝術作品來使學生感受到幾何的壯美，從而儘早開悟。
調和葉狀結構，扎哈的千古絕唱，必將成為首都北京的地標，成為首都人民審美的地標，成為首都人民科學思想的地標！
來源：老何談幾何
作者：顧險峰
本文約6200字，建議閱讀10分鐘。
本文從幾何的角度介紹了被譽為“扎哈的絕唱”——大興機場的構造。
偉大的數學和偉大的藝術精神實質是相通的，偉大的數學家和偉大的藝術家通過不同的途徑領悟到自然的奧妙玄機，用不同的方式向芸芸眾生傳達語言難以描繪的優美深邃。這些超越時代的先驅者往往無法被普羅大眾所理解，他們的人生充滿苦難和挫折。但是依隨時代的進步，他們光輝的思想逐漸被社會所認可並欣賞，終歸成為人類文明史上的瑰寶。
六芒星
2019年夏天，老顧再度在清華大學丘成桐數學科學中心開課，講解《計算共形幾何》。學生們來自世界各地，既有青蔥少年，莘莘學子，也有學識淵博的大學教授。既有工程領域的骨幹精英，也有功成名就的金融家，企業家。年輕人才氣縱橫，鋒芒畢露；年長者含蓄內斂，目光深遠。很多學員在自己的領域深耕多年，深刻地理解了所在領域的根本問題，並且多年來一直力圖解決，因此來學習共形幾何，希望跨界的思維會帶來實質性的突破。
圖1. 六芒星的構型
今年課程設計的重點是亞純微分，黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理，泰西米勒理論，目的之一是為了奠定計算力學、機械設計中的四邊形網格生成的理論基礎。這些概念和理論非常抽象，學生們經常詢問如何能夠更直觀地理解。老顧覺得，從傳統數學教育角度而言，理想的直觀理解過程是這樣的：一名學生已經具有一定的素養，其知識體系相對完備而豐富，證明一個新定理所需要的概念和引理在其知識體系之內，因此他能夠理解並接受這一定理的證明；但是這一定理所陳述的事實超越了他的想象，定理所蘊含的深意超越了他的思想深度；從理智上，他承認這一定理的證明無懈可擊，但是從感情上，他一時無法接受。在這種情形下，他能夠真正擴大知識結構，內化這一定理，並昇華到更為抽象普適的層次。
但是，這一理想情形是非常珍貴而稀少的，一般情形很少有學生能夠具有完整的概念鏈條。例如，為了學習阿貝爾-雅可比定理，我們需要全純函數、共形結構、黎曼面、亞純微分、除子、黎曼-羅赫定理等一系列艱深的概念和理論。因此，很多時候，我們藉助每個人天然的靈性和對自然幾何的感受力來強行推進，直至頓悟。這其實和數學歷史的真正發展是一脈相承的。當年，阿貝爾洞察到了阿貝爾定理，並給出了初等證明。但是，無人真正理解其內在深意。此後，人類數學家又花費了一百多年才發展出成熟的數學語言，能夠清晰描述阿貝爾定理，才真正到達阿貝爾理論的中心腹地。在短暫的暑期課程中，大多數的時候，我們只能從抽象到抽象，學生們都似乎處在朦朧混沌的狀態之中，自行編織知識網絡，填補認知漏洞，深化或者顛覆以往的理解。這需要耗費大量的腦力和耐心，非常艱辛。每次上課之前，老顧都會在黑板上畫下猶如巫術圖騰般的圖案：六芒星（如圖1所示），因為這一詭異的構型代表了黎曼面上的亞純微分，深刻聯結著黎曼-羅赫定理，阿貝爾-雅可比定理和泰西米勒理論。老顧希望六芒星在年輕人的心頭留下微弱的火種，或許數十年之後能夠在世界的某個角落，燃起熊熊烈火！
謝師宴
每年老顧回清華講學，都要宴請當年的班主任黃連生老師，以感謝栽培之恩。三十年前，黃老師力排眾議，在清華計算機系極為有限的資源之中為我們理論班十幾個年輕學生爭取來非常難得的學習機會，並且同時從數學和計算機兩個方面培養我們。黃老師的高瞻遠矚，為老顧的學術生涯指明瞭方向和奠定了基礎，從而將數學和計算機科學相結合，和丘成桐先生創立了計算共形幾何。
在謝師宴上，黃老師和理論班同學親切地敘舊，探討了國際時局。最近，老顧和合作者團隊證明了曲面四邊形網格和亞純四次微分的等價性，用阿貝爾-雅可比定理給出了奇異點構型的充要條件。黃老師和老顧詳細討論了證明細節，並且一針見血地指出了關鍵之處，這令老顧既驚訝又欽佩。黃老師非常關切地詢問了今年暑期課程的情況，他意味深長地對老顧說道：“你暑期來清華開課差不多有十年了吧？這十年來，計算共形幾何在中國普及得如何呢？相信你依然會堅持下去，只問耕耘、不求收獲。”
黃老師對於中國的教育現狀理解得非常透徹，對於學術界的優點和問題洞若觀火。他向老顧指出了普及計算共形幾何不可一蹴而就，要做長久努力，任重而道遠。同時，黃老師和老顧都深信，共形幾何作為自然界的一部分，其重要性遲早會在各個領域呈現；從陌生到熟悉，共形幾何終歸被會人們所接受並欣賞。
但是，令我們都出乎意料的是：猶如一夜間，六芒星在北京凌空炸裂，亞純微分在首都大地恣肆流淌！這一切都是因為一座偉大的建築橫空出世 - 北京大興國際機場！
圖2. 北京大興國際機場航拍
大興機場
耗資800億，號稱“新世界七大奇蹟”之首的北京大興機場，是世界上最大的單體航站樓，超過了迪拜世界中心和土耳其伊斯坦布爾第三國際機場，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。
圖3. 北京大興國際機場航拍 /李召麒
從空中鳥瞰永定河北岸的大興機場，宛如一隻巨大的蝴蝶，神祕而魔幻。當我們抵近航站樓的中心，我們看到了一個規模宏大的：六芒星！
圖4. 北京大興國際機場航拍近景
航站樓的屋頂被兩族曲線剖分，和諧優雅，流暢靈動。站在航站樓內部，仰望穹廬，六芒星的構型更加突兀明顯。老顧的學生們齊聲尖叫：調和葉狀結構，全純二次微分！
圖5. 北京大興國際機場內部仰望穹頂結構
自由彎曲的曲面，詭異妖媚的曲線，稍微對建築藝術有所瞭解的人一眼就可以看出：這絕對是建築女魔頭扎哈·哈迪德的典型風格！不錯，大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱，天鵝之歌！
圖6. 建築界的女魔頭，曲線之王 扎哈·哈迪德 （©Mary McCartney）
女魔頭
扎哈·哈迪德（ZahaHadid）天縱奇才，舊世界的顛覆者，新世界的征服者，第一個女性普利茲克獎獲獎者！她徹底解構了傳統的建築美學標準，大膽運用幾何結構來構造空間，其參數化（parametricism)設計使得建築掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，其標誌性的曲線更給她帶來了無數的讚美和爭議。
傳統建制派的建築師對她恨之入骨，而又寢食難安，他們從建築的實用性、施工難度、和環境的融入程度方面責難扎哈的作品，肆無忌憚地嘲笑扎哈狂妄自大，剛愎自用，沽名釣譽，空洞淺薄。他們無視扎哈作品的恢弘壯麗、石破天驚，喋喋不休於屋頂漏水、表皮脫落、廁位笨拙。他們批判扎哈精神錯亂，對歷史無知，對自己智商盲目崇拜。這使得扎哈職業生涯的前二十年飽受摧殘，所有的設計都只能停留在圖紙之上，沒有哪怕一件得以施工。
圖7. 望京Soho
但是扎哈不屈不撓，以雖萬人、吾往矣的英雄氣概與世界抗爭。沒有經過建築設計訓練的廣大人民群眾被扎哈的作品深深震撼，扎哈的設計突破了他們的想象極限，使得他們看到原來建築可以在大地上糾纏盤繞，奔騰流淌，破碎融合，蜷曲彌散。扎哈的才華最終掙脫了世俗的羈絆，得到了世人的愛戴和敬仰。但是，作為一名鬥士，長期的精神摧殘和超負荷的設計，使得扎哈在事業的巔峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨華麗的遺作：大興機場，令人扼腕痛惜！
圖8. 澳門新濠天地酒店
數學分析扎哈的突破
那麼，從數學家的角度如何來評價扎哈的設計作品呢？扎哈的本質突破在哪裡？其作品是精神失常的產物嗎？還是歸結為幾何的必然？
老顧對建築設計方面一無所知，但卻是最懂扎哈作品之人，能夠將扎哈的建築風格提升到（數學）理論高度。
- 幾何的突破: 在傳統建築行業，幾乎所有的作品都是橫樑、立柱、平牆、方窗，換言之幾乎所有的建築表面都是平直的，高斯曲率幾乎處處為零。這意味著傳統建築是基於歐幾里得幾何。只有極少數天才的設計突破了零曲率幾何，例如高迪和扎哈。扎哈是絕無僅有的肆無忌憚地使用黎曼幾何進行建築設計的第一人。人類歷史上，在長達數千年的期間，人類都認為平直的歐幾里得幾何是天然的、唯一真實的幾何，直到愛因斯坦創建了廣義相對論，人類才意識到原來自然時空是彎曲的，黎曼幾何才是世界的真實圖景。從這個角度而言，扎哈使人類明白了真實的建築世界應該是彎曲的黎曼幾何。
圖9. 大興機場內部的紐結結構
- 拓撲的突破: 在傳統建築中，幾乎所有的樓宇都是簡單的拓撲球面，即大樓的整體表面沒有環柄。扎哈以睥睨天下的氣魄，將高虧格曲面大膽應用。圖8的 澳門新濠天地酒店大樓表面就是一張虧格為3的黎曼面，即3個環柄。三維歐幾里得空間中的曲線可以彼此纏繞，從而形成各種紐結。圖9顯示了大興機場內部棧橋被設計成紐結結構。這些複雜的拓撲構型，在傳統建築中極為罕見，這是扎哈在拓撲方面的突破。
- 葉狀結構: 身為曲線之王，曲面的葉狀結構（foliation）成為扎哈的終身標誌。Foliation本意是落葉層疊之意，在拓撲中代表將高維流形規則地分解為低維流形，因此本質上是具有美學價值的解構。
圖10. 小貓曲面的葉狀結構
圖10顯示了小貓曲面的葉狀結構，除了幾個奇異點之外，曲面整體被分解為封閉圓圈（葉子），局部上看，這些圓圈彼此平行。對比圖7，我們看到，望京Soho的大樓表面被分解成彼此平行的圓圈，這些圓圈構成了曲面的一個葉狀結構。
圖11. 高虧格曲面的葉狀結構
圖11顯示了虧格為2的曲面上，三個彼此不同的葉狀結構。在奇異點處，葉子成為三岔路口。我們將每片葉子在曲面上自由滑動，使得這些葉子的分佈儘量流暢光滑，這種形變不會改變葉狀結構的整體拓撲性質，但是會增加葉狀結構的美學價值。兩個葉狀結構如果能夠彼此形變成為對方，則我們說它們彼此等價。由共形幾何理論，每個葉狀結構都可以如此變換成一個最為流暢柔順的葉狀結構，即所謂的調和葉狀結構，每個葉狀結構等價類中，調和葉狀結構存在並且唯一。
圖12. 共軛調和葉狀結構
每個調和葉狀結構都有另外的一個調和葉狀結構處處與之垂直，被稱為共軛調和葉狀結構。如圖12所示，紅色和藍色的兩個葉狀結構彼此共軛。仔細觀察圖3和圖4，用建築術語講，我們看到扎哈為大興機場設計了兩族彼此垂直的流暢曲線；用幾何術語講，扎哈對於流暢柔順流線的極致追求，本質上導致了大興機場設計中的共軛調和葉狀結構。由此可見，美學的語言和幾何語言在這個場景下彼此等價。
圖13. 葉狀結構中度為6的奇異點
圖14. 葉狀結構中度為8的奇異點
圖15. 度為5的奇異點
扎哈建築理論的深入思考
至此，我們得出結論，大興機場的整體設計是共軛調和葉狀結構，設計中心是葉狀結構的奇異點。那麼，我們自然會產生一系列的疑問，這些疑問的解答只能依賴於深刻的共形幾何理論。
- 第一個問題：為什麼一定是六芒星？而不是五芒，或者七芒星？
圖13-15 詳盡地解答了這個問題：仔細觀察圖13和圖14，沿著格線，我們的確能夠得到兩族彼此共軛的調和葉狀結構。但是，圖15中，沿著格線，我們得到的不止兩族圓圈，並且每族圓圈都無法覆蓋整個曲面。換言之，圖15中的任意一族局部彼此平行的圓圈都無法構成曲面的葉狀結構。理論上，曲面上的葉狀結構的奇異點通常是如圖13所示那樣，局部是一顆六芒星。圖14中度為8的奇異點不穩定，經過微小擾動，可以分解成兩顆六芒星。因此，大興機場的六芒星構型本質上代表了調和葉狀結構的穩定奇異點（唯一）結構，這是幾何原理所限制的必然。
扎哈並沒有精神失常，她的極端理性和審美導致了唯一的設計方案。扎哈天才地悟到了調和葉狀結構的唯一性，和奇異點結構的唯一性。
- 第二個問題：在一般曲面上，扎哈追求的共軛調和葉狀結構存在嗎？有多少個？
這個問題非常深刻。共軛調和葉狀結構滿足特定的橢圓型偏微分方程，解的存在性和解空間的大小由曲面的拓撲所決定，葉子的形狀和分佈由曲面的黎曼度量和葉狀結構的整體拓撲性質所決定。
一對共軛的調和葉狀結構等價於曲面的一個全純二次微分。如果部分指定奇異點的位置，那麼所有滿足條件的調和葉狀結構構成一個線性空間，空間的維數由黎曼-羅赫定理所決定。有興趣的同學可以參看老顧關於黎曼-羅赫定理的講義。
- 第三個問題：在一般曲面上，共軛調和葉狀結構的奇異點如何確定？
調和葉狀結構，或者等價的，全純二次微分具有很強的剛性。剛性這裡意味著如果所有的奇異點位置確定下來，那麼相應的全純二次微分和葉狀結構也就確定下來了。對於設計而言，要麼整體大改，要麼不改，局部微調是不可能的。並且所有的奇異點之間存在很強的約束，隨意給定幾個點，基本上不存在以這些點為奇異點的全純二次微分。那麼如何確定給定的點可否作為奇異點來求得調和葉狀結構？答案在於，這些點應該滿足阿貝爾定理。同學們可以參看阿貝爾定理講義和雅可比定理講義。
扎哈建築設計的計算
扎哈的大興機場整體設計是共軛調和葉狀結構，設計中心是葉狀結構的奇異點。據說這些柔順的曲線都是扎哈手繪出來的。大興機場還沒有對外開放，老顧還沒有實地考察過內部設計。理論上，調和葉狀結構都是可以自動計算出來的，但是現存於世的方法不超過兩種。老顧團隊在2017年給出了一種基於圖值調和映射的算法，詳細解釋請參閱【1】和【2】。
圖16. 調和葉狀結構的算法
圖16解釋了我們算法的核心思路。如圖所示，給定一個靠虧格曲面，我們計算一些封閉圈（紅色曲線）滿足條件：每條圈沒有自相交；圈與圈彼此不相交；圈與圈彼此不同倫，即我們無法在曲面上將一條圈漸變成另外一條圈。我們儘量選取儘可能多的這種圈，直至無法在找到新圈為止。這些圈將曲面分解成一些碎片，每個碎片都是虧格為零的曲面帶有三條邊界，被稱為是一條褲子。如此得到了曲面的一個褲子分解。
我們構造相應的褲子分解圖（graph），每條褲子變成圖中的一個結點（node），每條紅圈變成圖中的一條邊（edge）。我們再為圖中每條邊賦予一個長度，然後計算從曲面到褲子分解圖的映射，使得每條褲子映到相應結點；每條圓圈的鄰域映到相應的邊。調節映射，使得曲面映射的彈性形變能量最小，如此得到了曲面的圖值調和映射（graph-valued harmonic map）。褲子分解圖（graph）邊上每一個點的原像是曲面上的一個圓圈，這些圓圈構成了曲面的一個調和葉狀結構，每條褲子上都有一對奇異點。具體計算細節，請看論文【1，2】和【3】。
這一算法尚未融入到商業軟件，例如autocad或者maya。如果建築師朋友們有興趣在設計中融入扎哈的風格，可以聯繫老顧團隊。
思想的地標
這裡老顧從共形幾何角度，對扎哈設計理念進行透徹分析，將大興機場整體設計思想歸結為共軛調和葉狀結構（全純二次微分）及奇異點。雖然扎哈具有數學本科的背景，她不太可能深刻理解黎曼-羅赫，阿貝爾定理和葉狀結構的共形幾何理論。但令人無比驚訝的是，扎哈僅僅憑藉敏銳的審美，就從本質上深刻洞察到這些抽象的幾何理論。這也正是扎哈無與倫比的偉大之處：對人世英勇無畏，對自然敬畏純真。
共形幾何理論表明扎哈設計的結構具有極強的剛性，可以說是牽一髮而動全身，這意味著扎哈貌似驚世駭俗、大膽狂放的設計實際上是基於嚴格精密的理性。那些質疑扎哈精神失常的凡夫俗子，實際上是無法理解扎哈深邃的思想。與其說扎哈顛覆了舊世界，不如說她使人類解放了思想，使得人為的僵硬設計更加貼近自然。
明年，老顧會將清華計算共形幾何的課堂搬到大興機場，用扎哈的藝術作品來使學生感受到幾何的壯美，從而儘早開悟。
調和葉狀結構，扎哈的千古絕唱，必將成為首都北京的地標，成為首都人民審美的地標，成為首都人民科學思想的地標！
圖17. 大興機場的調和葉狀結構和奇異點，六芒星
參考文獻：
【1】N. Lei, X. Zheng, J. Jiang, Y.-Y. Lin, and X. Gu. Quadrilateral and hexahedral mesh generation based on surface foliation theory. CMAME 316 (2017), 758–781.
【2】N. Lei, X. Zheng, Z. Luo, and X. Gu. Quadrilateral and hexahedral mesh generation based on surface foliation theory II. CMAME 321 (2017), 406–426.
【3】N. Lei, X. Zheng, Z. Luo, and X. Gu. Quadrilateral Mesh Generation II: Meromorphic Quadrtic Differentials and Abel-Jacobi Condition, arXiv:1907.0021.
編輯：王菁
校對：林亦霖
— 完 —
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