漫談自然數的倒數和

比薩餅算法林根數學 2019-07-04

漫談自然數的倒數和

自然數的倒數和,從吃貨開始:

1.小明愛吃火腿腸,假設每天他有一根火腿腸,第一天他獨享一根火腿腸,但從第二天開始,以後的每天他都會多一個朋友和他分享, 若每天按人數均分火腿腸請問他在以後的日子裡,累計吃到的火腿腸會有10根之多嗎?

到底能不能達到呢?乍一看是不行,因為小明平分到的火腿腸越來越少,最後趨近於0,怎麼會達到10根呢?你覺得呢?是不是達到兩根都懸?

好吧,我們來分析一下:

達到兩根還是容易呢!因為小明第一天就吃了一根了,第二天會有半根,第三天會有1/3根,第四天會有1/4根,你看這時他吃了多少?

1+1/2+1/3+1/4=25/12,是不是大於2了?

那麼他能不能吃到的總和多於3塊呢?

如果一個數一個數地往後硬算,會很麻煩是不是?那麼怎麼來解決這個問題呢?事實上,數學家的思維不是一個個地累加,而是用估計的方式來完成就行了:

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…+1/16=1+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+1/10+…+1/16)

>1+(1/2) +(1/4)×2+ (1/8)×4+ (1/16)×8=3,

也就是說,至多到第16天,小明累計吃到的火腿腸就會超過3根.

那麼按此算法,小明累計吃到了10根火腿腸的天數就不難得出:

把原數列的和:

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…

其項數由結合律進行分組:1+1+2+4+8+16+…+m,則必有

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…>1+m/2,

要求1+M/2>10,只要m>18,即可,那就是說要達18個括號分組,那究竟至多是第幾項呢?

這樣來算:

=524 288,

哇!50萬項之後呢?實際上,也可以對2的19次方進行如下估計:

如果沒有計算器的話,還是下面的估計快些.

注意,這裡是至多喲,因為是估算,說不定前面的某項已經達到了呢.那麼我們能不能找到一個辦法精確地算出是第幾項呢?

這個可是因難呢,可以說到目前為止,也沒有很好的辦法達到精確的估計,不過有我們可以對這個問題的一般情形,可以找到較為精確的估計:

1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…

通過繪製y=ln(1+x)和y=x的圖象,不難發現x>ln(1+x)

則有

S=1+1/2+1/3+…+1/n

>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+...+ln(1+1/n)

=ln2+ln3/2+ln4/3+...+ln((n+1)/n)

=ln(2*3/2*4/4*...(n+1)/n)=ln(1+n),

實際上,還可以證明:

S=1+1/2+1/3+…+1/n<lnn+1,

可以看出,

ln(n+1)<1+1/2+1/3+…+1/n <lnn+1,

那就是說1+1/2+1/3+…+1/n與lnn接近,兩者會不會有差別,差別有多大呢?

Euler第一個證明,即使n充分大,兩者也不會相等,會差著一個常數C,這個常數是

C=0.57721566490153286060651209......

弔詭的是,直到今天,人們還沒有弄清這個Euler常數C是什麼樣的數?它是無理數還是有理數不清楚(一般傾向認為C是無理數),更遑論代數數及超越數的判定了!

目前尚不知道歐拉常數是否為有理數，但是分析表明如果它是一個有理數，那麼它的分母位數將超過10的242080次方.

上述問題被稱為調和數列的求和,由此派生出來的Euler常數,在高等數學中甚有作用.

看下一個問題:

2.小紅愛吃披薩餅,第一天她獨享一隻披薩,但以後每天來的人按天數的平方遞增(即第n天來了n×n人), 若每天按人數均分披薩,問小紅累計吃到的披薩會超過兩隻嗎?

乍看一下,好象可以用調和數列求和的方法來解決小紅的問題,果真是這樣嗎?

小紅獲得的蛋糕:

1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+…+1/(n×n)+…> 1+[1/(2×2)+1/(3×3)]+[1/(4×4)+ [1/(8×8)]+…

我們立即發現,中括號內的項分母是不連續,無法象上面一樣進行放縮估計,所以是行不通的!

實際上,我們嘗試一下逐項計算:

記S(n)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+…+1/(n×n),

則有

S(1)=1,S(2)= 1+1/(2×2)=5/4=1.25,S(3)= 1+1/(2×2)+1/(3×3) =49/36≈1.36,S(4)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)≈1.42,

S(5)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+1/(5×5)≈1.46,

什麼感覺,好象是越往後增加的越慢,是不是?這說明,這個數列的和可能是有界的!

事實果真如此:

S(n)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+…+1/(n×n)

<1+1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/[(n-1)×n]

=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…+[1/(n-1)-1/n]

=2-1/n,

顯然,無論n如何,2-1/n總小於2,那麼可以看出,按這樣的分法,小紅永遠吃到的披薩都不會多於兩塊!

問題來了,既然這裡的S(n)=1+1/(2×2)+1/(3×3)+1/(4×4)+…+1/(n×n),單調有界,那麼它必有極限,它的極限是多少呢?

事實上,我們可以通過級數或二重積分證明,這個極限值是

猜一猜這個發現是誰最先給出的?

猜到了嗎,就是上面提到的那人大名鼎鼎的Euler,真是神一樣的Euler!

平方倒數求和最早出現於17世紀意大利數學家蒙哥利(Mengoli P,1626一1686）的《算術求和新法》（1650).

無窮級數

是書中所論形數倒數求和問題中的一個特殊情形。

在發表於19年的論文“具有有限和的無窮級數的算術命題”中，瑞士著名數學家雅各．伯努利(Jacob.Bernoulli，1654一1705）部分重複了蒙哥利的無窮級數工作，在論文最後，伯努利稱，儘管級數

的求和問題易如反掌，但奇怪的是，ζ（2）的和卻難以求出．他說:”如果有誰解決了這個迄今讓我們束手無策的唯題，並告知我們，我們將十分感激他．”

實際上，當時歐洲的一流數學家，如約翰．伯努利(Bernoulli J,1667-1748）及其子丹尼爾．伯努利(Bernoulli D,1700-1782）、哥德巴赫（Goldbach C 1690-1764）、萊布尼茨（Leibniz G W，1646-1716）、棣莫佛（Moivre A De，1667-1754）、斯特林(Stirling J,1692-1770）等都未能成功解決這一難題，其中哥德巴赫在與丹尼爾的通信（1729）中給出和的上、下限1．644和1．645；斯特林在其《微分法》中給出近似值

1.644934066.

瑞士大數學家歐拉(Euler L，1707-1783〕最早於1735年解決了這個所謂的“巴塞爾難題”，這是他年輕時期最著名的成果之一．但證明不是很完善,及至後來二重積分及級數的發展,才最終完善了這個極限的證明.

由於π是超越數(林德曼定理),故ζ(2)也是超越數.

再提一個問題:

3.小英愛吃蛋糕, 第一天她獨享一隻蛋糕,但以後每天來的人按天數的立方遞增(即第n天來了n×n×n人),若每天按人數均分蛋糕,問小紅累計吃到的披薩會超過一隻嗎?