學過傅里葉級數的朋友對這個公式並不陌生：看上去挺嚇人的其實簡單優美。
我們現在從另一個角度來看看它的內在原理與本質。
都知道地球繞太陽公轉，地球本身也在自轉，月亮又繞著地球轉。
那麼地球和月亮的合成的運動軌跡就是：
地球 月亮相對太陽實在太渺小，近似的看做圓周運動（實際是橢圓軌道）
上述的運動軌跡是地球和月亮的疊加，但包含著傅里葉級數最本質的原理：
先看簡單的正弦波（旋轉頻率ω）：正弦波就是圓周運動軌跡在直線上的投影（橫軸是時間）
（看做 sin x函數圖形）
增加一個小圓（旋轉頻率3ω）圍繞大圓運動，兩個圓的運動軌跡疊加如圖（橫軸是時間）
（看做 sin 3x+ sin x函數圖形）
在小圓上在增加一個更小的圓（旋轉頻率5ω），三個圓運動軌跡的疊加如圖（橫軸是時間）
（看做 sin 5x+ sin3 x+ sin x函數圖形）
以此增加圓周運動（旋轉頻率15ω），所有運動軌跡疊加圖形
（看做 sin 15x+ .....+sin x函數圖形）
疊加的越多波形越趨於某個穩定圖形，
傅里葉級數要處理的就是將這些疊加的圖象拆散，分成一個個疊加的單個的三角函數。
一提到旋轉首先想到的就是歐拉公式，（前面文章已經闡述歐拉公式的本質就是旋轉）
我們先來看幾個公式的含義
例如 旋轉180度
e^it是1圈/秒時在單位圓上的位置，那e^(i3t)就是3圈/秒時在單位圓上的位置，4是圓的半徑
每個旋轉都可以用複數來表示，當運動的起始點是1+i的位置時，任意時刻位置就是
旋轉一週的面積就是0：很簡單的面積計算
用計算機模擬如下的運動規律：每個公式的含義就是前面敘述的，指數的負號是反向運動
總的運動就是這些公式的疊加（公式的顏色對應圓的顏色）
所以總的運動就可寫成如下一般通用形式
化簡乘以其中的一個負指數
兩邊積分得到
就得到優美的傅里葉級數指數形式的係數公式：
所以從運動的角度輕而易舉得到傅里葉級數的本質原理和優美簡潔的公式。
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