從行星運行軌道到傅里葉分析級數的誕生

如果有兩個圓，其中小圓的半徑是大圓半徑的一半，小圓上有個小紅點，現在讓小圓與大圓保持內切並滾動起來。

那麼小紅點的軌跡是什麼？答案就是一條直線，它是13世紀波斯天文學家阿爾丁.圖西發現的

今天我們就從早期的宇宙模型到當代傅里葉級數分析，天體的運行軌道就是一個圓的組合疊加運動，月亮繞地球旋轉時，如果月亮是動圓上的紅點，行星是動圓上的中心，你就會聯想到如圖軌跡。

如果小圓尺寸不變，將月球向小圓周邊移動，月球的軌道就是完美的橢圓形狀

如果把動圓半徑變為大圓半徑的1/3，就會得到一個近似的等邊三角形

所以此類任意複雜曲線都可以通過無數種方式畫出來，但要達到數學上的精確程度，就需要無數個小圓。如圖許多疊加的小圓繪製的圖形。

19世紀初法國大數學家傅里葉發表了一篇論文，使得人們對這種複雜運動有了更深層次的認識，這就是傅里葉分析

現在我們由此進入正題，傅里葉級數：首先歐拉公式已經很熟悉了，當角度t從0到2π時，紅點的軌跡就是單位圓

紅點從0到π時，它的位置就從0移到了-1

注意；紅點逆時針繞單位圓一週時，t就是正的。如果順時針繞單位圓一圈時，t就是負數，即-t

如果用2t代替t，則t從0到2π時，紅點逆時針旋轉速度加倍，t前面的數字越大旋轉越快。

我們將t變為3t，指數係數乘以4，就是沿著半徑為4的圓周運動

而這樣的描述不但對所有實數成立，它對所有複數也成立，如圖表示圓周運動的起點和終點

為1+i，角速度是3rad/s

這種復指數項從0到2π的積分是0，直觀的理解就是經過圓上每個複數點都會被其反向抵消。

如果你想勻速的畫出π的圖像，就需要更多的圓周疊加，圓越多，圖形越精確。

如圖畫出圖中輪廓，就需要這四個圓按照一定的方式疊加，四個彩色的圓和如下公式的顏色一一對應。圓周運動組合項頂部那個複數項，代表黑色的定位點

仔細觀察這些項中復指數部分，藍色圓對應的指數是1it，紫色圓是-1it，橘色為2it，紅色為-2it，規律很明顯，接著就是,3，-3, 4，-4，每個整數都出現一次，除了0之外，只是e^0=1,因此無數的圓周運動的和就是這樣的。

它是雙向的無窮項的和，所以可以寫成如下公式，t取值從0到2π，因為閉合曲線起止於同一個複數點，所以該和在0和2π處取值相等。因而和式包含多個周期函數

傅里葉變換將任意週期介於0到2π乘以某複數之間的函數，表示成這種雙向無窮複數項之和的形式，看如何計算這些複數函數

要去除c2右邊的e^2it，首先在等式兩邊同時乘以e^-2it

上式化簡整理，然後兩邊積分，方框內的均為0（前面得出的結論）

化簡得到：C2

由此也得到Cn的

讓我們再次向偉大的傅里葉致敬