'為什麼說靜止質量和運動質量的說法是錯的——兼論相對論4-矢量形式表述'

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

1

引 子

筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

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引 子

筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

2

關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

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引 子

筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

2

關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc²那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

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引 子

筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

2

關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc²那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，

，表達式為兩項之差。這個結果可理解粒子運動時的能量為 E= γmc² ，粒子靜止時能量為 E₀=mc² ，兩者之差就是動能 E_k=mc²(γ-1) 。普朗克1906年文章認為相對論協變性要求牛頓第二定律為

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

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筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

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關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc²那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，

，表達式為兩項之差。這個結果可理解粒子運動時的能量為 E= γmc² ，粒子靜止時能量為 E₀=mc² ，兩者之差就是動能 E_k=mc²(γ-1) 。普朗克1906年文章認為相對論協變性要求牛頓第二定律為

，也即粒子動量的定義應修訂為

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

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引 子

筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

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關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc²那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，

，表達式為兩項之差。這個結果可理解粒子運動時的能量為 E= γmc² ，粒子靜止時能量為 E₀=mc² ，兩者之差就是動能 E_k=mc²(γ-1) 。普朗克1906年文章認為相對論協變性要求牛頓第二定律為

，也即粒子動量的定義應修訂為

。如果從要求兩粒子彈性碰撞在兩個相對速度為u的參照框架內滿足動量守恆和能量守恆，會發現對於在給定框架內以速度v運動的粒子，合適的動量和動能形式是，P= γmv ，E= γmc²。

有人根據 和 E= mc² 就便編故事了。這種觀點認為，粒子靜止時的能量是 E= m₀c² ，粒子運動時能量是

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

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筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

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關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc²那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，

，表達式為兩項之差。這個結果可理解粒子運動時的能量為 E= γmc² ，粒子靜止時能量為 E₀=mc² ，兩者之差就是動能 E_k=mc²(γ-1) 。普朗克1906年文章認為相對論協變性要求牛頓第二定律為

，也即粒子動量的定義應修訂為

。如果從要求兩粒子彈性碰撞在兩個相對速度為u的參照框架內滿足動量守恆和能量守恆，會發現對於在給定框架內以速度v運動的粒子，合適的動量和動能形式是，P= γmv ，E= γmc²。

有人根據 和 E= mc² 就便編故事了。這種觀點認為，粒子靜止時的能量是 E= m₀c² ，粒子運動時能量是

（這一步已經是錯的了），m₀是靜止質量，而m是運動質量，

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

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筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

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關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc²那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，

，表達式為兩項之差。這個結果可理解粒子運動時的能量為 E= γmc² ，粒子靜止時能量為 E₀=mc² ，兩者之差就是動能 E_k=mc²(γ-1) 。普朗克1906年文章認為相對論協變性要求牛頓第二定律為

，也即粒子動量的定義應修訂為

。如果從要求兩粒子彈性碰撞在兩個相對速度為u的參照框架內滿足動量守恆和能量守恆，會發現對於在給定框架內以速度v運動的粒子，合適的動量和動能形式是，P= γmv ，E= γmc²。

有人根據 和 E= mc² 就便編故事了。這種觀點認為，粒子靜止時的能量是 E= m₀c² ，粒子運動時能量是

（這一步已經是錯的了），m₀是靜止質量，而m是運動質量，

。速度越大，粒子的運動質量就越大。更文藝一點的物理學家的表述是，速度越大粒子就越胖。這個對 的詮釋發生在狹義相對論出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。

本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式 是關於一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子的能量，從純數學的角度來說，它是個 E=E(v) 函數，靜止時 E= mc² 不過就是 E(v=0) 。這個函數的變量始終是速度v，而m只是個參數（para-meter），測量時的旁觀者！這個物理圖像裡就沒有函數 m=m(v) 這檔子事兒！2. 在更多的相對論內容中，質量m是粒子的特徵標籤（tag. 如同電荷q），是時空變換龐加萊群的指標（index）， 是一個標量（scalar, 0-order tensor）， 是洛倫茲變換不變量（invariant）。在所有這些表述裡，都明確指出粒子的質量是個有獨立人格的量，它不是粒子速度的函數！

現在，請允許我補充一些相對論力學的內容。這些內容會利用粒子質量是標量、是洛倫茲變換不變量的事實。粒子質量是不變量是相對論動力學的基石。

3

相對論動力學的4-矢量表述

狹義相對論中，時間和空間座標合併組成了時空的4-矢量 R=(x, y, z, ct) ，其內積定義為 R₁·R₂=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂-c²t₁t₂ 。4-矢量內積是洛倫茲變換不變量，即經過變換R'=∧(u)R 變換後，內積不變， R'₁·R'₂=R₁·R₂ 。洛倫茲變換∧(θ)具體地可表示為

ct'=ct coshθ-x sinhθ

x'=-ct sinhθ+x coshθ

y'=y

z'=z

其中 tanhθ=u/c。這個變換和空間中的轉動很相似，閔可夫斯基稱之為贗轉動（pseudorotation）。

洛倫茲變換是狹義相對論的核心，相對性原理就體現在物理規律的洛倫茲變換不變性上。狹義相對論語境下的物理學應該使用時空中的標量、矢量、高階張量來構造獨立於慣性參照框架的不變量。談及狹義相對論的動力學，應嚴格使用洛倫茲變換來理解相應的內容。太多的誤解、錯誤以及困惑都是由於不堅持原則和不使用嚴格數學造成的。撇開洛倫茲變換討論狹義相對論，徒增誤解而已。

按照閔可夫斯基時空的度規，

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

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引 子

筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

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關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc²那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，

，表達式為兩項之差。這個結果可理解粒子運動時的能量為 E= γmc² ，粒子靜止時能量為 E₀=mc² ，兩者之差就是動能 E_k=mc²(γ-1) 。普朗克1906年文章認為相對論協變性要求牛頓第二定律為

，也即粒子動量的定義應修訂為

。如果從要求兩粒子彈性碰撞在兩個相對速度為u的參照框架內滿足動量守恆和能量守恆，會發現對於在給定框架內以速度v運動的粒子，合適的動量和動能形式是，P= γmv ，E= γmc²。

有人根據 和 E= mc² 就便編故事了。這種觀點認為，粒子靜止時的能量是 E= m₀c² ，粒子運動時能量是

（這一步已經是錯的了），m₀是靜止質量，而m是運動質量，

。速度越大，粒子的運動質量就越大。更文藝一點的物理學家的表述是，速度越大粒子就越胖。這個對 的詮釋發生在狹義相對論出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。

本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式 是關於一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子的能量，從純數學的角度來說，它是個 E=E(v) 函數，靜止時 E= mc² 不過就是 E(v=0) 。這個函數的變量始終是速度v，而m只是個參數（para-meter），測量時的旁觀者！這個物理圖像裡就沒有函數 m=m(v) 這檔子事兒！2. 在更多的相對論內容中，質量m是粒子的特徵標籤（tag. 如同電荷q），是時空變換龐加萊群的指標（index）， 是一個標量（scalar, 0-order tensor）， 是洛倫茲變換不變量（invariant）。在所有這些表述裡，都明確指出粒子的質量是個有獨立人格的量，它不是粒子速度的函數！

現在，請允許我補充一些相對論力學的內容。這些內容會利用粒子質量是標量、是洛倫茲變換不變量的事實。粒子質量是不變量是相對論動力學的基石。

3

相對論動力學的4-矢量表述

狹義相對論中，時間和空間座標合併組成了時空的4-矢量 R=(x, y, z, ct) ，其內積定義為 R₁·R₂=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂-c²t₁t₂ 。4-矢量內積是洛倫茲變換不變量，即經過變換R'=∧(u)R 變換後，內積不變， R'₁·R'₂=R₁·R₂ 。洛倫茲變換∧(θ)具體地可表示為

ct'=ct coshθ-x sinhθ

x'=-ct sinhθ+x coshθ

y'=y

z'=z

其中 tanhθ=u/c。這個變換和空間中的轉動很相似，閔可夫斯基稱之為贗轉動（pseudorotation）。

洛倫茲變換是狹義相對論的核心，相對性原理就體現在物理規律的洛倫茲變換不變性上。狹義相對論語境下的物理學應該使用時空中的標量、矢量、高階張量來構造獨立於慣性參照框架的不變量。談及狹義相對論的動力學，應嚴格使用洛倫茲變換來理解相應的內容。太多的誤解、錯誤以及困惑都是由於不堅持原則和不使用嚴格數學造成的。撇開洛倫茲變換討論狹義相對論，徒增誤解而已。

按照閔可夫斯基時空的度規，

，其中的固有時"

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

1

引 子

筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

2

關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc²那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，

，表達式為兩項之差。這個結果可理解粒子運動時的能量為 E= γmc² ，粒子靜止時能量為 E₀=mc² ，兩者之差就是動能 E_k=mc²(γ-1) 。普朗克1906年文章認為相對論協變性要求牛頓第二定律為

，也即粒子動量的定義應修訂為

。如果從要求兩粒子彈性碰撞在兩個相對速度為u的參照框架內滿足動量守恆和能量守恆，會發現對於在給定框架內以速度v運動的粒子，合適的動量和動能形式是，P= γmv ，E= γmc²。

有人根據 和 E= mc² 就便編故事了。這種觀點認為，粒子靜止時的能量是 E= m₀c² ，粒子運動時能量是

（這一步已經是錯的了），m₀是靜止質量，而m是運動質量，

。速度越大，粒子的運動質量就越大。更文藝一點的物理學家的表述是，速度越大粒子就越胖。這個對 的詮釋發生在狹義相對論出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。

本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式 是關於一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子的能量，從純數學的角度來說，它是個 E=E(v) 函數，靜止時 E= mc² 不過就是 E(v=0) 。這個函數的變量始終是速度v，而m只是個參數（para-meter），測量時的旁觀者！這個物理圖像裡就沒有函數 m=m(v) 這檔子事兒！2. 在更多的相對論內容中，質量m是粒子的特徵標籤（tag. 如同電荷q），是時空變換龐加萊群的指標（index）， 是一個標量（scalar, 0-order tensor）， 是洛倫茲變換不變量（invariant）。在所有這些表述裡，都明確指出粒子的質量是個有獨立人格的量，它不是粒子速度的函數！

現在，請允許我補充一些相對論力學的內容。這些內容會利用粒子質量是標量、是洛倫茲變換不變量的事實。粒子質量是不變量是相對論動力學的基石。

3

相對論動力學的4-矢量表述

狹義相對論中，時間和空間座標合併組成了時空的4-矢量 R=(x, y, z, ct) ，其內積定義為 R₁·R₂=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂-c²t₁t₂ 。4-矢量內積是洛倫茲變換不變量，即經過變換R'=∧(u)R 變換後，內積不變， R'₁·R'₂=R₁·R₂ 。洛倫茲變換∧(θ)具體地可表示為

ct'=ct coshθ-x sinhθ

x'=-ct sinhθ+x coshθ

y'=y

z'=z

其中 tanhθ=u/c。這個變換和空間中的轉動很相似，閔可夫斯基稱之為贗轉動（pseudorotation）。

洛倫茲變換是狹義相對論的核心，相對性原理就體現在物理規律的洛倫茲變換不變性上。狹義相對論語境下的物理學應該使用時空中的標量、矢量、高階張量來構造獨立於慣性參照框架的不變量。談及狹義相對論的動力學，應嚴格使用洛倫茲變換來理解相應的內容。太多的誤解、錯誤以及困惑都是由於不堅持原則和不使用嚴格數學造成的。撇開洛倫茲變換討論狹義相對論，徒增誤解而已。

按照閔可夫斯基時空的度規，

，其中的固有時是個標量，不變量。故用時空的位移4-矢量除以得到的是時空的速度4-矢量，"

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

1

引 子

筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

2

關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc²那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，

，表達式為兩項之差。這個結果可理解粒子運動時的能量為 E= γmc² ，粒子靜止時能量為 E₀=mc² ，兩者之差就是動能 E_k=mc²(γ-1) 。普朗克1906年文章認為相對論協變性要求牛頓第二定律為

，也即粒子動量的定義應修訂為

。如果從要求兩粒子彈性碰撞在兩個相對速度為u的參照框架內滿足動量守恆和能量守恆，會發現對於在給定框架內以速度v運動的粒子，合適的動量和動能形式是，P= γmv ，E= γmc²。

有人根據 和 E= mc² 就便編故事了。這種觀點認為，粒子靜止時的能量是 E= m₀c² ，粒子運動時能量是

（這一步已經是錯的了），m₀是靜止質量，而m是運動質量，

。速度越大，粒子的運動質量就越大。更文藝一點的物理學家的表述是，速度越大粒子就越胖。這個對 的詮釋發生在狹義相對論出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。

本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式 是關於一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子的能量，從純數學的角度來說，它是個 E=E(v) 函數，靜止時 E= mc² 不過就是 E(v=0) 。這個函數的變量始終是速度v，而m只是個參數（para-meter），測量時的旁觀者！這個物理圖像裡就沒有函數 m=m(v) 這檔子事兒！2. 在更多的相對論內容中，質量m是粒子的特徵標籤（tag. 如同電荷q），是時空變換龐加萊群的指標（index）， 是一個標量（scalar, 0-order tensor）， 是洛倫茲變換不變量（invariant）。在所有這些表述裡，都明確指出粒子的質量是個有獨立人格的量，它不是粒子速度的函數！

現在，請允許我補充一些相對論力學的內容。這些內容會利用粒子質量是標量、是洛倫茲變換不變量的事實。粒子質量是不變量是相對論動力學的基石。

3

相對論動力學的4-矢量表述

狹義相對論中，時間和空間座標合併組成了時空的4-矢量 R=(x, y, z, ct) ，其內積定義為 R₁·R₂=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂-c²t₁t₂ 。4-矢量內積是洛倫茲變換不變量，即經過變換R'=∧(u)R 變換後，內積不變， R'₁·R'₂=R₁·R₂ 。洛倫茲變換∧(θ)具體地可表示為

ct'=ct coshθ-x sinhθ

x'=-ct sinhθ+x coshθ

y'=y

z'=z

其中 tanhθ=u/c。這個變換和空間中的轉動很相似，閔可夫斯基稱之為贗轉動（pseudorotation）。

洛倫茲變換是狹義相對論的核心，相對性原理就體現在物理規律的洛倫茲變換不變性上。狹義相對論語境下的物理學應該使用時空中的標量、矢量、高階張量來構造獨立於慣性參照框架的不變量。談及狹義相對論的動力學，應嚴格使用洛倫茲變換來理解相應的內容。太多的誤解、錯誤以及困惑都是由於不堅持原則和不使用嚴格數學造成的。撇開洛倫茲變換討論狹義相對論，徒增誤解而已。

按照閔可夫斯基時空的度規，

，其中的固有時是個標量，不變量。故用時空的位移4-矢量除以得到的是時空的速度4-矢量，，即 U=γ(v)(v_x, v_y, v_z, c) ，滿足洛倫茲變換，且內積 U·U=c²是個不變量，還是個普適的常數！所以說，在時空中，任何事物都以同樣的速度4-矢量在運動。注意這裡的速度3-矢量 (v_x, v_y, v_z) 是觀察者參照框架內看到的物體運動的速度。設想，有兩個參照框架S和S'，相對速度為u，故變換因子為 tanhθ=u/c ；則S中的粒子速度4-矢量 γ(v)(v_x, v_y, v_z, c) 和S'中的速度4-矢量 γ(v')(c, v'_x, v'_y, v'_z, c) 之間滿足洛倫茲變換 γ(v)(v_x, v_y, v_z, c)= ∧(u)γ(v')(v'_x, v'_y, v'_z, c) 。

由速度4-矢量 U=γ(v)(v_x, v_y, v_z, c) ，可以構造動量4-矢量 P=mγ(v)(v_x, v_y, v_z, c) 。 這樣得到的表達式是動量 4-矢量，因為m是個標量。再強調一遍，質量是個粒子的標籤，是個不變量！動量4-矢量遵從洛倫茲變換，其內積是洛倫茲變換不變量。有質量粒子在靜止的參照框架中 E= mc²，故對有質量粒子，任意參照框架下的動量4-矢量滿足關係式

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

1

引 子

筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

2

關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc²那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，

，表達式為兩項之差。這個結果可理解粒子運動時的能量為 E= γmc² ，粒子靜止時能量為 E₀=mc² ，兩者之差就是動能 E_k=mc²(γ-1) 。普朗克1906年文章認為相對論協變性要求牛頓第二定律為

，也即粒子動量的定義應修訂為

。如果從要求兩粒子彈性碰撞在兩個相對速度為u的參照框架內滿足動量守恆和能量守恆，會發現對於在給定框架內以速度v運動的粒子，合適的動量和動能形式是，P= γmv ，E= γmc²。

有人根據 和 E= mc² 就便編故事了。這種觀點認為，粒子靜止時的能量是 E= m₀c² ，粒子運動時能量是

（這一步已經是錯的了），m₀是靜止質量，而m是運動質量，

。速度越大，粒子的運動質量就越大。更文藝一點的物理學家的表述是，速度越大粒子就越胖。這個對 的詮釋發生在狹義相對論出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。

本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式 是關於一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子的能量，從純數學的角度來說，它是個 E=E(v) 函數，靜止時 E= mc² 不過就是 E(v=0) 。這個函數的變量始終是速度v，而m只是個參數（para-meter），測量時的旁觀者！這個物理圖像裡就沒有函數 m=m(v) 這檔子事兒！2. 在更多的相對論內容中，質量m是粒子的特徵標籤（tag. 如同電荷q），是時空變換龐加萊群的指標（index）， 是一個標量（scalar, 0-order tensor）， 是洛倫茲變換不變量（invariant）。在所有這些表述裡，都明確指出粒子的質量是個有獨立人格的量，它不是粒子速度的函數！

現在，請允許我補充一些相對論力學的內容。這些內容會利用粒子質量是標量、是洛倫茲變換不變量的事實。粒子質量是不變量是相對論動力學的基石。

3

相對論動力學的4-矢量表述

狹義相對論中，時間和空間座標合併組成了時空的4-矢量 R=(x, y, z, ct) ，其內積定義為 R₁·R₂=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂-c²t₁t₂ 。4-矢量內積是洛倫茲變換不變量，即經過變換R'=∧(u)R 變換後，內積不變， R'₁·R'₂=R₁·R₂ 。洛倫茲變換∧(θ)具體地可表示為

ct'=ct coshθ-x sinhθ

x'=-ct sinhθ+x coshθ

y'=y

z'=z

其中 tanhθ=u/c。這個變換和空間中的轉動很相似，閔可夫斯基稱之為贗轉動（pseudorotation）。

洛倫茲變換是狹義相對論的核心，相對性原理就體現在物理規律的洛倫茲變換不變性上。狹義相對論語境下的物理學應該使用時空中的標量、矢量、高階張量來構造獨立於慣性參照框架的不變量。談及狹義相對論的動力學，應嚴格使用洛倫茲變換來理解相應的內容。太多的誤解、錯誤以及困惑都是由於不堅持原則和不使用嚴格數學造成的。撇開洛倫茲變換討論狹義相對論，徒增誤解而已。

按照閔可夫斯基時空的度規，

，其中的固有時是個標量，不變量。故用時空的位移4-矢量除以得到的是時空的速度4-矢量，，即 U=γ(v)(v_x, v_y, v_z, c) ，滿足洛倫茲變換，且內積 U·U=c²是個不變量，還是個普適的常數！所以說，在時空中，任何事物都以同樣的速度4-矢量在運動。注意這裡的速度3-矢量 (v_x, v_y, v_z) 是觀察者參照框架內看到的物體運動的速度。設想，有兩個參照框架S和S'，相對速度為u，故變換因子為 tanhθ=u/c ；則S中的粒子速度4-矢量 γ(v)(v_x, v_y, v_z, c) 和S'中的速度4-矢量 γ(v')(c, v'_x, v'_y, v'_z, c) 之間滿足洛倫茲變換 γ(v)(v_x, v_y, v_z, c)= ∧(u)γ(v')(v'_x, v'_y, v'_z, c) 。

由速度4-矢量 U=γ(v)(v_x, v_y, v_z, c) ，可以構造動量4-矢量 P=mγ(v)(v_x, v_y, v_z, c) 。 這樣得到的表達式是動量 4-矢量，因為m是個標量。再強調一遍，質量是個粒子的標籤，是個不變量！動量4-矢量遵從洛倫茲變換，其內積是洛倫茲變換不變量。有質量粒子在靜止的參照框架中 E= mc²，故對有質量粒子，任意參照框架下的動量4-矢量滿足關係式

，即 E²=m²c⁴+p²c² 。這意思是說，在某參照框架內動量為p的有質量粒子，其能量-動量關係為 E²=m²c⁴+p²c² 。這個公式1928年成了狄拉克構造相對論量子力學的出發點。哦，對了，你看相對論量子力學方程中質量m始終是個不變量！

相對論4-矢量形式的表達，給許多問題的理解都帶來了方便，過程也更加優雅。就動量4-矢量而言，P·P 是個不變量，當這個不變量內積還是個普適常量的時候，洛倫茲變換的威力就顯出來了。對於有質量粒子，P=(p, E/c) ，其中 p=mγ(u)u ，則有 P·P=E²-p²c²=m²c⁴ ；對於光子，P_γ=(E/c, 0, 0, E/c)，P_γ·P_γ=0 。現在考察著名的康普頓散射問題，即光子被電子散射的過程。散射前 P_γ=（E/c, 0, 0, E/c）；電子靜止，有 P_e=（0, 0, 0, mc）；散射後，P'_γ= (E'cosθ/c, E'sinθ/c, 0, E'/c,)，散射後電子的動量 P'_e 不用顯式地解出來。由動量守恆 P'_e+P'_γ=P_e+P_γ，有 m²c²=(P_e+P_γ-P'_γ)² ，即 m²c²+2Em-2E'm-2EE'(1-cosθ)/c²=m²c² ，化簡得

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

1

引 子

筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

2

關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc²那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，

，表達式為兩項之差。這個結果可理解粒子運動時的能量為 E= γmc² ，粒子靜止時能量為 E₀=mc² ，兩者之差就是動能 E_k=mc²(γ-1) 。普朗克1906年文章認為相對論協變性要求牛頓第二定律為

，也即粒子動量的定義應修訂為

。如果從要求兩粒子彈性碰撞在兩個相對速度為u的參照框架內滿足動量守恆和能量守恆，會發現對於在給定框架內以速度v運動的粒子，合適的動量和動能形式是，P= γmv ，E= γmc²。

有人根據 和 E= mc² 就便編故事了。這種觀點認為，粒子靜止時的能量是 E= m₀c² ，粒子運動時能量是

（這一步已經是錯的了），m₀是靜止質量，而m是運動質量，

。速度越大，粒子的運動質量就越大。更文藝一點的物理學家的表述是，速度越大粒子就越胖。這個對 的詮釋發生在狹義相對論出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。

本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式 是關於一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子的能量，從純數學的角度來說，它是個 E=E(v) 函數，靜止時 E= mc² 不過就是 E(v=0) 。這個函數的變量始終是速度v，而m只是個參數（para-meter），測量時的旁觀者！這個物理圖像裡就沒有函數 m=m(v) 這檔子事兒！2. 在更多的相對論內容中，質量m是粒子的特徵標籤（tag. 如同電荷q），是時空變換龐加萊群的指標（index）， 是一個標量（scalar, 0-order tensor）， 是洛倫茲變換不變量（invariant）。在所有這些表述裡，都明確指出粒子的質量是個有獨立人格的量，它不是粒子速度的函數！

現在，請允許我補充一些相對論力學的內容。這些內容會利用粒子質量是標量、是洛倫茲變換不變量的事實。粒子質量是不變量是相對論動力學的基石。

3

相對論動力學的4-矢量表述

狹義相對論中，時間和空間座標合併組成了時空的4-矢量 R=(x, y, z, ct) ，其內積定義為 R₁·R₂=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂-c²t₁t₂ 。4-矢量內積是洛倫茲變換不變量，即經過變換R'=∧(u)R 變換後，內積不變， R'₁·R'₂=R₁·R₂ 。洛倫茲變換∧(θ)具體地可表示為

ct'=ct coshθ-x sinhθ

x'=-ct sinhθ+x coshθ

y'=y

z'=z

其中 tanhθ=u/c。這個變換和空間中的轉動很相似，閔可夫斯基稱之為贗轉動（pseudorotation）。

洛倫茲變換是狹義相對論的核心，相對性原理就體現在物理規律的洛倫茲變換不變性上。狹義相對論語境下的物理學應該使用時空中的標量、矢量、高階張量來構造獨立於慣性參照框架的不變量。談及狹義相對論的動力學，應嚴格使用洛倫茲變換來理解相應的內容。太多的誤解、錯誤以及困惑都是由於不堅持原則和不使用嚴格數學造成的。撇開洛倫茲變換討論狹義相對論，徒增誤解而已。

按照閔可夫斯基時空的度規，

，其中的固有時是個標量，不變量。故用時空的位移4-矢量除以得到的是時空的速度4-矢量，，即 U=γ(v)(v_x, v_y, v_z, c) ，滿足洛倫茲變換，且內積 U·U=c²是個不變量，還是個普適的常數！所以說，在時空中，任何事物都以同樣的速度4-矢量在運動。注意這裡的速度3-矢量 (v_x, v_y, v_z) 是觀察者參照框架內看到的物體運動的速度。設想，有兩個參照框架S和S'，相對速度為u，故變換因子為 tanhθ=u/c ；則S中的粒子速度4-矢量 γ(v)(v_x, v_y, v_z, c) 和S'中的速度4-矢量 γ(v')(c, v'_x, v'_y, v'_z, c) 之間滿足洛倫茲變換 γ(v)(v_x, v_y, v_z, c)= ∧(u)γ(v')(v'_x, v'_y, v'_z, c) 。

由速度4-矢量 U=γ(v)(v_x, v_y, v_z, c) ，可以構造動量4-矢量 P=mγ(v)(v_x, v_y, v_z, c) 。 這樣得到的表達式是動量 4-矢量，因為m是個標量。再強調一遍，質量是個粒子的標籤，是個不變量！動量4-矢量遵從洛倫茲變換，其內積是洛倫茲變換不變量。有質量粒子在靜止的參照框架中 E= mc²，故對有質量粒子，任意參照框架下的動量4-矢量滿足關係式

，即 E²=m²c⁴+p²c² 。這意思是說，在某參照框架內動量為p的有質量粒子，其能量-動量關係為 E²=m²c⁴+p²c² 。這個公式1928年成了狄拉克構造相對論量子力學的出發點。哦，對了，你看相對論量子力學方程中質量m始終是個不變量！

相對論4-矢量形式的表達，給許多問題的理解都帶來了方便，過程也更加優雅。就動量4-矢量而言，P·P 是個不變量，當這個不變量內積還是個普適常量的時候，洛倫茲變換的威力就顯出來了。對於有質量粒子，P=(p, E/c) ，其中 p=mγ(u)u ，則有 P·P=E²-p²c²=m²c⁴ ；對於光子，P_γ=(E/c, 0, 0, E/c)，P_γ·P_γ=0 。現在考察著名的康普頓散射問題，即光子被電子散射的過程。散射前 P_γ=（E/c, 0, 0, E/c）；電子靜止，有 P_e=（0, 0, 0, mc）；散射後，P'_γ= (E'cosθ/c, E'sinθ/c, 0, E'/c,)，散射後電子的動量 P'_e 不用顯式地解出來。由動量守恆 P'_e+P'_γ=P_e+P_γ，有 m²c²=(P_e+P_γ-P'_γ)² ，即 m²c²+2Em-2E'm-2EE'(1-cosθ)/c²=m²c² ，化簡得

。未來若知道光能量量子為 E=hc/λ ，此公式可改寫為 λ'=λ+λ_e(1-cosθ) ，其中 λ_e=h/mc 為電子的康普頓波長。你看，康普頓散射公式就可以這麼輕鬆地得到。在物理學史上，康普頓1923年研究光的電子散射問題時，在光能量量子上又加了動量量子 p=h/λ 的概念，最終導致了1926年光子概念的形成。上述推導繞過了必須假設光子有動量的問題。漂亮！

說了這麼多，意思就一個，討論相對論動力學時，請使用嚴格的4-矢量形式加洛倫茲變換來討論。既然有意學物理，那就請養成好的習慣：“圖像要清晰，數學要嚴格！”

4

結 語

根據 和 E= mc² 就編出靜止質量、運動質量的故事，是執一點而任意發揮帶來的誤解，也是對理論發展過程中出現的不正確理解的執著。只要再看看相對論其它部分的內容，就知道質量始終是作為一個不變量出現的——它是個基本物理量，不是運動狀態的函數。其實，消除誤解，只需往前多跨一步就行。物理學是一個宏大的知識體系，類似電荷、質量這種基礎概念，應該放到整個背景上去獲得一個一致的、自洽的理解。

本文摘自曹則賢著《相對論-少年版》（科學出版社），預計2019年11月出版

狹義相對論的核心是洛倫茲變換

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）

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引 子

筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。

圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論

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關於狹義相對論質能關係的一個誤理

狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為

。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc²那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，

，表達式為兩項之差。這個結果可理解粒子運動時的能量為 E= γmc² ，粒子靜止時能量為 E₀=mc² ，兩者之差就是動能 E_k=mc²(γ-1) 。普朗克1906年文章認為相對論協變性要求牛頓第二定律為

，也即粒子動量的定義應修訂為

。如果從要求兩粒子彈性碰撞在兩個相對速度為u的參照框架內滿足動量守恆和能量守恆，會發現對於在給定框架內以速度v運動的粒子，合適的動量和動能形式是，P= γmv ，E= γmc²。

有人根據 和 E= mc² 就便編故事了。這種觀點認為，粒子靜止時的能量是 E= m₀c² ，粒子運動時能量是

（這一步已經是錯的了），m₀是靜止質量，而m是運動質量，

。速度越大，粒子的運動質量就越大。更文藝一點的物理學家的表述是，速度越大粒子就越胖。這個對 的詮釋發生在狹義相對論出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。

本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式 是關於一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子的能量，從純數學的角度來說，它是個 E=E(v) 函數，靜止時 E= mc² 不過就是 E(v=0) 。這個函數的變量始終是速度v，而m只是個參數（para-meter），測量時的旁觀者！這個物理圖像裡就沒有函數 m=m(v) 這檔子事兒！2. 在更多的相對論內容中，質量m是粒子的特徵標籤（tag. 如同電荷q），是時空變換龐加萊群的指標（index）， 是一個標量（scalar, 0-order tensor）， 是洛倫茲變換不變量（invariant）。在所有這些表述裡，都明確指出粒子的質量是個有獨立人格的量，它不是粒子速度的函數！

現在，請允許我補充一些相對論力學的內容。這些內容會利用粒子質量是標量、是洛倫茲變換不變量的事實。粒子質量是不變量是相對論動力學的基石。

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相對論動力學的4-矢量表述

狹義相對論中，時間和空間座標合併組成了時空的4-矢量 R=(x, y, z, ct) ，其內積定義為 R₁·R₂=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂-c²t₁t₂ 。4-矢量內積是洛倫茲變換不變量，即經過變換R'=∧(u)R 變換後，內積不變， R'₁·R'₂=R₁·R₂ 。洛倫茲變換∧(θ)具體地可表示為

ct'=ct coshθ-x sinhθ

x'=-ct sinhθ+x coshθ

y'=y

z'=z

其中 tanhθ=u/c。這個變換和空間中的轉動很相似，閔可夫斯基稱之為贗轉動（pseudorotation）。

洛倫茲變換是狹義相對論的核心，相對性原理就體現在物理規律的洛倫茲變換不變性上。狹義相對論語境下的物理學應該使用時空中的標量、矢量、高階張量來構造獨立於慣性參照框架的不變量。談及狹義相對論的動力學，應嚴格使用洛倫茲變換來理解相應的內容。太多的誤解、錯誤以及困惑都是由於不堅持原則和不使用嚴格數學造成的。撇開洛倫茲變換討論狹義相對論，徒增誤解而已。

按照閔可夫斯基時空的度規，

，其中的固有時是個標量，不變量。故用時空的位移4-矢量除以得到的是時空的速度4-矢量，，即 U=γ(v)(v_x, v_y, v_z, c) ，滿足洛倫茲變換，且內積 U·U=c²是個不變量，還是個普適的常數！所以說，在時空中，任何事物都以同樣的速度4-矢量在運動。注意這裡的速度3-矢量 (v_x, v_y, v_z) 是觀察者參照框架內看到的物體運動的速度。設想，有兩個參照框架S和S'，相對速度為u，故變換因子為 tanhθ=u/c ；則S中的粒子速度4-矢量 γ(v)(v_x, v_y, v_z, c) 和S'中的速度4-矢量 γ(v')(c, v'_x, v'_y, v'_z, c) 之間滿足洛倫茲變換 γ(v)(v_x, v_y, v_z, c)= ∧(u)γ(v')(v'_x, v'_y, v'_z, c) 。

由速度4-矢量 U=γ(v)(v_x, v_y, v_z, c) ，可以構造動量4-矢量 P=mγ(v)(v_x, v_y, v_z, c) 。 這樣得到的表達式是動量 4-矢量，因為m是個標量。再強調一遍，質量是個粒子的標籤，是個不變量！動量4-矢量遵從洛倫茲變換，其內積是洛倫茲變換不變量。有質量粒子在靜止的參照框架中 E= mc²，故對有質量粒子，任意參照框架下的動量4-矢量滿足關係式

，即 E²=m²c⁴+p²c² 。這意思是說，在某參照框架內動量為p的有質量粒子，其能量-動量關係為 E²=m²c⁴+p²c² 。這個公式1928年成了狄拉克構造相對論量子力學的出發點。哦，對了，你看相對論量子力學方程中質量m始終是個不變量！

相對論4-矢量形式的表達，給許多問題的理解都帶來了方便，過程也更加優雅。就動量4-矢量而言，P·P 是個不變量，當這個不變量內積還是個普適常量的時候，洛倫茲變換的威力就顯出來了。對於有質量粒子，P=(p, E/c) ，其中 p=mγ(u)u ，則有 P·P=E²-p²c²=m²c⁴ ；對於光子，P_γ=(E/c, 0, 0, E/c)，P_γ·P_γ=0 。現在考察著名的康普頓散射問題，即光子被電子散射的過程。散射前 P_γ=（E/c, 0, 0, E/c）；電子靜止，有 P_e=（0, 0, 0, mc）；散射後，P'_γ= (E'cosθ/c, E'sinθ/c, 0, E'/c,)，散射後電子的動量 P'_e 不用顯式地解出來。由動量守恆 P'_e+P'_γ=P_e+P_γ，有 m²c²=(P_e+P_γ-P'_γ)² ，即 m²c²+2Em-2E'm-2EE'(1-cosθ)/c²=m²c² ，化簡得

。未來若知道光能量量子為 E=hc/λ ，此公式可改寫為 λ'=λ+λ_e(1-cosθ) ，其中 λ_e=h/mc 為電子的康普頓波長。你看，康普頓散射公式就可以這麼輕鬆地得到。在物理學史上，康普頓1923年研究光的電子散射問題時，在光能量量子上又加了動量量子 p=h/λ 的概念，最終導致了1926年光子概念的形成。上述推導繞過了必須假設光子有動量的問題。漂亮！

說了這麼多，意思就一個，討論相對論動力學時，請使用嚴格的4-矢量形式加洛倫茲變換來討論。既然有意學物理，那就請養成好的習慣：“圖像要清晰，數學要嚴格！”

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結 語

根據 和 E= mc² 就編出靜止質量、運動質量的故事，是執一點而任意發揮帶來的誤解，也是對理論發展過程中出現的不正確理解的執著。只要再看看相對論其它部分的內容，就知道質量始終是作為一個不變量出現的——它是個基本物理量，不是運動狀態的函數。其實，消除誤解，只需往前多跨一步就行。物理學是一個宏大的知識體系，類似電荷、質量這種基礎概念，應該放到整個背景上去獲得一個一致的、自洽的理解。

本文摘自曹則賢著《相對論-少年版》（科學出版社），預計2019年11月出版

來源：返樸

編輯：重光