狹義相對論的核心是洛倫茲變換
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）
1 引 子
筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。
狹義相對論的核心是洛倫茲變換
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）
1 引 子
筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。
圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論
2 關於狹義相對論質能關係的一個誤理
狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為
狹義相對論的核心是洛倫茲變換
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）
1 引 子
筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。
圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論
2 關於狹義相對論質能關係的一個誤理
狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為
。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc^2 那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，
狹義相對論的核心是洛倫茲變換
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）
1 引 子
筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。
圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論
2 關於狹義相對論質能關係的一個誤理
狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為
。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc^2 那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，
出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。
本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式
狹義相對論的核心是洛倫茲變換
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）
1 引 子
筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。
圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論
2 關於狹義相對論質能關係的一個誤理
狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為
。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc^2 那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，
出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。
本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式
是關於一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子的能量，從純數學的角度來說，它是個 E=E(v) 函數，靜止時 E= mc^2 不過就是 E(v=0) 。這個函數的變量始終是速度v，而m只是個參數（para-meter），測量時的旁觀者！這個物理圖像裡就沒有函數 m=m(v) 這檔子事兒！2. 在更多的相對論內容中，質量m是粒子的特徵標籤（tag. 如同電荷q），是時空變換龐加萊群的指標（index）， 是一個標量（scalar, 0-order tensor）， 是洛倫茲變換不變量（invariant）。在所有這些表述裡，都明確指出粒子的質量是個有獨立人格的量，它不是粒子速度的函數！
現在，請允許我補充一些相對論力學的內容。這些內容會利用粒子質量是標量、是洛倫茲變換不變量的事實。粒子質量是不變量是相對論動力學的基石。
3 相對論動力學的4-矢量表述
狹義相對論的核心是洛倫茲變換
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）
1 引 子
筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。
圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論
2 關於狹義相對論質能關係的一個誤理
狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為
。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc^2 那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，
出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。
本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式
是關於一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子的能量，從純數學的角度來說，它是個 E=E(v) 函數，靜止時 E= mc^2 不過就是 E(v=0) 。這個函數的變量始終是速度v，而m只是個參數（para-meter），測量時的旁觀者！這個物理圖像裡就沒有函數 m=m(v) 這檔子事兒！2. 在更多的相對論內容中，質量m是粒子的特徵標籤（tag. 如同電荷q），是時空變換龐加萊群的指標（index）， 是一個標量（scalar, 0-order tensor）， 是洛倫茲變換不變量（invariant）。在所有這些表述裡，都明確指出粒子的質量是個有獨立人格的量，它不是粒子速度的函數！
現在，請允許我補充一些相對論力學的內容。這些內容會利用粒子質量是標量、是洛倫茲變換不變量的事實。粒子質量是不變量是相對論動力學的基石。
3 相對論動力學的4-矢量表述
洛倫茲變換是狹義相對論的核心，相對性原理就體現在物理規律的洛倫茲變換不變性上。狹義相對論語境下的物理學應該使用時空中的標量、矢量、高階張量來構造獨立於慣性參照框架的不變量。談及狹義相對論的動力學，應嚴格使用洛倫茲變換來理解相應的內容。太多的誤解、錯誤以及困惑都是由於不堅持原則和不使用嚴格數學造成的。撇開洛倫茲變換討論狹義相對論，徒增誤解而已。
狹義相對論的核心是洛倫茲變換
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）
1 引 子
筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。
圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論
2 關於狹義相對論質能關係的一個誤理
狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為
。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc^2 那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，
出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。
本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式
是關於一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子的能量，從純數學的角度來說，它是個 E=E(v) 函數，靜止時 E= mc^2 不過就是 E(v=0) 。這個函數的變量始終是速度v，而m只是個參數（para-meter），測量時的旁觀者！這個物理圖像裡就沒有函數 m=m(v) 這檔子事兒！2. 在更多的相對論內容中，質量m是粒子的特徵標籤（tag. 如同電荷q），是時空變換龐加萊群的指標（index）， 是一個標量（scalar, 0-order tensor）， 是洛倫茲變換不變量（invariant）。在所有這些表述裡，都明確指出粒子的質量是個有獨立人格的量，它不是粒子速度的函數！
現在，請允許我補充一些相對論力學的內容。這些內容會利用粒子質量是標量、是洛倫茲變換不變量的事實。粒子質量是不變量是相對論動力學的基石。
3 相對論動力學的4-矢量表述
洛倫茲變換是狹義相對論的核心，相對性原理就體現在物理規律的洛倫茲變換不變性上。狹義相對論語境下的物理學應該使用時空中的標量、矢量、高階張量來構造獨立於慣性參照框架的不變量。談及狹義相對論的動力學，應嚴格使用洛倫茲變換來理解相應的內容。太多的誤解、錯誤以及困惑都是由於不堅持原則和不使用嚴格數學造成的。撇開洛倫茲變換討論狹義相對論，徒增誤解而已。
造相對論量子力學的出發點。哦，對了，你看相對論量子力學方程中質量m始終是個不變量！
狹義相對論的核心是洛倫茲變換
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）
1 引 子
筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。
圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論
2 關於狹義相對論質能關係的一個誤理
狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為
。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc^2 那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，
出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。
本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式
是關於一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子的能量，從純數學的角度來說，它是個 E=E(v) 函數，靜止時 E= mc^2 不過就是 E(v=0) 。這個函數的變量始終是速度v，而m只是個參數（para-meter），測量時的旁觀者！這個物理圖像裡就沒有函數 m=m(v) 這檔子事兒！2. 在更多的相對論內容中，質量m是粒子的特徵標籤（tag. 如同電荷q），是時空變換龐加萊群的指標（index）， 是一個標量（scalar, 0-order tensor）， 是洛倫茲變換不變量（invariant）。在所有這些表述裡，都明確指出粒子的質量是個有獨立人格的量，它不是粒子速度的函數！
現在，請允許我補充一些相對論力學的內容。這些內容會利用粒子質量是標量、是洛倫茲變換不變量的事實。粒子質量是不變量是相對論動力學的基石。
3 相對論動力學的4-矢量表述
洛倫茲變換是狹義相對論的核心，相對性原理就體現在物理規律的洛倫茲變換不變性上。狹義相對論語境下的物理學應該使用時空中的標量、矢量、高階張量來構造獨立於慣性參照框架的不變量。談及狹義相對論的動力學，應嚴格使用洛倫茲變換來理解相應的內容。太多的誤解、錯誤以及困惑都是由於不堅持原則和不使用嚴格數學造成的。撇開洛倫茲變換討論狹義相對論，徒增誤解而已。
造相對論量子力學的出發點。哦，對了，你看相對論量子力學方程中質量m始終是個不變量！
說了這麼多，意思就一個，討論相對論動力學時，請使用嚴格的4-矢量形式加洛倫茲變換來討論。既然有意學物理，那就請養成好的習慣：“圖像要清晰，數學要嚴格！”
4 結 語
根據
狹義相對論的核心是洛倫茲變換
撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）
1 引 子
筆者自己在中國科技大學上學時所學的相對論，是《電動力學》課本後面不知所云的一章。1987年筆者讀研時當助教，首開記錄的輔導課竟然是84級科大少年班的電動力學。同學們是神童，但那課本莫名其妙，主講教師對相對論也茫然無知。各位看官，你可以想象我這個助教上相對論習題課時得有多麼煎熬！這段經歷給我幼小的心靈留下了難以癒合的創傷（我身高至今不足1米8），我那時也是黃口才退、乳臭剛乾啊。那些心靈的創傷時常在夜深人靜時猖狂作痛，讓我在接下來的30年裡雖然不得不為謀生四處奔波，但總不忘偶爾去讀讀相對論的原始文獻。Galileo, de Pretto, Lorentz, Poincaré, Einstein, Planck, Laue, Pauli, Eddington, Hilbert, Levi-Civita，Dirac (to name just a few)等人的文章連蒙帶猜地看了一點，後來的Penrose, Weinberg, Wilczek (to name just a few) 等諾獎得主的書也粗略翻過幾頁——為此我甚至把自己弄成了愛因斯坦粉絲，連愛因斯坦1924年幫玻色翻譯文章從而有了玻色-愛因斯坦統計和玻色-愛因斯坦凝聚（玻色的那個推導引入了化學勢的概念且能讓人明白為什麼光子氣的化學勢為零）這種小事我都知道呢。我發現，因為相對論太fancy了，太fantastic了，吸引了太多人的關注（據說瑪麗蓮·夢露同志都和愛因斯坦談相對論），所以產生了海量的、非常糟糕的介紹文章，也有意無意地帶來了大量的誤解與訛錯。這為人們學習相對論帶來了很多麻煩。欲學習相對論，第一要務是防止被外行的文藝化表述給帶到溝裡。閱讀那些相對論創造者的原文，堅持遵循嚴格的數學表述，或許才是輕鬆的捷徑。
圖1. 瑪麗蓮·夢露與愛因斯坦在討論相對論
2 關於狹義相對論質能關係的一個誤理
狹義相對性要求物理定律相對任何慣性參考框架（inertial reference frames）具有相同的形式。按照這個要求（狹義相對論語境下的postulate理解為要求比理解為公設要恰當一些），狹義相對論有如下結果：一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子，其能量為
。這樣，速度為零時粒子也具有 E=mc^2 那麼多的能量，這個和此前人們基於以太振動所猜想的結果是一致的。這個公式是相對論的標誌性公式。愛因斯坦1905年的推導根據的是粒子自靜止被加速到速度v，外力所做的功就是它的動能，
出現後不久，始作俑者是Richard C. Tolman， 參見Richard C. Tolman, Non-Newtonian Mechanics, The Mass of a Moving Body, Philosophical Magazine 23, 375–381(1912). 有個Kaufmann 先生宣稱他的測量證明了這一點，連愛因斯坦本人都信了。當然，這個誤解在相對論之前構造電動力學時就有了，在電動力學裡甚至還分為橫向運動質量和縱向運動質量。關於這個誤解一直有澄清的努力，權威的澄清可閱Lev B. Okun, The Concept of Mass, Physics Today 42(6), 31 (1989), 那裡有一些重要文獻。拙作《物理學咬文嚼字》011：質量與質量的起源，《物理》，37卷5期，355－358(2008)，從質量概念的角度提供了一些說明。
本文對質能關係的誤解再補充一些說明，希望能更有說服力一些。1. 請大家注意，表達式
是關於一個質量為m, （相對於觀察者）速度為v的粒子的能量，從純數學的角度來說，它是個 E=E(v) 函數，靜止時 E= mc^2 不過就是 E(v=0) 。這個函數的變量始終是速度v，而m只是個參數（para-meter），測量時的旁觀者！這個物理圖像裡就沒有函數 m=m(v) 這檔子事兒！2. 在更多的相對論內容中，質量m是粒子的特徵標籤（tag. 如同電荷q），是時空變換龐加萊群的指標（index）， 是一個標量（scalar, 0-order tensor）， 是洛倫茲變換不變量（invariant）。在所有這些表述裡，都明確指出粒子的質量是個有獨立人格的量，它不是粒子速度的函數！
現在，請允許我補充一些相對論力學的內容。這些內容會利用粒子質量是標量、是洛倫茲變換不變量的事實。粒子質量是不變量是相對論動力學的基石。
3 相對論動力學的4-矢量表述
洛倫茲變換是狹義相對論的核心，相對性原理就體現在物理規律的洛倫茲變換不變性上。狹義相對論語境下的物理學應該使用時空中的標量、矢量、高階張量來構造獨立於慣性參照框架的不變量。談及狹義相對論的動力學，應嚴格使用洛倫茲變換來理解相應的內容。太多的誤解、錯誤以及困惑都是由於不堅持原則和不使用嚴格數學造成的。撇開洛倫茲變換討論狹義相對論，徒增誤解而已。
造相對論量子力學的出發點。哦，對了，你看相對論量子力學方程中質量m始終是個不變量！
說了這麼多，意思就一個，討論相對論動力學時，請使用嚴格的4-矢量形式加洛倫茲變換來討論。既然有意學物理，那就請養成好的習慣：“圖像要清晰，數學要嚴格！”
4 結 語
根據
和 E= mc^2 就編出靜止質量、運動質量的故事，是執一點而任意發揮帶來的誤解，也是對理論發展過程中出現的不正確理解的執著。只要再看看相對論其它部分的內容，就知道質量始終是作為一個不變量出現的——它是個基本物理量，不是運動狀態的函數。其實，消除誤解，只需往前多跨一步就行。物理學是一個宏大的知識體系，類似電荷、質量這種基礎概念，應該放到整個背景上去獲得一個一致的、自洽的理解。
本文摘自曹則賢著《相對論-少年版》（科學出版社），預計2019年11月出版
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