克勞修斯於1865年的論文中定義了“熵”，其中有兩句名言：“宇宙的能量是恆定的。”，“宇宙的熵趨於最大值。”
（克勞修斯。圖片來自網絡）
這兩句話揭示了熱力學中的兩個（第一、第二）基本規律，當時聽起來卻令人喪氣，特別是對那些想發明製造各種永動機的工程師們而言，感覺他們想象的翅膀被物理規律牢牢地捆綁住了。
能量既不能增加也不能減少，你只能將它們變來變去。而最使人感到心中不爽的就是那個古怪的 “熵”：它竟然將能量分成了不同的等級！各種能量居然有質量的優劣，優質能量，比如說機械能，可以全部轉化成有用的功，而熱能的性質就差了一大截，只有一部分有用處，別的就全被耗散和浪費掉了。
（圖片來自網絡）
克勞修斯定義的這個“熵”，據說就是對這種“劣質”能量的度量。在任何自發產生的物理過程中，熵只增不減，如同老年人臉上的皺紋；熵的增加意味著系統中的能量不斷地貶值，就像經濟衰退時期大股東們持有的股票；這都是一些使人洩氣煩心之事。
能量的確有質量的差別，否則，能量既然是守恆的，我們又怎麼會存在能源危機呢？
物理學家彭羅斯在2004年出版的《Road to Reality》一書中，精闢地描述了地球和太陽、太空之間，能量與熵的轉換關係。
彭羅斯在書中提出如下的觀點：太陽不是地球的能量來源，而是“低熵”的來源。
圖4-3-1：地球太陽的“熵”交換
我們經常說的一句話：“萬物生長靠太陽”。所謂“生長”是什麼意思呢？生物體不是孤立系統，而是一個開放系統，生命過程不是那種自發的有序退化為無序的熵增過程，而恰恰相反，它們是朝氣蓬勃的、從無序走向有序的過程。我們想要維持我們生命的活力，就需要儘量減少熵。這也是當年薛定諤研究“生命是什麼”時的想法：要擺脫死亡，要活著，就必須想法降低生命體中的熵值。
地球上億萬生物體低熵的來源最終還得歸結到太陽。地球白天從太陽得到高能的光子，到了晚上，又以紅外輻射，或其它波長比較長的輻射方式，將能量返回到太空中。總的來說，目前太陽-地球間的能量交換處於一種動態平衡階段：地球維持一個基本恆定的溫度（不考慮因人類濫用能源而產生的溫室效應），也就是說地球每天都不停地將其從太陽獲得的能量原數“奉還”給宇宙空間，如圖4-3-1所示。
（圖片來自網絡）
但是，因為每個光子的能量與頻率成正比，從太陽吸收的光子頻率較高，因而能量更大；而由長波輻射出去的是頻率更低、能量更小的光子。如果吸收的總能量與返回太空的總能量相同的話，向外輻射的光子數目將比吸收的光子數目大得多。粒子數目越多，熵就越高。由此說明，地球從太陽得到低熵的能量，以高熵的形式迴歸給太空。換言之，地球利用太陽降低它自身的“熵”，這就是萬物生長的祕密！
上面的論點中有一段話：“粒子數越多熵越高”又應該如何解釋呢？
這就涉及到了我們將介紹的主題：熵的統計物理解釋。
統計物理起源於十九世紀中葉，那時候，儘管牛頓力學的大廈宏偉，基礎牢靠，但物理學家們卻很難用牛頓的經典理論來處理工業熱機所涉及的氣體動力學和熱力學問題。分子和原子的理論也是剛剛開始建立起來，學界迷霧重重，不同觀點爭論不休。熱力學方面的宏觀現象是否可以用微觀粒子的動力學理論來解釋？作這方面研究的代表人物是奧地利物理學家玻爾茲曼和建立電磁場理論的英國人麥克斯韋（James Maxwell，1831年－1879年）。
圖4-3-2：波爾茲曼熵
玻爾茲曼從統計物理的角度，特別研究了熵。他的墓碑上沒有碑文，而是鐫刻著玻爾茲曼熵的計算公式（圖4-3-2）。
用現在常見的符號表示，S = kB ln W，這兒的kB =1.38*10-23J/K，是波爾茲曼常數，其量綱正好等於（能量/溫度），將溫度和能量聯繫起來，也符合我們在前面介紹的熱力學熵定義：能量和溫度之商。公式的後面一項是以e為底的對數，對數函數中的W是宏觀狀態中所包含之微觀狀態數，描述了宏觀（熱力學）與微觀（統計）的關聯。我們可以暫不考慮常數kB，因為在統計力學的意義上，我們只對ln W一項感興趣。lu
（路德維希·玻爾茲曼。圖片來自網絡）
上述的波爾茲曼熵公式便可解釋“粒子數越多熵越高”的道理。因為粒子數越多，包含之微觀狀態數W便越大。比如說，舉個最簡單的例子，用正反面不同（但出現的機率相同）的硬幣來代表“粒子”，一個硬幣可能的狀態數為W=2（正和反），兩個硬幣可能的狀態數W增加為4（正正、正反、反正、反反），W越大，lnW也大，顯然驗證了“粒子數越多熵越高”的事實。
考慮硬幣數目繼續增多的情況，比如考慮50個硬幣互不重疊平鋪在一個盤子裡的各種可能性。假設我們的視力不足以分辨硬幣兩面的圖案，因而也不知道盤中“正”“反”面的詳細分佈情況，所有的圖像看起來都是一樣的，因此，我們簡單地用“n=50”來定義這個宏觀狀態，即n是硬幣系統唯一的“宏觀參數”。但是，如果用顯微鏡一看，便發現對應於同一個宏觀參數，可以有許多種正反分佈不同的微觀結構，從微觀結構的總數W=250可知，該宏觀系統的熵正比於粒子數n（這兒n=50）。
（圖片來自網絡）
數學家為我們提供了一個簡單的工具：用“狀態空間”來表示上文中所說的“許多種不同的微觀狀態”。在狀態空間中，每一種微觀態對應於一個點。比如說，一個硬幣（n=1）的情況，正反兩個狀態可以用一維線上兩個點來表示；兩個硬幣（n=2）的四個狀態可表示為2維空間中的4個點。不過，當n=50時，狀態空間的維數增加到了50！50枚硬幣正反面分佈的各種可能微觀狀態得用這個50維空間中的250個點表示。
總結以上的分析，熵是什麼呢？熵是微觀狀態空間某集合中所包含的點的數目之對數，這些點對應於一個同樣的宏觀態（n）。
硬幣例子只是用以解釋什麼是狀態數的簡單比喻。實際物理系統的狀態數依賴於系統的具體情況而定。熱力學考慮的是宏觀物理量，也就是說系統作為一個整體（不管它的內部結構）測量到的熱物理量，比如對理想氣體而言，有壓強P、體積V、溫度T、熵S、內能U等。統計物理則考慮微觀物理量，即考慮系統的物質構成成分（分子、原子、晶格、場等）。在19世紀70年代，分子原子論剛剛開始被接受，波爾茲曼超前地用分子的經典運動來解釋熱力學系統的宏觀現象，遇到不少阻力，這點以後再談。
（圖片來自網絡）
仍舊以理想氣體為例，按照統計力學的觀點，溫度T是系統達到熱平衡時候分子運動平均動能的度量，即等於系統中每個自由度的能量；內能U只與溫度T有關，所以也僅為分子平均動能的函數。上一節中給出的熱力學熵（克勞修斯熵），是總能量與溫度的比值，而系統的溫度可以理解為每個自由度的能量，由此可得，熵等於微觀自由度的數目。這個結論符合統計熵（波爾茲曼熵）的定義，說明克勞修斯熵和波爾茲曼熵是等價的。
對理想氣體而言，硬幣例子中的狀態空間應該代之以分子運動的“相空間”。相空間的維數是多大？如果考慮的是單原子分子，每個分子的狀態由它的位置（3維）和動量（3維）決定，有6個自由度，n個分子便有6n個自由度。如果是雙原子分子，還要加上3個轉動自由度。
（圖片來自網絡）
與硬幣的離散狀態空間有所不同，經典熱力學和統計物理使用的相空間是連續變量的空間。因此，熵是相空間中某個相關“體積”的對數，這個相關體積中的點對應於同樣的宏觀態。
微觀狀態數是一個無量綱的量，與狀態空間或者相空間是多少維也沒有什麼關係，在硬幣的例子中，無論n=1、2，或50，得到的狀態數都只是一個整數而已。而在連續變量的情況下，所謂相空間中的體積，實際上可以是線元的長度，或者面積，或者是高維空間的“體積”。這是抽去了具體應用條件的“熵”的數學模型，也反映了熵的統計本質。
（摘自《從擲骰子到阿爾法狗》，作者：張天蓉）