原文作者，Natalie Wolchover，量子雜誌資深作者。
翻譯作者，柳北丁，哆嗒數學網翻譯組成員。
校對，小米。
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物理學家們正試圖將素數的分佈映射到某個特定量子系統的能級上。
以實數（水平軸）和虛數（垂直軸）作為參數的黎曼zeta函數的值。黑色區域是zeta函數返回零的地方——函數的“零點”。所謂的非平凡的零點落在沿著實數部分等於1/2的垂直線上。
素數是算術中不可再分解的基本單位，似乎在數軸上隨意散佈，從2，3，5，7，11，13，17開始，並且沒有模式地無限延伸下去。但是在1859年，偉大的德國數學家波恩哈德·黎曼猜測素數的間隔能從其他數字推理出來，這些數字現在稱為黎曼zeta函數的“非平凡零點”。
黎曼ζ函數的輸入可以是複數——意思是這樣的數“實”和“虛”兩種分量——併產生其他數作為輸出。對於某些特定複數值輸入，該函數返回零作為輸出；這些輸入是ζ函數的“非平凡零點”。黎曼發現了一個公式，通過對這些零點序列進行求和來計算達到任何給定截斷點的素數。該公式還給出了一種方法來測量素數在其典型間距附近的波動——與預期的素數相比，給定素數的大小有多大或多小。
然而，黎曼知道，只有當ζ函數的零點滿足某個特性時，他的公式才是有效的：他們的實部都必須等於1/2。否則，公式沒有意義。黎曼計算了ζ函數的前幾個非平凡零點，並確認它們的實部等於1/2。該計算支持了他的猜想，即所有非平凡零點都具有此性質，並且因此所有素數的間隔都能從他的函數得到。但他指出，“毫無疑問，如果這個命題有一個嚴格證明是一件讓人滿足的事情。”
一個半世紀之後，證明黎曼假設仍然是純數學中幾乎最重要的未解決的問題，而對這個問題的解答將從克雷數學研究所獲得一百萬美元的千禧獎。相反，正如理論家恩里科·博比耶裡在他對這個問題的描述中所寫的那樣，“黎曼假設如果是錯的會對素數分佈的認知造成巨大顛覆”。
在數學家們從各個角度試圖解決黎曼假設的同時，這個問題也轉移到了物理學。自20世紀40年代以來，ζ函數的零點與量子力學之間的聯繫開始變得有跡可循。例如，研究人員發現零點的間距與原子能級的光譜具有相同的統計模式。1999年，在大衛·希爾伯特和喬治·波利亞的早期猜想基礎上，兩位數學物理學家邁克爾·貝里和喬納森·基廷推測存在一個量子系統（即一個位置和動量遵從海森堡不確定性原理的系統）的能級完全對應於黎曼ζ函數的非平凡零點。這些能級中的每一個En對應於Zn=1/2+iEn的零點，就是說其實部等於1/2，虛部由En乘以虛數i得到。
如果存在這樣的量子系統，黎曼假設就成為一個直接的推論。原因是量子系統的能級總是實數（與虛數相反），因為能量是一種物理上可測量的量。而且由於這些En是實數，當它們在相應的Zn的公式中乘以i時，它們變成虛數。永遠不會有En的虛部與i相乘，從而抵消它的虛數性質使它變成實的的情況，這樣它分配到Zn的實部會將偏離1/2。由於能級始終是實的，ζ函數零點的實部總是1/2，黎曼假設也因而是正確的。
自1999年以來，物理學家一直在尋找這樣一種量子系統，其能級對應於ζ函數的零點。在一篇3月30日發表於《物理評論快報》的論文中，聖路易斯華盛頓大學的卡爾·本德、倫敦布魯內爾大學的多吉·布羅迪和西安大略大學的馬庫斯·穆勒提出了這樣一個候選系統。但它非常得怪異，有外部專家說，現在還不知道是否會引導出一個對黎曼假設的證明。
通常，物理學家使用高度對稱的數學矩陣來描述量子系統，其解或“特徵值”對應於系統的能級。這些矩陣的對稱性通常保證了虛數部分相抵消，而特徵值是實的，這樣的話這些矩陣對物理系統的描述才是有意義的。但是20年來，本德和布羅迪研究了量子系統的矩陣描述，這些描述放寬了通常的對稱性要求，滿足一個叫做宇稱時間（parity-time，PT）對稱性的弱條件。在2015年與穆勒進行交流之後，他們發現他們可以寫出一個PT對稱的矩陣，其特徵值對應於黎曼ζ函數的非平凡零點。“這結果真是讓我們大吃一驚，”布羅迪說。然而，因為矩陣只是PT對稱的，而不是遵循通常更嚴格的對稱性，所以不能保證特徵值是實的——這個性質確保相應的零點具有等於1/2的實部。
他們講清楚了為什麼其矩陣的特徵值可能是實的，以及為什麼在這種情況下，黎曼假設很可能是正確的，但他們沒能證明它。“遺漏的證明步驟是困難還是容易，目前我們無法推測，”布羅迪說，“需要進一步的工作來更好地判斷這個證明的難度。”
專家們表示，這個新的想法很有趣，但關於作者們能否對其不尋常的量子系統的給出嚴格論證，還很難講。紐約大學數學家保羅·布爾加德(Paul Bourgade)表示：“我需要更多時間對他們的研究成果對證明黎曼假設的意義給出相關意見。”他還說，他希望更詳細地探討比較他們提出的量子系統與貝瑞(Berry )和基廷(Keating )以前提出的還沒能引導出對黎曼假設證明的量子系統。
根據布爾加德的觀點，如果物理學家真的有一天弄清楚了zeta函數零點的量子解釋，那麼這甚至可以比黎曼公式更精確地處理素數，因為矩陣特徵值遵循非常好理解的統計分佈。它還會有其他作用，貝瑞希望，能給出素數分佈的量子系統可以作為一個簡單的混沌模型，從而演示出與素數相關的混沌行為是如何從一個非混沌的量子系統中產生的。但我們還遠沒有到那一步。鑑於這麼久以來都沒有一個對黎曼假設的明確的證明，貝瑞敦促大家保持謹慎的態度，不要過度解讀片面的進展。“這對黎曼假設的最新貢獻完美體現了皮亞特·海恩(Piet Hein)的格言，”貝瑞說，“值得挑戰的難題,必給你帶來打擊。”
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