'手把手教你如何利用K均值聚類實現異常值的識別'

首先，藉助於Python隨機生成兩組二維數據，用於後文的實戰。為了能夠更加直觀地洞察該數據，我們將其繪製成散點圖。

# 導入第三方包
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 隨機生成兩組二元正態分佈隨機數
np.random.seed(1234)
mean1 = [0.5, 0.5]
cov1 = [[0.3, 0], [0, 0.1]]
x1, y1 = np.random.multivariate_normal(mean1, cov1, 5000).T
mean2 = [0, 8]
cov2 = [[0.8, 0], [0, 2]]
x2, y2 = np.random.multivariate_normal(mean2, cov2, 5000).T
# 繪製兩組數據的散點圖
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.scatter(x1, y1)
plt.scatter(x2, y2)
# 顯示圖形
plt.show()

如上圖所示，圖中藍色和紅色之間形成鮮明的簇，其中每個簇內包含5000個數據。如果數據中存在異常點，目測藍色的簇可能會包含更多異常，因為數據點相對分散一些。

K均值聚類的介紹

K均值聚類算法的思路非常通俗易懂，就是不斷地計算各樣本點與簇中心之間的距離，直到收斂為止，其具體的步驟如下：

（1）從數據中隨機挑選k個樣本點作為原始的簇中心。

（2）計算剩餘樣本與簇中心的距離，並把各樣本標記為離k個簇中心最近的類別。

（3）重新計算各簇中樣本點的均值，並以均值作為新的k個簇中心。

（4）不斷重複（2）和（3），直到簇中心的變化趨於穩定，形成最終的k個簇。

也許上面的4個步驟還不足以讓讀者明白Kmeans的執行過程，可以結合下圖更進一步地理解其背後的思想。

如上圖所示，通過9個子圖對Kmeans聚類過程加以說明：子圖1，從原始樣本中隨機挑選兩個數據點作為初始的簇中心，即子圖中的兩個五角星；子圖2，將其餘樣本點與這兩個五角星分別計算距離（距離的度量可選擇歐氏距離、曼哈頓距離等），然後將每個樣本點劃分到離五角星最近的簇，即子圖中按虛線隔開的兩部分；子圖3，計算兩個簇內樣本點的均值，得到新的簇中心，即子圖中的五角星；子圖4，根據新的簇中心，繼續計算各樣本與五角星之間的距離，得到子圖5的劃分結果和子圖6中新的簇內樣本均值；以此類推，最終得到理想的聚類效果，如子圖9所示，圖中的五角星即最終的簇中心點。

在上文中，我們生成了兩組隨機數據，從圖中一眼就可以看出需聚為兩類，然而在實際應用中，很多數據都無法通過可視化或直覺判斷聚類的個數（即K值）。但這不代表沒有方法鎖定最佳的K值，在書《從零開始學Python數據分析與挖掘》的第十五章介紹了“拐點法”、“輪廓係數法”和“間隔統計量法”，感興趣的朋友可以去了解一下。這裡就使用書中的自定義函數，測試一下K應該對應的值：

# 將兩組數據集彙總到數據框中
X = pd.DataFrame(np.concatenate([np.array([x1, y1]), np.array([x2, y2])], axis=1).T)
X.rename(columns = {0:'x1',1:'x2'}, inplace = True)
# 自定義函數的調用
k_SSE(X, 10)

如上圖所示，當簇的個數為2時形成了一個明顯的“拐點”，因為 K值從1到2時，折線的斜率都比較大，但是值為3時斜率突然就降低了很多，並且之後的簇對應的斜率都變動很小。所以，合理的值應該為2，與模擬的兩個簇數據相吻合。

異常點識別原理

使用K均值聚類的思想識別數據中的異常點還是非常簡單的，具體步驟如下：

• 利用“拐點法”、“輪廓係數法”、“間隔統計量法”或者“經驗法”確定聚類的個數；
• 基於具體的K值，對數據實施K均值聚類的應用；
• 基於聚類的結果，計算簇內每個點到簇中心的距離；
• 將距離跟閾值相比較，如果其大於閾值則認為是異常，否則正常；

案例實戰

為了驗證我們在前文所說的的直覺（“目測藍色的簇可能會包含更多異常”），接下來通過構造自定義函數，計算簇內的每個點與簇中心的距離，並判斷其是否超過閾值的異常點下方代碼可能有點長，但仔細閱讀並查看對應的註釋內容，相信你一定能夠理解代碼的思想。

def kmeans_outliers(data, clusters, is_scale = True):
 # 指定聚類個數，準備進行數據聚類
 kmeans = KMeans(n_clusters=clusters)
 # 用於存儲聚類相關的結果
 cluster_res = []
 # 判斷是否需要對數據做標準化處理
 if is_scale:
 std_data = scale(data) # 標準化
 kmeans.fit(std_data) # 聚類擬合
 # 返回簇標籤
 labels = kmeans.labels_
 # 返回簇中心
 centers = kmeans.cluster_centers_
 for label in set(labels):
 # 計算簇內樣本點與簇中心的距離
 diff = std_data[np.array(labels) == label,] - \\
 - np.array(centers[label])
 dist = np.sum(np.square(diff), axis=1)
 # 計算判斷異常的閾值
 UL = dist.mean() + 3*dist.std()
 # 識別異常值，1表示異常，0表示正常
 OutLine = np.where(dist > UL, 1, 0) 
 raw_data = data.loc[np.array(labels) == label,]
 new_data = pd.DataFrame({'Label':label,'Dist':dist,'OutLier':OutLine})
 # 重新修正兩個數據框的行編號
 raw_data.index = new_data.index = range(raw_data.shape[0])
 # 數據的列合併
 cluster_res.append(pd.concat([raw_data,new_data], axis = 1))
 else:
 kmeans.fit(data) # 聚類擬合
 # 返回簇標籤
 labels = kmeans.labels_
 # 返回簇中心
 centers = kmeans.cluster_centers_
 for label in set(labels):
 # 計算簇內樣本點與簇中心的距離
 diff = np.array(data.loc[np.array(labels) == label,]) - \\
 - np.array(centers[label])
 dist = np.sum(np.square(diff), axis=1)
 UL = dist.mean() + 3*dist.std()
 OutLine = np.where(dist > UL, 1, 0)
 raw_data = data.loc[np.array(labels) == label,]
 new_data = pd.DataFrame({'Label':label,'Dist':dist,'OutLier':OutLine})
 raw_data.index = new_data.index = range(raw_data.shape[0])
 cluster_res.append(pd.concat([raw_data,new_data], axis = 1))
 # 返回數據的行合併結果 
 return pd.concat(cluster_res)
# 調用函數，返回異常檢測的結果
res = kmeans_outliers(X,2,False)
# res
# 繪圖
sns.lmplot(x="x1", y="x2", hue='OutLier', data=res,
 fit_reg=False, legend=False)
plt.legend(loc='best')
plt.show()

如上圖所示，藍色的點即為異常點。從藍色點的分佈來看，上面那一簇所對應的異常點比較多（與之前的預判一致），而下面簇的異常點較少，且全部集中在散點的右側。