根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

數學談數論理 2018-12-02

如題：

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

首先，需要解釋一下，數學中，出現指數的指數時，計算順序：指數越高越優先。例如：

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

先計算3^2=9，再計算4^9=262144。

Ok，回到正題。

一個經常被提到的解答方法是這樣的：

令

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

那麼，無窮再加一層，還是無窮，等於原來的數(∞+1=∞），得

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

“瞪眼法”，立得x=2和x=4。

一個表達式，怎麼會有兩個解呢？問題在哪兒？而且一個無窮嵌套的根號二次方，收斂嗎？不會越來越大麼？

以下是完整解答。

考慮如下數列：

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

那麼：

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

原問題就轉化為一個數列極限的問題。

要考察一個數列的極限，一般分兩步：

第一，確定極限是否存在；第二，計算極限。而第一步通常包括兩小步，“單調性+有界性”：

首先，數列的有界性：

顯然，a0,a1,a2,等等都小於2，假設對an-1,有an-1<2,那麼

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

數學歸納法，可知an<2恆成立，同理，用類似的數學歸納法，可知an≥1。於是

數列an有界。

第二，數列的單調性：作圖：

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

知

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

於是

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

單調性成立。數列an單調遞增。

綜上，an單調遞增有極限，設極限為x。根據遞推關係：

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

兩邊取極限，得

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

作圖：

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

得x=2或x=4。又1≤x≤2，知x=2。（雖然計算式一樣，出發點不一樣。一個是基於數列的極限，另一個則是基於“無窮+1=無窮”）

完畢。

留一個小問題：

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？

當a處於什麼範圍的時候，上式左邊等於一個有限值？這個值是多少呢？

後續閱讀：

根號二的無限根號二次方，到底等於多少？後續：從一個方程出發

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