綜觀數學史上所有人物著作論述的出版量而言，歐拉多產的程度可說是僅次於匈牙利數學家艾狄胥。但他是科學史上最多產的一位傑出的數學家，雖然歐拉是在失明狀態下度過晚年生涯這一點讓人感到相當遺憾，但是，英國科學作家達林卻認為：“歐拉產出的數量似乎跟他的視力成反比發展，因為隨著他在1766年近乎全盲以後，他發表作品的速度反而更快了。”下面就介紹歐拉的兩條數學公式。

歐拉多面體公式——最漂亮、最簡潔公式之一

歐拉多面體公式被認為是數學領域最漂亮、簡潔的公式之一同時也是拓撲學研究形狀及其相互關係的一門學問一最著名的公式之一。根據一份針對《數學通報》讀者做的調查發現，他們把這條公式排名成數學史上第二漂亮的公式，僅次於另一條歐拉所提出的公式：e（iπ上標）+1=0,這個式子一口氣囊括數學領域最重要五個符號，歐拉數e也在其中。

瑞士數學家暨物理學家歐拉在1751年發現任一凸多面體(一種以平面及直線為邊的立體）的頂點數V、邊數E及面數F三個數值可以滿足方程式V-E+F=2的等式。所謂凸多面體，指的是沒有凹陷或孔洞的多面體；如果要用更正式的定義加以描述，那就是在這個多面體內任選兩點所畫出的連接線，都一定會被完全包含在多面體當中。

以一個立方體的表面為例，它包含了六個面、十二條邊、八個頂點，將這三個數值帶入歐拉的多面體公式可得6-12+8=2的結果；以十二面體為例的話，該公式可以寫成20-30+12=2附帶一提，笛卡兒差不多在1639年的時候，就已經約略知道多面體公式裡的各項元素具有一定關係，與現在我們所知道的歐拉多面體公式，只差幾個數學步驟加以證明而已。

之後更一般化的歐拉多面體公式被運用在網絡與圖形的研究領域，讓數學家們得以一窺將之套用在有孔洞的立體或更高維度的物體會有什麼樣的結果。這條公式也被運用在實務領域，像是協助計算機專家安排電路板上的線路規劃或是讓宇宙論者深入思考我們所處宇宙的可能形狀。

歐拉多邊形分割問題

1751年，當時瑞士數學家歐拉向普魯士數學家哥德巴赫提出了一個問題：一個平面凸n邊形透過對角線，可以有幾種不同分割成三角形的方法En?用更生活化的說法來講，假設你手上有一塊多邊形的派餅要分割成三角形的形狀，從派餅的某個端點用刀子直線劃到其他端點，而且刀子劃過的軌跡不能相交，在這些條件限制下，你可以有幾種分割的方式？歐拉找出的公式如下：

En=2·6·10……（4n-10)/(n-1)!

一個凸多邊形必須符合以下條件：在多邊形內任意選取兩點，則連接這兩點的直線必須完全被包含在多邊形之內。許多書籍的作者暨數學家狄利(Heinrich Dorrie)表示：“這可以說是

最有趣的一個數學問題，因為表面上看起來似乎相當平淡無奇的這個問題，其實是非常難以證明，就連歐拉自己也說：“當我自己使用歸納法處理這個問題時，我才知道這是一個多麼費力的工作。”

​以一個矩形為例，它的兩條對角線可以劃出E₄=2的結；以一個五邊形為例，我們可以得到E₅=5的結果。事實上，早期的研究人員真的傾向使用圖形表示方法獲致證明此一方程式的靈感。但是，只要隨著多邊形的邊數一多，這種直接目測的做法就會變得一點也不可行；以九邊形為例的話，我們總共可以得出429種通過對角線分割成三角形的做法。多邊形分割問題吸引很多人的注意，斯洛伐克日耳曼數學家塞格納(Johann Andreas Segner)發明一種遞歸公式計算En值：En=E₂En-₁+E₃En-₂+……+En-₁E₂；遞歸公式指的是讓數列中的每一項都定義為前一項的函數。

值得注意的是，En值似乎跟另外一組被稱作“卡塔蘭數”(Catalan numbers,En=Cn-₁)的數字集合有著隱祕的連接。卡塔蘭數是組合數學的課題，組合數學則是一門在離散體系內探討有限數學運算諸如研究排列組合問題的學問。