對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
回憶模式：什麼是“1”？什麼是“直線”？什麼又是“無窮小”？
你可能會覺得這三個問題很簡單，因為它的確很常見 、你或許還能想象得到。但是你定義不了它、而只能靠下面的描述。比如，從1個蘋果、1支筆中得到數字“1”，從直尺、線條中得到“直線”，從遞歸的角度理解“無窮”.
對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
回憶模式：什麼是“1”？什麼是“直線”？什麼又是“無窮小”？
你可能會覺得這三個問題很簡單，因為它的確很常見 、你或許還能想象得到。但是你定義不了它、而只能靠下面的描述。比如，從1個蘋果、1支筆中得到數字“1”，從直尺、線條中得到“直線”，從遞歸的角度理解“無窮”.
事實上，“1”、“直線”、“無窮”這些數學概念在自然中壓根兒就不存在，它們都是數學家對物理世界高度抽象後的產物，是一個理想化的概念。這些抽象的數學概念有沒有可能被定義呢？無數的數學家為之絞盡腦汁，但都以失敗而告終。最後，數學家們妥協了，既然無法定義，那乾脆就不定義了，大家能理解就行。
這樣的處理方式，看似隨意，卻是很負責任的。我們可以從數學家二千年來對“平面”定義的打破重建、迴歸本源來窺探一二.
對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
回憶模式：什麼是“1”？什麼是“直線”？什麼又是“無窮小”？
你可能會覺得這三個問題很簡單，因為它的確很常見 、你或許還能想象得到。但是你定義不了它、而只能靠下面的描述。比如，從1個蘋果、1支筆中得到數字“1”，從直尺、線條中得到“直線”，從遞歸的角度理解“無窮”.
事實上，“1”、“直線”、“無窮”這些數學概念在自然中壓根兒就不存在，它們都是數學家對物理世界高度抽象後的產物，是一個理想化的概念。這些抽象的數學概念有沒有可能被定義呢？無數的數學家為之絞盡腦汁，但都以失敗而告終。最後，數學家們妥協了，既然無法定義，那乾脆就不定義了，大家能理解就行。
這樣的處理方式，看似隨意，卻是很負責任的。我們可以從數學家二千年來對“平面”定義的打破重建、迴歸本源來窺探一二.
一、平面的樸素概念
幾何學起源於古埃及的田地測量，測量就需要用到圖形（如三角形、四邊形）、面積等相關數學概念[1].由此可以推測出古埃及人已經有了對幾何體“面”的直觀意識。“面”是向“平面”過渡的關鍵一步。但是受限於時代，古埃及人並沒有做到更多，這樣的關鍵一步仍舊得在古希臘的沃土上邁出。
對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
回憶模式：什麼是“1”？什麼是“直線”？什麼又是“無窮小”？
你可能會覺得這三個問題很簡單，因為它的確很常見 、你或許還能想象得到。但是你定義不了它、而只能靠下面的描述。比如，從1個蘋果、1支筆中得到數字“1”，從直尺、線條中得到“直線”，從遞歸的角度理解“無窮”.
事實上，“1”、“直線”、“無窮”這些數學概念在自然中壓根兒就不存在，它們都是數學家對物理世界高度抽象後的產物，是一個理想化的概念。這些抽象的數學概念有沒有可能被定義呢？無數的數學家為之絞盡腦汁，但都以失敗而告終。最後，數學家們妥協了，既然無法定義，那乾脆就不定義了，大家能理解就行。
這樣的處理方式，看似隨意，卻是很負責任的。我們可以從數學家二千年來對“平面”定義的打破重建、迴歸本源來窺探一二.
一、平面的樸素概念
幾何學起源於古埃及的田地測量，測量就需要用到圖形（如三角形、四邊形）、面積等相關數學概念[1].由此可以推測出古埃及人已經有了對幾何體“面”的直觀意識。“面”是向“平面”過渡的關鍵一步。但是受限於時代，古埃及人並沒有做到更多，這樣的關鍵一步仍舊得在古希臘的沃土上邁出。
第一個抽象出“平面”概念的學者是生活在公元前5世紀的哲學家巴門尼德（Parmenides of Elea），他將幾何對象分為三類：直的、曲的、混合的.其中，
如果一個二維圖像是“直的表面”，且直線與之可以在任意方向重合，那它就是一個“平面”
對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
回憶模式：什麼是“1”？什麼是“直線”？什麼又是“無窮小”？
你可能會覺得這三個問題很簡單，因為它的確很常見 、你或許還能想象得到。但是你定義不了它、而只能靠下面的描述。比如，從1個蘋果、1支筆中得到數字“1”，從直尺、線條中得到“直線”，從遞歸的角度理解“無窮”.
事實上，“1”、“直線”、“無窮”這些數學概念在自然中壓根兒就不存在，它們都是數學家對物理世界高度抽象後的產物，是一個理想化的概念。這些抽象的數學概念有沒有可能被定義呢？無數的數學家為之絞盡腦汁，但都以失敗而告終。最後，數學家們妥協了，既然無法定義，那乾脆就不定義了，大家能理解就行。
這樣的處理方式，看似隨意，卻是很負責任的。我們可以從數學家二千年來對“平面”定義的打破重建、迴歸本源來窺探一二.
一、平面的樸素概念
幾何學起源於古埃及的田地測量，測量就需要用到圖形（如三角形、四邊形）、面積等相關數學概念[1].由此可以推測出古埃及人已經有了對幾何體“面”的直觀意識。“面”是向“平面”過渡的關鍵一步。但是受限於時代，古埃及人並沒有做到更多，這樣的關鍵一步仍舊得在古希臘的沃土上邁出。
第一個抽象出“平面”概念的學者是生活在公元前5世紀的哲學家巴門尼德（Parmenides of Elea），他將幾何對象分為三類：直的、曲的、混合的.其中，
如果一個二維圖像是“直的表面”，且直線與之可以在任意方向重合，那它就是一個“平面”
這樣的定義立足於“直”，並藉助直線表達了平面具有的兩個特點：平面是平的、平面可以無限延展.但是巴門尼德沒有給出更多的關於“平面”的信息。於是到了公元前3世紀，“幾何學之父”歐幾里得（Euclid ，約公元前330年—公元前275年）在《幾何原本》中採用了下面完全不同的定義 [2]：
面“只有長度和寬度”，而平面是“與其上直線一樣平放著的面”
對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
回憶模式：什麼是“1”？什麼是“直線”？什麼又是“無窮小”？
你可能會覺得這三個問題很簡單，因為它的確很常見 、你或許還能想象得到。但是你定義不了它、而只能靠下面的描述。比如，從1個蘋果、1支筆中得到數字“1”，從直尺、線條中得到“直線”，從遞歸的角度理解“無窮”.
事實上，“1”、“直線”、“無窮”這些數學概念在自然中壓根兒就不存在，它們都是數學家對物理世界高度抽象後的產物，是一個理想化的概念。這些抽象的數學概念有沒有可能被定義呢？無數的數學家為之絞盡腦汁，但都以失敗而告終。最後，數學家們妥協了，既然無法定義，那乾脆就不定義了，大家能理解就行。
這樣的處理方式，看似隨意，卻是很負責任的。我們可以從數學家二千年來對“平面”定義的打破重建、迴歸本源來窺探一二.
一、平面的樸素概念
幾何學起源於古埃及的田地測量，測量就需要用到圖形（如三角形、四邊形）、面積等相關數學概念[1].由此可以推測出古埃及人已經有了對幾何體“面”的直觀意識。“面”是向“平面”過渡的關鍵一步。但是受限於時代，古埃及人並沒有做到更多，這樣的關鍵一步仍舊得在古希臘的沃土上邁出。
第一個抽象出“平面”概念的學者是生活在公元前5世紀的哲學家巴門尼德（Parmenides of Elea），他將幾何對象分為三類：直的、曲的、混合的.其中，
如果一個二維圖像是“直的表面”，且直線與之可以在任意方向重合，那它就是一個“平面”
這樣的定義立足於“直”，並藉助直線表達了平面具有的兩個特點：平面是平的、平面可以無限延展.但是巴門尼德沒有給出更多的關於“平面”的信息。於是到了公元前3世紀，“幾何學之父”歐幾里得（Euclid ，約公元前330年—公元前275年）在《幾何原本》中採用了下面完全不同的定義 [2]：
面“只有長度和寬度”，而平面是“與其上直線一樣平放著的面”
巴門尼德和歐幾里得關於“平面”的定義是樸素的，基於人們對於平面的直觀認識，但也有一個缺點：用詞不夠清晰，以至於在命題推理中不能使用。後續的古希臘的數學家（如海倫）試圖改變歐的定義，但是也帶來了其他的缺點——重複性判斷（萊布尼茨）。自海倫以後的一千多年，幾何學沒有太大的發展，人們關於“平面”的概念自然就討論得少了，這一狀況要直到17-18世紀才有所改變。
對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
回憶模式：什麼是“1”？什麼是“直線”？什麼又是“無窮小”？
你可能會覺得這三個問題很簡單，因為它的確很常見 、你或許還能想象得到。但是你定義不了它、而只能靠下面的描述。比如，從1個蘋果、1支筆中得到數字“1”，從直尺、線條中得到“直線”，從遞歸的角度理解“無窮”.
事實上，“1”、“直線”、“無窮”這些數學概念在自然中壓根兒就不存在，它們都是數學家對物理世界高度抽象後的產物，是一個理想化的概念。這些抽象的數學概念有沒有可能被定義呢？無數的數學家為之絞盡腦汁，但都以失敗而告終。最後，數學家們妥協了，既然無法定義，那乾脆就不定義了，大家能理解就行。
這樣的處理方式，看似隨意，卻是很負責任的。我們可以從數學家二千年來對“平面”定義的打破重建、迴歸本源來窺探一二.
一、平面的樸素概念
幾何學起源於古埃及的田地測量，測量就需要用到圖形（如三角形、四邊形）、面積等相關數學概念[1].由此可以推測出古埃及人已經有了對幾何體“面”的直觀意識。“面”是向“平面”過渡的關鍵一步。但是受限於時代，古埃及人並沒有做到更多，這樣的關鍵一步仍舊得在古希臘的沃土上邁出。
第一個抽象出“平面”概念的學者是生活在公元前5世紀的哲學家巴門尼德（Parmenides of Elea），他將幾何對象分為三類：直的、曲的、混合的.其中，
如果一個二維圖像是“直的表面”，且直線與之可以在任意方向重合，那它就是一個“平面”
這樣的定義立足於“直”，並藉助直線表達了平面具有的兩個特點：平面是平的、平面可以無限延展.但是巴門尼德沒有給出更多的關於“平面”的信息。於是到了公元前3世紀，“幾何學之父”歐幾里得（Euclid ，約公元前330年—公元前275年）在《幾何原本》中採用了下面完全不同的定義 [2]：
面“只有長度和寬度”，而平面是“與其上直線一樣平放著的面”
巴門尼德和歐幾里得關於“平面”的定義是樸素的，基於人們對於平面的直觀認識，但也有一個缺點：用詞不夠清晰，以至於在命題推理中不能使用。後續的古希臘的數學家（如海倫）試圖改變歐的定義，但是也帶來了其他的缺點——重複性判斷（萊布尼茨）。自海倫以後的一千多年，幾何學沒有太大的發展，人們關於“平面”的概念自然就討論得少了，這一狀況要直到17-18世紀才有所改變。
二、平面的構造性定義
17世紀的大數學家萊布尼茨關注到了歐幾里得對於“平面”概念的定義缺陷，以及海倫定義的囉嗦（海倫定義：平面是具有以下性質的面，它向四周無限延伸，平面上的直線都與之相合，且若一條直線上有兩點與之相合，則整條直線在任意位置與之相合）。經過深思熟慮，他給出了“平面”以完全不同的定義方式：
平面是一組這樣的點，它們到兩個定點的距離相等.
對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
回憶模式：什麼是“1”？什麼是“直線”？什麼又是“無窮小”？
你可能會覺得這三個問題很簡單，因為它的確很常見 、你或許還能想象得到。但是你定義不了它、而只能靠下面的描述。比如，從1個蘋果、1支筆中得到數字“1”，從直尺、線條中得到“直線”，從遞歸的角度理解“無窮”.
事實上，“1”、“直線”、“無窮”這些數學概念在自然中壓根兒就不存在，它們都是數學家對物理世界高度抽象後的產物，是一個理想化的概念。這些抽象的數學概念有沒有可能被定義呢？無數的數學家為之絞盡腦汁，但都以失敗而告終。最後，數學家們妥協了，既然無法定義，那乾脆就不定義了，大家能理解就行。
這樣的處理方式，看似隨意，卻是很負責任的。我們可以從數學家二千年來對“平面”定義的打破重建、迴歸本源來窺探一二.
一、平面的樸素概念
幾何學起源於古埃及的田地測量，測量就需要用到圖形（如三角形、四邊形）、面積等相關數學概念[1].由此可以推測出古埃及人已經有了對幾何體“面”的直觀意識。“面”是向“平面”過渡的關鍵一步。但是受限於時代，古埃及人並沒有做到更多，這樣的關鍵一步仍舊得在古希臘的沃土上邁出。
第一個抽象出“平面”概念的學者是生活在公元前5世紀的哲學家巴門尼德（Parmenides of Elea），他將幾何對象分為三類：直的、曲的、混合的.其中，
如果一個二維圖像是“直的表面”，且直線與之可以在任意方向重合，那它就是一個“平面”
這樣的定義立足於“直”，並藉助直線表達了平面具有的兩個特點：平面是平的、平面可以無限延展.但是巴門尼德沒有給出更多的關於“平面”的信息。於是到了公元前3世紀，“幾何學之父”歐幾里得（Euclid ，約公元前330年—公元前275年）在《幾何原本》中採用了下面完全不同的定義 [2]：
面“只有長度和寬度”，而平面是“與其上直線一樣平放著的面”
巴門尼德和歐幾里得關於“平面”的定義是樸素的，基於人們對於平面的直觀認識，但也有一個缺點：用詞不夠清晰，以至於在命題推理中不能使用。後續的古希臘的數學家（如海倫）試圖改變歐的定義，但是也帶來了其他的缺點——重複性判斷（萊布尼茨）。自海倫以後的一千多年，幾何學沒有太大的發展，人們關於“平面”的概念自然就討論得少了，這一狀況要直到17-18世紀才有所改變。
二、平面的構造性定義
17世紀的大數學家萊布尼茨關注到了歐幾里得對於“平面”概念的定義缺陷，以及海倫定義的囉嗦（海倫定義：平面是具有以下性質的面，它向四周無限延伸，平面上的直線都與之相合，且若一條直線上有兩點與之相合，則整條直線在任意位置與之相合）。經過深思熟慮，他給出了“平面”以完全不同的定義方式：
平面是一組這樣的點，它們到兩個定點的距離相等.
注意到：如果A、B為空間中兩定點，則“到A、B距離相等的點”可以組成與線段AB垂直的平面α. 【證明如下：如圖，若M∈α，AB為O的中點,AB∩α=O,且AB⊥α，則OM為△ABC的中線和垂線,因此MA=MB.】
這個定義完全是“構造性”的，不但很簡潔，而且從三維空間來給出定義.是對平面定義的一大創新。這一時期及18世紀在萊布尼茨定義的引領下，很多數學家都給出了平面其他形式的“構造性定義”。
另一個影響比較大的是18世紀的法國數學家傅里葉給出的：
“平面由經過直線上一點，且與直線垂直的所有直線構成”.
在此基礎上，傅里葉推導出了平面的一些重要性質.
對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
回憶模式：什麼是“1”？什麼是“直線”？什麼又是“無窮小”？
你可能會覺得這三個問題很簡單，因為它的確很常見 、你或許還能想象得到。但是你定義不了它、而只能靠下面的描述。比如，從1個蘋果、1支筆中得到數字“1”，從直尺、線條中得到“直線”，從遞歸的角度理解“無窮”.
事實上，“1”、“直線”、“無窮”這些數學概念在自然中壓根兒就不存在，它們都是數學家對物理世界高度抽象後的產物，是一個理想化的概念。這些抽象的數學概念有沒有可能被定義呢？無數的數學家為之絞盡腦汁，但都以失敗而告終。最後，數學家們妥協了，既然無法定義，那乾脆就不定義了，大家能理解就行。
這樣的處理方式，看似隨意，卻是很負責任的。我們可以從數學家二千年來對“平面”定義的打破重建、迴歸本源來窺探一二.
一、平面的樸素概念
幾何學起源於古埃及的田地測量，測量就需要用到圖形（如三角形、四邊形）、面積等相關數學概念[1].由此可以推測出古埃及人已經有了對幾何體“面”的直觀意識。“面”是向“平面”過渡的關鍵一步。但是受限於時代，古埃及人並沒有做到更多，這樣的關鍵一步仍舊得在古希臘的沃土上邁出。
第一個抽象出“平面”概念的學者是生活在公元前5世紀的哲學家巴門尼德（Parmenides of Elea），他將幾何對象分為三類：直的、曲的、混合的.其中，
如果一個二維圖像是“直的表面”，且直線與之可以在任意方向重合，那它就是一個“平面”
這樣的定義立足於“直”，並藉助直線表達了平面具有的兩個特點：平面是平的、平面可以無限延展.但是巴門尼德沒有給出更多的關於“平面”的信息。於是到了公元前3世紀，“幾何學之父”歐幾里得（Euclid ，約公元前330年—公元前275年）在《幾何原本》中採用了下面完全不同的定義 [2]：
面“只有長度和寬度”，而平面是“與其上直線一樣平放著的面”
巴門尼德和歐幾里得關於“平面”的定義是樸素的，基於人們對於平面的直觀認識，但也有一個缺點：用詞不夠清晰，以至於在命題推理中不能使用。後續的古希臘的數學家（如海倫）試圖改變歐的定義，但是也帶來了其他的缺點——重複性判斷（萊布尼茨）。自海倫以後的一千多年，幾何學沒有太大的發展，人們關於“平面”的概念自然就討論得少了，這一狀況要直到17-18世紀才有所改變。
二、平面的構造性定義
17世紀的大數學家萊布尼茨關注到了歐幾里得對於“平面”概念的定義缺陷，以及海倫定義的囉嗦（海倫定義：平面是具有以下性質的面，它向四周無限延伸，平面上的直線都與之相合，且若一條直線上有兩點與之相合，則整條直線在任意位置與之相合）。經過深思熟慮，他給出了“平面”以完全不同的定義方式：
平面是一組這樣的點，它們到兩個定點的距離相等.
注意到：如果A、B為空間中兩定點，則“到A、B距離相等的點”可以組成與線段AB垂直的平面α. 【證明如下：如圖，若M∈α，AB為O的中點,AB∩α=O,且AB⊥α，則OM為△ABC的中線和垂線,因此MA=MB.】
這個定義完全是“構造性”的，不但很簡潔，而且從三維空間來給出定義.是對平面定義的一大創新。這一時期及18世紀在萊布尼茨定義的引領下，很多數學家都給出了平面其他形式的“構造性定義”。
另一個影響比較大的是18世紀的法國數學家傅里葉給出的：
“平面由經過直線上一點，且與直線垂直的所有直線構成”.
在此基礎上，傅里葉推導出了平面的一些重要性質.
萊布尼茨、傅里葉等給出的“構造性定義”，較之歐幾里得、海倫的樸素定義，表達簡潔且可用於推理。但是先於“平面”而給出“垂直”等概念是有些不太恰當的。因此，他們的構造性定義也沒有推廣開來。相反，另一位看似不頂尖的英國數學家給出的“包含式”定義卻大受好評。
三、平面的包含式定義
18世紀，英國數學家辛鬆給出了平面的定義：
“平面是具有下面性質的面，通過其上任意兩點的直線完全包含在該面上”（辛鬆定義）
“辛鬆定義”與海倫的定義神似，但具有簡潔、直觀和可推導性雙重優勢。因此“辛鬆定義”被18世紀的大部分教材所採用，勒讓德還利用他的定義證明了歐幾里得《幾何原本》中的三個重要定理。
不過隨著時間的推移，數學家們也發現了一些問題。如，該定義是首先確定了平面，然後再通過其上的直線來定義。但最致命的還是“辛鬆定義”存在邏輯問題，下圖為克雷爾推理[3].
對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
回憶模式：什麼是“1”？什麼是“直線”？什麼又是“無窮小”？
你可能會覺得這三個問題很簡單，因為它的確很常見 、你或許還能想象得到。但是你定義不了它、而只能靠下面的描述。比如，從1個蘋果、1支筆中得到數字“1”，從直尺、線條中得到“直線”，從遞歸的角度理解“無窮”.
事實上，“1”、“直線”、“無窮”這些數學概念在自然中壓根兒就不存在，它們都是數學家對物理世界高度抽象後的產物，是一個理想化的概念。這些抽象的數學概念有沒有可能被定義呢？無數的數學家為之絞盡腦汁，但都以失敗而告終。最後，數學家們妥協了，既然無法定義，那乾脆就不定義了，大家能理解就行。
這樣的處理方式，看似隨意，卻是很負責任的。我們可以從數學家二千年來對“平面”定義的打破重建、迴歸本源來窺探一二.
一、平面的樸素概念
幾何學起源於古埃及的田地測量，測量就需要用到圖形（如三角形、四邊形）、面積等相關數學概念[1].由此可以推測出古埃及人已經有了對幾何體“面”的直觀意識。“面”是向“平面”過渡的關鍵一步。但是受限於時代，古埃及人並沒有做到更多，這樣的關鍵一步仍舊得在古希臘的沃土上邁出。
第一個抽象出“平面”概念的學者是生活在公元前5世紀的哲學家巴門尼德（Parmenides of Elea），他將幾何對象分為三類：直的、曲的、混合的.其中，
如果一個二維圖像是“直的表面”，且直線與之可以在任意方向重合，那它就是一個“平面”
這樣的定義立足於“直”，並藉助直線表達了平面具有的兩個特點：平面是平的、平面可以無限延展.但是巴門尼德沒有給出更多的關於“平面”的信息。於是到了公元前3世紀，“幾何學之父”歐幾里得（Euclid ，約公元前330年—公元前275年）在《幾何原本》中採用了下面完全不同的定義 [2]：
面“只有長度和寬度”，而平面是“與其上直線一樣平放著的面”
巴門尼德和歐幾里得關於“平面”的定義是樸素的，基於人們對於平面的直觀認識，但也有一個缺點：用詞不夠清晰，以至於在命題推理中不能使用。後續的古希臘的數學家（如海倫）試圖改變歐的定義，但是也帶來了其他的缺點——重複性判斷（萊布尼茨）。自海倫以後的一千多年，幾何學沒有太大的發展，人們關於“平面”的概念自然就討論得少了，這一狀況要直到17-18世紀才有所改變。
二、平面的構造性定義
17世紀的大數學家萊布尼茨關注到了歐幾里得對於“平面”概念的定義缺陷，以及海倫定義的囉嗦（海倫定義：平面是具有以下性質的面，它向四周無限延伸，平面上的直線都與之相合，且若一條直線上有兩點與之相合，則整條直線在任意位置與之相合）。經過深思熟慮，他給出了“平面”以完全不同的定義方式：
平面是一組這樣的點，它們到兩個定點的距離相等.
注意到：如果A、B為空間中兩定點，則“到A、B距離相等的點”可以組成與線段AB垂直的平面α. 【證明如下：如圖，若M∈α，AB為O的中點,AB∩α=O,且AB⊥α，則OM為△ABC的中線和垂線,因此MA=MB.】
這個定義完全是“構造性”的，不但很簡潔，而且從三維空間來給出定義.是對平面定義的一大創新。這一時期及18世紀在萊布尼茨定義的引領下，很多數學家都給出了平面其他形式的“構造性定義”。
另一個影響比較大的是18世紀的法國數學家傅里葉給出的：
“平面由經過直線上一點，且與直線垂直的所有直線構成”.
在此基礎上，傅里葉推導出了平面的一些重要性質.
萊布尼茨、傅里葉等給出的“構造性定義”，較之歐幾里得、海倫的樸素定義，表達簡潔且可用於推理。但是先於“平面”而給出“垂直”等概念是有些不太恰當的。因此，他們的構造性定義也沒有推廣開來。相反，另一位看似不頂尖的英國數學家給出的“包含式”定義卻大受好評。
三、平面的包含式定義
18世紀，英國數學家辛鬆給出了平面的定義：
“平面是具有下面性質的面，通過其上任意兩點的直線完全包含在該面上”（辛鬆定義）
“辛鬆定義”與海倫的定義神似，但具有簡潔、直觀和可推導性雙重優勢。因此“辛鬆定義”被18世紀的大部分教材所採用，勒讓德還利用他的定義證明了歐幾里得《幾何原本》中的三個重要定理。
不過隨著時間的推移，數學家們也發現了一些問題。如，該定義是首先確定了平面，然後再通過其上的直線來定義。但最致命的還是“辛鬆定義”存在邏輯問題，下圖為克雷爾推理[3].
數學家們又鬱悶了，好不容易找到一個好的定義，卻仍然有缺陷。包括高斯、羅巴切夫斯基在內的著名數學家又一次開始尋求平面新的定義方式，但一切都是徒勞，他們都沒有找到一個即使是令自己滿意的定義。問題到底出在哪裡呢？他們不知道答案。這個問題需要一個更具有現代數學思維的數學家來給出，他就是希爾伯特。
對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
回憶模式：什麼是“1”？什麼是“直線”？什麼又是“無窮小”？
你可能會覺得這三個問題很簡單，因為它的確很常見 、你或許還能想象得到。但是你定義不了它、而只能靠下面的描述。比如，從1個蘋果、1支筆中得到數字“1”，從直尺、線條中得到“直線”，從遞歸的角度理解“無窮”.
事實上，“1”、“直線”、“無窮”這些數學概念在自然中壓根兒就不存在，它們都是數學家對物理世界高度抽象後的產物，是一個理想化的概念。這些抽象的數學概念有沒有可能被定義呢？無數的數學家為之絞盡腦汁，但都以失敗而告終。最後，數學家們妥協了，既然無法定義，那乾脆就不定義了，大家能理解就行。
這樣的處理方式，看似隨意，卻是很負責任的。我們可以從數學家二千年來對“平面”定義的打破重建、迴歸本源來窺探一二.
一、平面的樸素概念
幾何學起源於古埃及的田地測量，測量就需要用到圖形（如三角形、四邊形）、面積等相關數學概念[1].由此可以推測出古埃及人已經有了對幾何體“面”的直觀意識。“面”是向“平面”過渡的關鍵一步。但是受限於時代，古埃及人並沒有做到更多，這樣的關鍵一步仍舊得在古希臘的沃土上邁出。
第一個抽象出“平面”概念的學者是生活在公元前5世紀的哲學家巴門尼德（Parmenides of Elea），他將幾何對象分為三類：直的、曲的、混合的.其中，
如果一個二維圖像是“直的表面”，且直線與之可以在任意方向重合，那它就是一個“平面”
這樣的定義立足於“直”，並藉助直線表達了平面具有的兩個特點：平面是平的、平面可以無限延展.但是巴門尼德沒有給出更多的關於“平面”的信息。於是到了公元前3世紀，“幾何學之父”歐幾里得（Euclid ，約公元前330年—公元前275年）在《幾何原本》中採用了下面完全不同的定義 [2]：
面“只有長度和寬度”，而平面是“與其上直線一樣平放著的面”
巴門尼德和歐幾里得關於“平面”的定義是樸素的，基於人們對於平面的直觀認識，但也有一個缺點：用詞不夠清晰，以至於在命題推理中不能使用。後續的古希臘的數學家（如海倫）試圖改變歐的定義，但是也帶來了其他的缺點——重複性判斷（萊布尼茨）。自海倫以後的一千多年，幾何學沒有太大的發展，人們關於“平面”的概念自然就討論得少了，這一狀況要直到17-18世紀才有所改變。
二、平面的構造性定義
17世紀的大數學家萊布尼茨關注到了歐幾里得對於“平面”概念的定義缺陷，以及海倫定義的囉嗦（海倫定義：平面是具有以下性質的面，它向四周無限延伸，平面上的直線都與之相合，且若一條直線上有兩點與之相合，則整條直線在任意位置與之相合）。經過深思熟慮，他給出了“平面”以完全不同的定義方式：
平面是一組這樣的點，它們到兩個定點的距離相等.
注意到：如果A、B為空間中兩定點，則“到A、B距離相等的點”可以組成與線段AB垂直的平面α. 【證明如下：如圖，若M∈α，AB為O的中點,AB∩α=O,且AB⊥α，則OM為△ABC的中線和垂線,因此MA=MB.】
這個定義完全是“構造性”的，不但很簡潔，而且從三維空間來給出定義.是對平面定義的一大創新。這一時期及18世紀在萊布尼茨定義的引領下，很多數學家都給出了平面其他形式的“構造性定義”。
另一個影響比較大的是18世紀的法國數學家傅里葉給出的：
“平面由經過直線上一點，且與直線垂直的所有直線構成”.
在此基礎上，傅里葉推導出了平面的一些重要性質.
萊布尼茨、傅里葉等給出的“構造性定義”，較之歐幾里得、海倫的樸素定義，表達簡潔且可用於推理。但是先於“平面”而給出“垂直”等概念是有些不太恰當的。因此，他們的構造性定義也沒有推廣開來。相反，另一位看似不頂尖的英國數學家給出的“包含式”定義卻大受好評。
三、平面的包含式定義
18世紀，英國數學家辛鬆給出了平面的定義：
“平面是具有下面性質的面，通過其上任意兩點的直線完全包含在該面上”（辛鬆定義）
“辛鬆定義”與海倫的定義神似，但具有簡潔、直觀和可推導性雙重優勢。因此“辛鬆定義”被18世紀的大部分教材所採用，勒讓德還利用他的定義證明了歐幾里得《幾何原本》中的三個重要定理。
不過隨著時間的推移，數學家們也發現了一些問題。如，該定義是首先確定了平面，然後再通過其上的直線來定義。但最致命的還是“辛鬆定義”存在邏輯問題，下圖為克雷爾推理[3].
數學家們又鬱悶了，好不容易找到一個好的定義，卻仍然有缺陷。包括高斯、羅巴切夫斯基在內的著名數學家又一次開始尋求平面新的定義方式，但一切都是徒勞，他們都沒有找到一個即使是令自己滿意的定義。問題到底出在哪裡呢？他們不知道答案。這個問題需要一個更具有現代數學思維的數學家來給出，他就是希爾伯特。
四、平面的公理化定義
經歷了2千多年，數學家們反覆的折騰，讓希爾伯特明白一個道理。這麼原始的概念是沒法定義的，如果希望徹底的弄明白，那就只有一條路——不加定義，而只描述。這就是希爾伯特的公理化系統。在《幾何基礎》一書中，希爾伯特將點、直線、平面作為原始性概念來研究，並把《幾何原本》中的一些命題當作公理來處理（輔助理解平面的概念）.
公理化定義經過20世紀的進一步完善，逐步得到了大家的認可，並被寫入各地區教材。我們高中時候必修2所學的平面概念也是根據希爾伯特的描述性定義來編寫的。
對於我們普通人而言，數學是一門既熟悉又陌生的學科。熟悉是因為數學處處可見、處處可用，升學考試還不得不學。陌生是因為自以為很懂數學，有時卻連一個簡單的數學概念都描述不清。
回憶模式：什麼是“1”？什麼是“直線”？什麼又是“無窮小”？
你可能會覺得這三個問題很簡單，因為它的確很常見 、你或許還能想象得到。但是你定義不了它、而只能靠下面的描述。比如，從1個蘋果、1支筆中得到數字“1”，從直尺、線條中得到“直線”，從遞歸的角度理解“無窮”.
事實上，“1”、“直線”、“無窮”這些數學概念在自然中壓根兒就不存在，它們都是數學家對物理世界高度抽象後的產物，是一個理想化的概念。這些抽象的數學概念有沒有可能被定義呢？無數的數學家為之絞盡腦汁，但都以失敗而告終。最後，數學家們妥協了，既然無法定義，那乾脆就不定義了，大家能理解就行。
這樣的處理方式，看似隨意，卻是很負責任的。我們可以從數學家二千年來對“平面”定義的打破重建、迴歸本源來窺探一二.
一、平面的樸素概念
幾何學起源於古埃及的田地測量，測量就需要用到圖形（如三角形、四邊形）、面積等相關數學概念[1].由此可以推測出古埃及人已經有了對幾何體“面”的直觀意識。“面”是向“平面”過渡的關鍵一步。但是受限於時代，古埃及人並沒有做到更多，這樣的關鍵一步仍舊得在古希臘的沃土上邁出。
第一個抽象出“平面”概念的學者是生活在公元前5世紀的哲學家巴門尼德（Parmenides of Elea），他將幾何對象分為三類：直的、曲的、混合的.其中，
如果一個二維圖像是“直的表面”，且直線與之可以在任意方向重合，那它就是一個“平面”
這樣的定義立足於“直”，並藉助直線表達了平面具有的兩個特點：平面是平的、平面可以無限延展.但是巴門尼德沒有給出更多的關於“平面”的信息。於是到了公元前3世紀，“幾何學之父”歐幾里得（Euclid ，約公元前330年—公元前275年）在《幾何原本》中採用了下面完全不同的定義 [2]：
面“只有長度和寬度”，而平面是“與其上直線一樣平放著的面”
巴門尼德和歐幾里得關於“平面”的定義是樸素的，基於人們對於平面的直觀認識，但也有一個缺點：用詞不夠清晰，以至於在命題推理中不能使用。後續的古希臘的數學家（如海倫）試圖改變歐的定義，但是也帶來了其他的缺點——重複性判斷（萊布尼茨）。自海倫以後的一千多年，幾何學沒有太大的發展，人們關於“平面”的概念自然就討論得少了，這一狀況要直到17-18世紀才有所改變。
二、平面的構造性定義
17世紀的大數學家萊布尼茨關注到了歐幾里得對於“平面”概念的定義缺陷，以及海倫定義的囉嗦（海倫定義：平面是具有以下性質的面，它向四周無限延伸，平面上的直線都與之相合，且若一條直線上有兩點與之相合，則整條直線在任意位置與之相合）。經過深思熟慮，他給出了“平面”以完全不同的定義方式：
平面是一組這樣的點，它們到兩個定點的距離相等.
注意到：如果A、B為空間中兩定點，則“到A、B距離相等的點”可以組成與線段AB垂直的平面α. 【證明如下：如圖，若M∈α，AB為O的中點,AB∩α=O,且AB⊥α，則OM為△ABC的中線和垂線,因此MA=MB.】
這個定義完全是“構造性”的，不但很簡潔，而且從三維空間來給出定義.是對平面定義的一大創新。這一時期及18世紀在萊布尼茨定義的引領下，很多數學家都給出了平面其他形式的“構造性定義”。
另一個影響比較大的是18世紀的法國數學家傅里葉給出的：
“平面由經過直線上一點，且與直線垂直的所有直線構成”.
在此基礎上，傅里葉推導出了平面的一些重要性質.
萊布尼茨、傅里葉等給出的“構造性定義”，較之歐幾里得、海倫的樸素定義，表達簡潔且可用於推理。但是先於“平面”而給出“垂直”等概念是有些不太恰當的。因此，他們的構造性定義也沒有推廣開來。相反，另一位看似不頂尖的英國數學家給出的“包含式”定義卻大受好評。
三、平面的包含式定義
18世紀，英國數學家辛鬆給出了平面的定義：
“平面是具有下面性質的面，通過其上任意兩點的直線完全包含在該面上”（辛鬆定義）
“辛鬆定義”與海倫的定義神似，但具有簡潔、直觀和可推導性雙重優勢。因此“辛鬆定義”被18世紀的大部分教材所採用，勒讓德還利用他的定義證明了歐幾里得《幾何原本》中的三個重要定理。
不過隨著時間的推移，數學家們也發現了一些問題。如，該定義是首先確定了平面，然後再通過其上的直線來定義。但最致命的還是“辛鬆定義”存在邏輯問題，下圖為克雷爾推理[3].
數學家們又鬱悶了，好不容易找到一個好的定義，卻仍然有缺陷。包括高斯、羅巴切夫斯基在內的著名數學家又一次開始尋求平面新的定義方式，但一切都是徒勞，他們都沒有找到一個即使是令自己滿意的定義。問題到底出在哪裡呢？他們不知道答案。這個問題需要一個更具有現代數學思維的數學家來給出，他就是希爾伯特。
四、平面的公理化定義
經歷了2千多年，數學家們反覆的折騰，讓希爾伯特明白一個道理。這麼原始的概念是沒法定義的，如果希望徹底的弄明白，那就只有一條路——不加定義，而只描述。這就是希爾伯特的公理化系統。在《幾何基礎》一書中，希爾伯特將點、直線、平面作為原始性概念來研究，並把《幾何原本》中的一些命題當作公理來處理（輔助理解平面的概念）.
公理化定義經過20世紀的進一步完善，逐步得到了大家的認可，並被寫入各地區教材。我們高中時候必修2所學的平面概念也是根據希爾伯特的描述性定義來編寫的。
爭論了兩千多年，平面的定義在20世紀才被認為是弄清楚了，直觀、簡潔、可推理、以及邏輯問題在這一系列爭論中扮演了重要的角色。但是更本質的問題是，一個簡單的數學概念為何定義得如此之難？我認為一個關鍵點是基礎概念的基礎性。既然基礎概念是“起點”，為什麼還要定義它呢？這就是希爾伯特成功的關鍵。
再者，尋求一個更基礎的基礎來定義現在的基礎是一件費力不討好的事情，因為它已把原來的基礎變得不再基礎，而這樣的過程也會無休止的進行下去，所謂“起點”、所謂“基礎”，如果不人為規定，將會混亂得一塌糊塗。
[1]. 世界數學通史.樑宗巨.遼寧教育出版社.2015.1
[2]. 幾何原本.歐幾里得.人民日報出版社.2009.3
[3]. 數學史融入立體幾何教學的行動研究——以直線、平面為例.沈中宇.2017.5