對於正整數和,如果有,那麼把這個同餘方程中的最小正整數解叫做模的逆元。
逆元一般用擴展歐幾里得算法來求得,如果為素數,那麼還可以根據費馬小定理得到逆元為。(都要求a和m互質)
推導過程如下(摘自Acdreamer博客)
這個為費馬小定理,m為素數是費馬小定理的前置條件。
求a/b=x(mod M)
只要M是一個素數,而且b不是M的倍數,就可以用一個逆元整數b1,通過 a/b=a*b1 (mod M),只能來以乘換除。
費馬小定理:對於素數 M 任意不是 M 的倍數的 b,都有:b ^ (M-1) = 1 (mod M)
於是可以拆成:b*b^(M-2)=1(mod M)
於是:a/b=a/b*(b * b ^ (M-2))=a*(b ^ (M-2)) (mod M)
求a/b=x(mod M)
用擴展歐幾里德算法算出b1,然後計算a*b1(mod M)
exgcd(b,M,x,y); b1=x;
當p是個質數的時候有inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
證明:
設x = p % a,y = p / a
於是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移項得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
於是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p
然後一直遞歸到1為止,因為1的逆元就是1
1 #include<cstdio> 2 typedef long long LL; 3 LL inv(LL t, LL p) 4 {//求t關於p的逆元,注意:t要小於p,最好傳參前先把t%p一下 5 return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p; 6 } 7 int main 8 { 9 LL a, p; 10 while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)) 11 { 12 printf("%lld\n", inv(a%p, p)); 13 } 14 }
它可以在O(n)的複雜度內算出n個數的逆元
1 #include<cstdio> 2 const int N = 200000 + 5; 3 const int MOD = (int)1e9 + 7; 4 int inv[N]; 5 int init 6 { 7 inv[1] = 1; 8 for(int i = 2; i < N; i ++) 9 inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD; 10 } 11 int main 12 { 13 init; 14 }
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