小數計算為什麼會出錯？

簡要答案

實際上，不是運算本身會出錯，而是計算機根本就不能精確的表示很多數，比如0.1這個數。

計算機是用一種二進制格式存儲小數的，這個二進制格式不能精確表示0.1，它只能表示一個非常接近0.1但又不等於0.1的一個數。

數字都不能精確表示，在不精確數字上的運算結果不精確也就不足為奇了。

0.1怎麼會不能精確表示呢？在十進制的世界裡是可以的，但在二進制的世界裡不行。在說二進制之前，我們先來看下熟悉的十進制。

實際上，十進制也只能表示那些可以表述為10的多少次方和的數，比如12.345，實際上表示的：110+21+30.1+40.01+5*0.001，與整數的表示類似，小數點後面的每個位置也都有一個位權，從左到右，依次為 0.1,0.01,0.001,...即10^(-1), 10^(-2), 10^(-3)。

很多數，十進制也是不能精確表示的，比如1/3, 保留三位小數的話，十進制表示是0.333，但無論後面保留多少位小數，都是不精確的，用0.333進行運算，比如乘以3，期望結果是1，但實際上卻是0.999。

二進制是類似的，但二進制只能表示哪些可以表述為2的多少次方和的數，來看下2的次方的一些例子：

可以精確表示為2的某次方之和的數可以精確表示，其他數則不能精確表示。

為什麼一定要用二進制呢？

為什麼就不能用我們熟悉的十進制呢？在最最底層，計算機使用的電子元器件只能表示兩個狀態，通常是低壓和高壓，對應0和1，使用二進制容易基於這些電子器件構建硬件設備和進行運算。如果非要使用十進制，則這些硬件就會複雜很多，並且效率低下。

為什麼有的小數計算是準確的

如果你編寫程序進行試驗，你會發現有的計算結果是準確的。比如，我用Java寫：

System.out.println(0.1f+0.1f); 
System.out.println(0.1f*0.1f);

第一行輸出0.2，第二行輸出0.010000001。按照上面的說法，第一行的結果應該也不對啊？

其實，這只是Java語言給我們造成的假象，計算結果其實也是不精確的，但是由於結果和0.2足夠接近，在輸出的時候，Java選擇了輸出0.2這個看上去非常精簡的數字，而不是一箇中間有很多0的小數。

在誤差足夠小的時候，結果看上去是精確的，但不精確其實才是常態。

怎麼處理計算不精確

計算不精確，怎麼辦呢？大部分情況下，我們不需要那麼高的精度，可以四捨五入，或者在輸出的時候只保留固定個數的小數位。

如果真的需要比較高的精度，一種方法是將小數轉化為整數進行運算，運算結束後再轉化為小數，另外的方法一般是使用十進制的數據類型，這個沒有統一的規範，在Java中是BigDecimal，運算更準確，但效率比較低，本節就不詳細說了。

二進制表示

我們之前一直在用"小數"這個詞表示float和double類型，其實，這是不嚴謹的，"小數"是在數學中用的詞，在計算機中，我們一般說的是"浮點數"。float和double被稱為浮點數據類型，小數運算被稱為浮點運算。

為什麼要叫浮點數呢？這是由於小數的二進制表示中，表示那個小數點的時候，點不是固定的，而是浮動的。

我們還是用10進制類比，10進制有科學表示法，比如123.45這個數，直接這麼寫，就是固定表示法，如果用科學表示法，在小數點前只保留一位數字，可以寫為1.2345E2即1.2345*(10^2)，即在科學表示法中，小數點向左浮動了兩位。

二進制中為表示小數，也採用類似的科學表示法，形如 m*(2^e)。m稱為尾數，e稱為指數。指數可以為真，也可以為負，負的指數表示哪些接近0的比較小的數。在二進制中，單獨表示尾數部分和指數部分，另外還有一個符號位表示正負。

幾乎所有的硬件和編程語言表示小數的二進制格式都是一樣的，這種格式是一個標準，叫做IEEE 754標準，它定義了兩種格式，一種是32位的，對應於Java的float，另一種是64位的，對應於Java的double。

32位格式中，1位表示符號，23位表示尾數，8位表示指數。64位格式中，1位表示符號，52位表示尾數，11位表示指數。

在兩種格式中，除了表示正常的數，標準還規定了一些特殊的二進制形式表示一些特殊的值，比如負無窮，正無窮，0，NaN (非數值，比如0乘以無窮大)。

IEEE 754標準有一些複雜的細節，初次看上去難以理解，對於日常應用也不常用，本文就不介紹了。

如果你想查看浮點數的具體二進制形式，在Java中，可以使用如下代碼：

Integer.toBinaryString(Float.floatToIntBits(value))
Long.toBinaryString(Double.doubleToLongBits(value));