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鳴謝
首先給出上一期量子力學專題的鏈接，方便大家複習~
簡略地回顧一下前面兩條基本假設
1. 微觀粒子的狀態用波函數來表示，波函數的物理意義呢，就是其模方表示在空間中一點探測到這個粒子的概率密度；
2. 波函數隨時間的演化，薛定諤方程。
那麼……
哈密頓量具體是個啥東西？
為啥代表系統的能量？
算符又是個什麼鬼？
本期節目，我們繼續跟聊一聊大家其他的基本假設，同時也回答這些問題。
第三條基本假設的陳述
任何一個物理量，都由一個厄米算符來表示。
那麼第一個問題就來了，算符是個什麼東西呢？
簡單地理解，算符代表了你對一個函數進行的一種操作。當然，我們說的操作呢，不是說扭一扭舔一舔泡一泡或者扔進垃圾桶之類的實際的動作，而是一些數學上的操作。舉個簡單的例子，給一個函數f乘以一個常數，比如說，乘以2，就可以得到一個新的函數2f，那麼，乘以2這個操作，就可以用一個算符來表示。推廣一下，把這個函數f乘以另外一個函數g，也用一個算符來表示。再舉一個例子，對一個函數求導數可以得它的導函數，求導這個操作呢，也可以用一個算符表示。所以總結一下就是說，算符，代表了對函數的一個數學操作。
那麼，這個算符，具體長什麼樣子呢？我怎麼把一個算符寫下來呢？
我們在薛定諤繪景和座標表象下討論問題，乘以一個常數2這個操作，其算符具體形式就是一個常數2，乘以一個函數g這個操作，其算符形式就是這個函數g。而求導數這個操作呢，它的具體形式就是微積分裡的求導記號d/dx。
關於算符的長相到底是怎麼來的，詳細說明需要很多數學語言，在這裡我們就不具體解釋了，有興趣的同學可以參考任意一本量子力學教材。
列舉幾個具體物理量的算符
最常見，也是最基本的，位置算符，就是粒子的位置矢量r，作用於波函數呢，就是簡單的數乘。
動量算符為
其中字母i呢，是虛數單位，字母h上面加一槓念做h bar，等於普朗克常數h除以2π，總之是一個常數就對了。這個倒三角表示求梯度，作用在一個函數上的效果是，對一個多元函數的xyz三個自變量分別求導數再乘以相應的單位向量，得到的是一個矢量。
哈密頓量的具體意義
好的，現在我們明白了算符是個什麼鬼，那我們再回過頭來看一看哈密頓量具體長什麼鬼樣子。
首先看第一項，分母m表示粒子的質量，倒三角的平方表示兩個梯度算符點乘，作用於函數的效果，就是對三個自變量xyz分別求二階導數，然後再相加起來，得到的還是一個標量函數。
還記得高中學過的動能表達式嗎？沒錯，1/2mv²，我們換成動量來表達，就是動量p的平方除以2倍的m，在這裡，把動量p換成的動量算符，是不是就得到了哈密頓量的第一項呢？因此說，第一項實際上代表了粒子的動能。
第二項是一個空間位置的函數，即勢能函數，表示粒子處在不同位置時的勢能大小。
動能加勢能，就是這個粒子的總能量。因此我們說，哈密頓量表示了粒子的能量。
所以到現在，大家應該 可以完全明白薛定諤方程的意義了。左邊對時間的導數，刻畫了波函數隨時間的變化，右邊是哈密頓量作用於波函數，表明波函數的演化由系統能量的具體形式決定。
小結
現在我們已經知道了
1. 粒子的狀態用波函數表示；
2. 物理量用算符表示；
3. 波函數演化遵循薛定諤方程。
但有沒有感覺仍然是一頭霧水，這些假設到底有什麼用處呢？
比方說吧，如果你過生日的時候，女朋友送了一個裝在勢阱中的電子，並且給出了它的哈密頓量，而你也知道各種算符的形式，那現在能夠做些什麼呢？
當然你可以去解薛定諤方程，如果女朋友好心給了你邊界條件的話，那你就可以知道這個電子的波函數在任意時刻長什麼樣子，從而也知道了在任意時刻任意位置測量到這個電子的概率。
但是你還應該關心的是，各種物理量的取值是多少，比如，這個電子能量究竟有多大，動量是多少，跑得快不快，打在身上疼不疼等等。萬一女票生氣了，砸過來幾個電子，你必須知道這些信息，才能決定是躲開還是咬牙挺住。
涉及到物理量的取值，就需要我們下一條假設來說明。
第四條基本假設的陳述
能夠測量到的物理量的取值是相應物理量算符的本徵值。物理量算符的本徵向量構成一組正交完備基，把波函數用這組正交完備基展開，測量到某個本徵值的概率就是相應疊加係數的模方。
沒學過線性代數或者抽象代數的同學現在是不是滿臉問號呢？沒關係我們一點一點解釋。這條假設裡有這樣幾個概念，本徵值，本徵向量，正交完備基和展開係數。
我們剛才知道，算符代表了對一個函數進行的某種操作。那麼有沒有可能，對某些函數操作完了之後，得到的結果，是這個函數再乘以一個常數呢？用數學的語言表達出來就是
其中，大寫的字母A表示算符，小寫字母a表示一個未知的常數，f代表未知的波函數。我們希望能夠找到一些這樣的函數，這樣把算符作用上去的效果就變得非常簡單，相當於直接乘以一個常數。
這個方程，就叫做算符A的本徵方程。在這個方程裡，常數a和符合條件的函數f都是未知的。通過數學手段呢我們可以求解這個方程，解出來一系列常數a的可能的取值，我們稱之為本徵值
而對不同的本徵值，有不同的滿足條件的函數f，我們稱之為本徵函數。
小結一下
大家可以忽略掉那些細節，只需要明白，對於每一個算符A，我們都可以通過求解一個方程，從而找到一些特殊的函數f，使得這個算符A作用於這個函數f後，得到的結果呢，就是簡單地給這個函數f乘以一個常數。
要注意的是，這些常數們和這些函數們是一一對應的，不同的常數對應不同的函數。（當然，也有某幾個函數對應同一個常數的情況，這種情況叫做簡併，我們先不考慮）
那麼解出來這些東西有什麼用處呢？剛才的假設告訴我們，某個物理量的取值只能取這個算符的本徵值。所以，我們就知道了，當我們去測量這個物理量時，所有可能測量到的值。
兩種情況
在一些情況下，這些常數的取值是連續的，比如位置算符和動量算符，這和實際觀測也相符，一個粒子可以處在空間中的任意位置，也可以以任意的速度運動。
但有些情況下呢，它就只能夠取某些分立的值，比如，當我給定一些特殊的勢能函數時，求解哈密頓算符的本徵方程，也就是求這個粒子可能的能量取值，會發現這個系統的能量值是分立的。
這一點似乎非常奇怪的。因為在經典力學的世界裡，任意系統的任何物理量都是可以連續取值的。當一個小滑塊的能量可以取到3J和5J時，中間的能量值也一定可以取到。然而量子世界中卻並非如此。所謂量子世界的不連續性也就是從這裡來的。
然而，更為奇特的是，這些物理量的取值不僅可以是不連續的，甚至可以是不確定的。我能夠測量到什麼值，全看粒子的心情……
就像你惹女朋友生氣了她讓你走開時，你永遠不知道她是不是真的想讓你走開。不過好在，至少在量子力學裡，觀測到不同的取值概率是可以被算出來的，而女票生氣我們到底該怎麼做卻依然完全無解。
最後
好啦，限於篇幅，本期就先介紹這麼多，下期節目，我們會跟大家聊聊我們在測量物理量時，測量到各個取值的概率到底是怎麼確定的，還會介紹大名鼎鼎的不確定性原理，態的疊加原理，以及最後一條基本假設，全同性原理，一定要記得收聽哦~
我們下期見~
編輯：吉星
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