漫談：“一元高次方程的單個根”與係數之間的內在關係

數學電子通信和數學領域 2019-04-06

本文不是在闡述根與係數之間的韋達定理，韋達定理闡述的是一個方程所有根與係數之間的關係。那你知道一元N次方程（或高次方程）的單個根與係數之間的關係麼？

本文從另一種角度分析任意一個一元n次方程單個根與係數之間的關係。學習後你看到任意一個方程如果存在實數根，就會知道這個根的結構是什麼樣子。

例如一個一元6次方程

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存在有理數根，則根可以寫成兩個最簡分數之比

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帶入得到

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化簡得到：

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你會發現分U與3V^6存在著整數倍關係

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進步分析，因為U/V是最簡分數（沒有公約數），U/V^6肯定也是沒有公約數的，但U與3V^6卻存在著整數倍關係，所以U和3肯定存在著整數倍關係。

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我們再次對上式經過變形

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得到V與2U^6存在著整數倍關係

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同理得到：V和2存在著整數倍關係

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所以得到如果一個一元高次方程存在有理數解，則可以寫成兩個最簡分數之比，分母與方程的最高次項係數存在整數倍關係，分子與方程的常數項存在整數倍關係。

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如果一個方程存在無理數根，是什麼情況呢：

假設：

漫談：“一元高次方程的單個根”與係數之間的內在關係

整理

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得到

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發現一個整數係數的方程的根卻是無理數，常數項為1，這點可以猜到一個高次方程如果

常數項為1，它的根存在無理數的可能。

但分圓方程除外：例如7次方程

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根的分佈

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所以一個高次方程如果常數項為+1，-1，且存在實數根的話，那他的根如果不是0,1的話，就是一個無理數。因為沒有N倍的整數等於1，否則就是有理數

上述只是基於例子得出的有趣結論，更嚴格的結論需要嚴密的數學推導和數學計算得出。

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