“每一門科學，當我們不是將它作為能力和統治力的工具，而是作為我們人類世代以來努力追求的對知識的冒險歷程，不是別的，就是這樣一種和諧，從一個時期到另一個時期，或多或少，巨大而又豐富：在不同的時代和世紀中，對於依次出現的不同的主題，它展現給我們微妙而精細的對應，彷彿來自虛空。”

——格羅滕迪克《收穫與播種》

在數學群星璀璨的20世紀，格羅滕迪克也仍然是光芒耀眼的一顆巨星。拒絕領取數學最高獎菲爾茲獎和在創造的巔峰時期選擇隱居，圍繞在他身上的傳奇故事很多。毫無疑問，格羅滕迪克是20世紀最具傳奇色彩的數學家。事實上，從二十世紀中葉開始，在整個數學領域裡不斷加深的一般化和抽象化的潮流，在很大程度上歸功於格羅滕迪克。正如他在長篇回憶錄《收穫與播種》中所說: “構成一個研究人員的創造力和想象力的品質的東西，正是他聆聽事情內部聲音能力”。今天格羅滕迪克自己的聲音，蘊含在他的著作中，到達我們耳中，就如來自虛空。那麼，這樣一位數學巨星到底經歷了怎樣的一生？

早年生活

亞歷山大—格羅滕迪克（Alexandre Grothendieck）（1928~2014）於1928年出生於柏林，由於父母的緣故，早年的生活可謂顛沛流離。根據後人的研究，格羅滕迪克的父親或許名叫亞歷山大—沙皮諾，出生於烏克蘭的一個猶太人家庭，多次參加過反對沙皇政府的暴動，因此經常入獄，僥倖逃脫死刑判決後，他流亡於德國、比利時和法國等地，繼續政治活動，從此成為無國籍人士，並且在此期間認識了格羅滕迪克的母親漢卡—格洛騰迪克。在生下格羅滕迪克之前，他的父親均各自有過一次婚姻，並且各自還帶著一個孩子。1933年納粹上臺後，格羅滕迪克的父母逃亡法國，將兒子留在漢堡附近一個寄養家庭裡面，這個寄養家庭的家長名叫威爾海姆—海鐸。

從5歲開始，格羅滕迪克在海鐸家裡呆了5年多，並且開始上學。後來威爾海姆在回憶錄裡面說小亞歷山大是一位非常自由，特別誠實，毫無顧忌的小孩。在他生活在海鐸家這幾年裡，格羅騰迪克只從他母親那裡收到幾封信，而他的父親則杳無音信。到了1939年，殘酷的戰爭已經迫在眉睫，海鐸夫婦所承受的政治壓力越來越大，他們無法再再繼續撫養這些孩子了。而格羅騰迪克的情更加複雜些，因為他看上去就像一個猶太人。海鐸寫信給法國駐漢堡領事館，設法給在巴黎的沙皮諾和在尼姆茲的漢卡帶去消息。不久聯繫到他的父母之後，已經11歲的格洛騰迪克被送到了巴黎，與父母一起度過了戰前的短暫歡樂時光，久違的親情使得格羅滕迪克喜出望外。

但好景不長，格羅滕迪克的父母仍然熱衷於參加政治活動。最終在1942年，沙皮諾被送往奧斯維辛，並在那裡遭到無情殺害。而漢卡和格羅滕迪克則被送到了戰俘收容所，而幸運地是，格羅滕迪克在這裡居然被允許繼續參加高中的學習。在此期間，他的母親又被送往其他集中營，自己也要時刻小心納粹的屠殺。關於這些痛苦的回憶，我們無心再更多的提及。

二戰結束後，格羅滕迪克和母親居住在蒙彼利爾郊外，他也開始在蒙彼利爾大學上學，母子二人靠著格羅滕迪克的獎學金和母親打零工的微薄收入勉強維持生活。但不久之後，格羅滕迪克開始對課堂教學失去興趣，因為老師總是在照本宣科。儘管少年時期格羅滕迪克的生活充滿痛苦與混亂，但他卻從很小的時候起就擁有強大的內在理解能力。在所有數學課上，他不需要老師的提示就能區分什麼內容是正確與深層的，什麼是表面或錯誤的。當有數學問題引起他的興趣時，他就能完全忘我的投入到問題的研究中去，以至於廢寢忘食。

南錫與泛函分析

“我的微積分老師舒拉先生向我保證說數學上最後一個問題已經在二三十年前就被一個叫勒貝格的人解決了。確切地說，他發展了一套測度和積分的理論（真是很令人驚訝的巧合！），而這就是數學的終點。”

——格羅滕迪克《收穫與播種》

這段話所包含的故事可能為很多人熟知。格羅騰迪克在蒙彼利爾三年的大部分學習時間放在了彌補他曾經覺察到的高中數學教科書的缺陷上，給出了更加準確的長度、面積和體積的定義。實際上完全依靠自己的努力，他實際上重新發現了勒貝格測度論和勒貝格積分的概念。從這時候起，格羅滕迪克非凡的數學天才已經開始迸發巨大的能量。

1948年，格羅滕迪克靠著獎學金來到巴黎，他已經被大學數學教師舒拉推薦給自己曾經的老師，當時的大數學家嘉當，不過據格羅滕迪克自己回憶，到底是名滿天下的老嘉當還是他的兒子小嘉當，他自己也不清楚。不久之後，格羅滕迪克獲准參加巴黎高師的數學討論班，他在這裡見到了當時數學界的風雲人物：克勞德－謝瓦萊(Claude Chevalley)，讓－德爾薩(Jean Delsarte)，讓－丟多涅(Jean Dieudonne)，洛朗－施瓦茲(Laurent Schwartz)和安德烈－韋伊(Andre Weil)等。

在討論班上的格羅滕迪克更像個“外來人”，這不僅因為他說德語，而且因為他與其他參加者比較起來顯得特別貧乏的數學教育背景。儘管格羅滕迪克擁有強大的數學天賦，但在大師雲集的高師他仍然感覺吃力，於是在嘉當和韋伊的建議下，格羅滕迪克在第二年10月離開氛圍“高雅”的巴黎而去了節奏稍微緩慢一些的南錫。另外，如丟多涅所說的一樣，格羅騰迪克那時候對拓撲線性空間比對代數幾何更感興趣，因此讓他去南錫再合適不過了。

丟多涅與施瓦茲此時正在南錫開設關於拓撲線性空間的討論班,著重於研究Frechet空間及其正向極限。巴拿赫空間及其對偶空間的理論在當時已經相當成熟，但對局部凸空間的研究才剛剛興起。丟多涅與施瓦茲在對局部凸空間及其對偶空間的研究中不斷地遇到一些困難，恰巧已經名聲在外的格羅滕迪克來到南錫，於是他們便將這些難題交給了格羅滕迪克。令人驚訝的是，不到一年，格羅滕迪克不僅已經通過巧妙的構造將這些難題全部解決，而且已經著手研究泛函分析的其他問題了。事實證明，格羅滕迪克在南錫對泛函分析的幾年辛苦耕耘將影響深遠。

1950年到1955年這幾年當中，格羅滕迪克將全部精力放在了對泛函分析的研究上。當1953年格羅滕迪克將博士畢業時，他已經完成了六篇關於泛函分析的高水準論文，每一篇都能夠作為他的博士論文，而最終選定的博士論文名為《拓撲張量積與核空間》，並且將之獻與自己的母親。泛函分析中核空間的概念也自此提出，其重要性正在於幾乎所有非巴拿赫局部凸空間都是核空間，因此核空間的提出深刻影響了相關學科的發展。格羅滕迪克博士論文的發表被譽為戰後泛函分析最重要的事件之一。除此之外，在泛函分析領域，格羅滕迪克的貢獻還有格羅滕迪克不等式及其與絕對求和算子的關係等。丟多涅後來評價說，格羅滕迪克在泛函分析中的工作成就足以媲美這門學科的創始人巴拿赫，而與蓋爾範德比起來也絲毫不遜色。但格羅滕迪克對泛函分析的研究更多地是使用代數和範疇論的方法，這與主流觀點並不同，以至於多年之後這些方法和成果才顯示出它的威力。如今我們一提到他，首先都會想到他對代數幾何的開創性貢獻，但他對泛函分析的貢獻也絕不容忽視。

由於父母的緣故，格羅滕迪克直至當時仍然沒有國籍（直到1980年法國政府才正式批准他入籍法國），因此無論他多麼有才華，但依然無法在法國獲得任何正式的教職席位，甚至有段時間他想過當木匠為生。熱心的施瓦茲介紹他去巴西聖保羅大學做訪問教授，這樣格羅滕迪克即可以養活一家人，同時也可以有時間回法國和同行們交流。法國與巴西一直保持著數學界的密切交流，因此我們可以看到，巴西數學在當今也是十分活躍的。

同調代數與代數幾何

但1955年之後，格羅滕迪克對泛函分析與拓撲線性空間的興趣已經完全喪失了。按他自己的話說：“這個學科已經死了，沒什麼好研究的了”。雖然格羅滕迪克這樣看法有些偏激，但足以說明，他對此已經徹底不感興趣了。從這時起，他的興趣轉向了同調代數。格羅滕迪克的興趣轉移並不是空穴來風，小嘉當和艾倫伯格不久前闡釋了同調代數在研究代數拓撲中顯示的巨大潛力，這讓格羅滕迪克很著迷。這一年，格羅滕迪克發展了阿貝爾範疇的公理化理論，相關結論成為了同調代數中的經典。

接下來，格羅滕迪克將目光轉向了自己真正的舞臺——代數幾何。實際上，格羅滕迪克對代數幾何的興趣是在謝瓦萊和塞爾的影響下逐漸形成的。格羅滕迪克十分熱衷於參加謝瓦萊在巴黎高師開設的代數群討論班。同時，塞爾更是給予了格羅滕迪克直接的影響。塞爾擁有非常廣博的代數幾何知識，此時已經成為了格羅滕迪克相關知識無盡的源泉，後人甚至可以從二人的通信中學到比課本上更多更深刻的代數幾何知識。

不久之後格羅滕迪克得到了一個經典結果：黎曼球上每一個全純向量叢是線叢的直和。但實際上，這樣的結果早已被諸如伯克霍夫、希爾伯特等數學家得到，只不過數學教育背景“貧乏”的格羅滕迪克並不知道，正如以前重新“發現”勒貝格測度論一樣。儘管如此，格羅滕迪克這樣的成果還是開啟了射影空間上向量叢的系統研究和分類。

從1956年到1970年這十多年內，格羅滕迪克再未離開過代數幾何的研究。一開始，他將精力集中在將關於簇的“絕對”定理轉化為關於態射的“相對”定理，這一時期最重要的成就當屬對於“黎曼—羅赫”定理的推廣，也就是它的“相對”定理。希策布魯赫曾對經典的“黎曼—羅赫”定理有過重大改進，數學界曾一度認為這已經是蓋棺定論。但格羅滕迪克卻不這麼認為，“不，黎曼—羅赫定理不是一個關於簇的定理，而是一個關於簇間態射的定理”，他非常肯定地得出了他的結論。這是一個根本性的新觀點，整個定理的陳述徹底改變了。波萊爾評價說：“這真的很符合範疇論和函子的精神，不過人們從沒有想過在如此困難的論題上使用它。單單這個陳述本身就已經領先別的任何人10年時間。”曾經格羅滕迪克將這樣的精神引進了泛函分析，而如今，他又將其帶到新的領域，並再次發揚光大。

取得這樣光輝的成就之後，1958年格羅滕迪克受邀前往在愛丁堡舉辦的國際數學家大會上作報告。在大會上，他擬定了一個在正特徵域上定義同調論的綱領，它將有可能導致韋伊猜想的證明，而韋伊猜想短語在有限域上代數簇的算術和複數域上代數簇的拓撲之間存在深刻的聯繫。此時的韋伊猜想已經吸引了大量頂級數學家研究，包括韋伊，格羅滕迪克外和塞爾等。

與此同時，格羅滕迪克也是代數K—理論的創始人之一。K—理論在數學中有很多非凡的作用，例如非常著名的阿蒂亞—辛格指標定理便是其影響下的產物之一。

“在IHES（高等科學研究所）的英雄歲月裡，丟多涅和我是所裡僅有的成員，也是僅有的可以給它帶來信譽和科學世界聽眾的人……我覺得自己和丟多涅一起，有點象是我任職的這個研究所的“科學”共同創始人，而且我期望在那裡結束我的歲月！我最終將強烈地認同IHES。”

——格羅滕迪克《收穫與播種》

1959年，格羅滕迪克受邀到巴黎近郊的高等科學研究所工作，接下來的10年，這裡將成為代數幾何的中心。這一時期內，韋伊猜想的證明成為了格羅滕迪克工作的主要動力，而“概型”作為代數幾何新的語言正是在這一時期得以確立。

簡單來說，概型是代數簇的一個推廣。給定一組素特徵有限域，一個概型就可以產生一組代數簇，而每一個都有它自己與眾不同的幾何結構。而概型可以讓我們在一個統一方法下，研究一個代數簇所有不同的“化身”。邁克—阿廷評論說，“這太激進了。沒有人有勇氣哪怕去想象這個方法的可行性，真的太出色了。”

而他另一大開創性貢獻便是提出“拓撲斯（topos）”的概念。如格洛騰迪克自己所言，拓撲斯是“空間概念的變體”。拓撲斯可以描述為這樣一個範疇，它儘管無需起因於普通空間，然而卻具有所有層範疇的“好”的性質。對於一個拓撲空間而言真正重要的根本不是它的‘點’或者點構成的子集和它們的親近關係等等，而是空間上的層和層構成的範疇。

從技巧層面來說，格羅滕迪克在數學上的大多工作集中在發展所缺乏的上同調理論。平展上同調（Etale cohomology）就是這樣一種理論，由格羅騰迪克與邁克—阿廷等人所發展，其明確意圖就是證明韋伊猜想，而它確實是推動最終證明的主要因素之一。但實際上格羅騰迪克走得更遠，他還發展了motive的概念，他將此描述為“終極上同調不變量”，所有其他的上同調理論都是它的實現或者化身。遺憾的是，格羅滕迪克最終沒有完成韋伊猜想的徹底證明，然而他卻是這一領域內的偉大引路人，指引著他的學生德利涅最終實現了這一創舉。

在IHES的歲月裡，格羅騰迪克對數學的貢獻是完全的。他的非凡精力和工作能力，以及對自身觀點的頑強堅持，產生了數學思維的巨浪，將很多人捲入到它的奔湧激流中。

榮譽與遺產

1966年，因為對泛函分析，黎曼—羅赫定理以及概型理論的貢獻而榮獲數學最高獎菲爾茲獎。但為了表達對蘇聯政府的抗議，他拒絕了領獎。或許正是因為自己青年時期飽受戰爭傷害，格羅滕迪克對戰爭異常痛恨。1970年，當他發現IHES的經費部分來自軍方時，不久之後便憤然辭職，對數學的興趣也越來越淡薄，在他看來，數學界已經失去了道德。之後的幾年，格羅滕迪克致力於保護環境的運動，80年代又開始在蒙彼利爾從事了幾年的數學活動。而後來就乾脆選擇了隱居，從人們的視線中消失，以至於多年之中，外界甚至不清楚他的生死。

受布爾巴基學派的影響和在丟多涅的幫助下，格羅滕迪克完成了代數幾何鉅著《代數幾何原理》（Elements de Geometrie Algebrique，簡稱EGA，計劃寫十三卷，最終完成四卷），而他在討論班上的一系列講稿也匯聚成了Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois Marie，簡稱SGA。他也在巴黎布爾巴基討論班上介紹了很多結果，它們被合集為FGA，即Fondements de la Geometrie Algebrique。EGA，SGA與FGA加起來將近7500頁，這些寶貴的財富構建起了現代代數幾何的框架，並且滋養出了一大批後來者。而如今我們也有幸通過格羅滕迪克的自傳《收穫與播種：一個數學家過去的回顧和證詞（Recoltes et Semailles: Reflexions et temoignage sur un passé de mathematicien）》來探尋他不平凡的一生以及他的內心世界。然而遺憾的是，由於篇幅巨大，翻譯起來費力不討好，《收穫與播種》甚至沒有完整的英文譯本，更沒有正式的中文版，這不得不說是巨大的遺憾，但我們都非常期待著這一天。

1988年，格羅滕迪克又拒絕了瑞典皇家科學院頒發給他的克勞福德獎，他說到：“新思想是否富有成果，時間是唯一的證明。而數學家是否富有成果由成果決定，而非榮譽”。我想這句話正是對他一生的寫照。

結語

完全格羅滕迪克對20世紀數學的貢獻和影響是困難的。他改變了我們在數學許多領域思考的方式。他的許多思想在創建時期是偉大的革命，而現在是如此的自然，彷彿它一直在就數學中一樣。他的思想對新一代數學家而言是壯闊的風景，引領著他們走進數學的殿堂之中。