省級重點中學教師教你高中數學：應用函數的奇偶性解決有關的問題

（許興華數學）

【“函數的奇偶性”重點難點解讀】

一、函數的奇偶性

1.偶函數：

一般地，如果對於函數f(x)的定義域內任意一個x都有f(-x)=f(x)，那麼函數f(x)就叫做偶函數.

2.奇函數:

一般地，如果對於函數f(x)的定義域內任意一個x都有f(-x)=-f(x)，那麼函數f(x)就叫做奇函數.

3.對函數奇偶性定義的理解：

（1)奇函數的定義等價於f(-x)+f(x)=0．

偶函數的定義等價於f(x)-f(-x)=0．

（2） 定義中的x具有任意性，函數的奇偶性是相對於函數的定義域而言的，而函數的單調性是相對於定義域的某個子集而言的，從這個意義上講，函數的單調性屬於“局部性質"，而函數的奇偶性則屬於“整體性質”。

（3） x具有對稱性.因為函數y=f(x)的奇偶性考查的是f(-x)與f(x)的關係，所以f(-x)與f(x)都應有意義，即x與-x都應在函數的定義域內，所以定義域在數軸上必定都關於原點對稱.否則，這個函數一定不具有奇偶性.例如函數y=x^2，在R上是偶函數，但在區間[一1，2 ] 上既不是奇函數，也不是偶函數。

(4)由此可知，要判斷函數的奇偶性，第一步必須先求函數的定義域，並判斷定義域是否關於原點O對稱。如果定義域不關於原點O對稱，那麼它就是“非奇非偶函數”了。如果定義域關於原點O對稱，那再進一步用定義來判斷它的奇偶性。

二、奇函數與偶函數圖象的性質

（1）如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以座標原點O為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是以座標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數。

（2）如果一個函數是偶函數，則它的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形，則這個函數是偶函數.

三、函數的奇偶性的簡單應用

1.判斷函數的奇偶性

5.求函數的最大最小值

6.利用奇偶性和單調性研究函數的圖象

許興華數學（網絡配圖）