三角形的垂心、外心、內心、中心、旁心，你都明白嗎？

已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為外心，且OM⊥BC於M。

（1）求證：AH=2OM；

（2）若∠BAC=60°，求證：AH=AO。

分析：這道題出現了三角形的外心還有三角形的垂心，如果我們對三角形的各"心"很清楚的話我們很快就有思路（1）延長AD到F連BF，做OG⊥AF，求出矩形OGDM，求出OM=GD，根據等腰三角形的性質和判定、垂徑定理求出HD=DF，代入求出即可；

（2）根據圓周角定理求出∠BOM，根據含30度角的直角三角形性質求出B=2OM即可．

下面來看詳細解答過程：

證明（1）過O作OF⊥AC於F，則F為AC的中點，連接CH，取CH中點N，連接FN，MN，則FN∥AD，AH=2FN，MN∥BE，

∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，

∴OM∥AD，BE∥OF，

∵M為BC中點，N為CH中點，

∴MN∥BE，

∴OM∥FN，MN∥OF，

∴四邊形OMNF是平行四邊形，

∴OM=FN，

∵AH=2FN，

∴AH=2OM．

證明（2）連接OB，OC

∵∠BAC=60°，

∴∠BOC=120°，

∴∠BOM=60°，

∴∠OBM=30°，

∴OB=2OM=AH=AO，

即AH=AO．

本題考查了等腰三角形的性質和判定、三角形的中位線定理、含30度角的直角三角形性質、三角形的外接圓與外心、三角形的內角和定理等知識點。

題目綜合性較強，有一定的難度，但題型較好，難點是如何作輔助線以及對三角形的內心、外心、重心、垂心、旁心等考點的理解。

可能還有好多同學對這幾個"心"還掌握的不是太好，那麼今天我們就藉助這道題再來把三角形內心、外心、中心、重心的知識再複習一下。

三角形的四心定義：

1、內心：三角形三條內角平分線的交點，即內切圓的圓心。內心是三角形角平分線交點的原理：經圓外一點作圓的兩條切線，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點到角兩邊距離相等）。

2、外心：是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交於一點。該點叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五種心重心、垂心、內心、外心、旁心，當且僅當三角形是正三角形的時候，四心合一心，稱做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三邊中線的交點。

三角形的外心的性質：

1、三角形三條邊的垂直平分線的交於一點，該點即為三角形外接圓的圓心；

2、三角形的外接圓有且只有一個，即對於給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合；

3、銳角三角形的外心在三角形內；鈍角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心與斜邊的中點重合。

三角形的內心的性質：

1、三角形的三條角平分線交於一點，該點即為三角形的內心

2、三角形的內心到三邊的距離相等，都等於內切圓半徑r=2S/(a+b+c)

3、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．

4、∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2

5、S△=[(a+b+c)r]/2 (r是內切圓半徑)

三角形的垂心的性質:

1、銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外。

2、三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心。

3、三角形任一頂點到垂心的距離，等於外心到對邊的距離的2倍。

4、銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等於其內切圓與外接圓半徑之和的2倍。

5、銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短。

6、三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行於原三角形外接圓在各頂點的切線。

三角形的重心的性質:

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

三角形旁心的性質

1、三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心。2、每個三角形都有三個旁心。3、旁心到三邊的距離相等。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。

這些三角形的“心”的知識給大家分享完了，三角形只有五種心重心、垂心、內心、外心、旁心，我們只要記住它們的定義，它們的性質我們結合圖形就能很快理解，重點是要熟練，熟練了我們做題時候才能得心應手。現在你都把三角形的這些“心”弄明白了嗎？

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