經典力學和電動力學的調和者，狹義相對論的核心——洛倫茲變換

伽利略·伽利萊數學亞里士多德體育物理化學胖福的小木屋 2019-05-30

1873年，麥克斯韋出版了科學名著《電磁理論》，將電力與磁力相統一，實現了物理史上的第一次大一統。這本書系統、全面、完美地闡述了電磁場理論，成為經典物理學的重要支柱之一。他還預言了電磁波的存在，電磁波的存在也正式敲開了現代無線通信的大門。

他建立的電磁場理論，將電學、磁學、光學統一起來，是19世紀物理學發展的最光輝的成果，是科學史上最偉大的綜合之一。可以說，沒有電磁學就沒有現代電工學，也就不可能有現代文明。

而麥克斯韋為了把電磁場理論由介質推廣到空間，假設在空間存在一種動力學以太，它有一定的密度，具有能量和動量：它的動能體現磁的性質，勢能體現電的性質，它的動量是電磁最基本的量，表示電磁場的運動性質和傳力的特徵。在1865年，他提出了一共包含20個變量的20個方程式，即著名的麥克斯韋方程組。他在1873年嘗試用四元數來表達，但未成功！（請記住，以太這個概念很重要！）

四元數

在當時，麥克斯韋的學說卻並沒有得到承認，正如當初大家把亞里士多德的著作奉為神典永無錯漏一般，18世紀的科學家也將牛頓奉為神明。

麥克斯韋為了推廣自己的電磁學理論，最終積勞成疾，在1879年不幸逝世，所以到去世也沒有將自己構想的公式完美地表達出來。

直到1884年，奧利弗·赫維賽德和約西亞·吉布斯以矢量分析的形式重新表達，才有了現在我們所看到的麥克斯韋方程組！

奧利弗·赫維賽德也是一個傳奇，他因為患有猩紅熱，耳朵聽不清楚，卻自學成才，他將麥克斯韋付出由四元數改為矢量，將原來20條方程減到4條微分方程。

而吉布斯則奠定了化學熱力學的基礎，他創立了向量分析並將其引入數學物理之中，更將麥克斯韋方程組引入物理光學的研究。這兩個人合理構建了我們現在所看到的麥克斯韋表達形式！

麥克斯韋方程組，準確地描繪出電磁場的特性及其相互作用的關係。這樣他就把混亂紛紜的現象歸納成為一種統一完整的學說。麥克斯韋方程在理論和應用科學上都已經廣泛應用一個世紀，可以說麥克斯韋方程組構建了現代文明的基石。

麥克斯韋一般主要有積分形式和微分形式，其中方程組中H為磁場強度,D為電通量密度,E為電場強度，B為磁通密度。J為電流密度,，ρ為電荷密度。在採用其他單位制時,方程中有些項將出現一常數因子,如光速c等。

積分形式的麥克斯韋方程組是描述電磁場在某一體積或某一面積內的數學模型，其中第一個公式式是由安培環路定律推廣而得的全電流定律，第二個公式是法拉第電磁感應定律的表達式，第三個公式是表示磁通連續性原理，最後一個公式是高斯定律的表達式。

麥克斯韋方程組的積分形式既描述了電場的性質，也描述了磁場的性質，也描述了變化的磁場激發電場的規律，更描述了傳導電流和變化的電場激發磁場的規律。

它反映了空間某區域的電磁場量(D、E、B、H)和場源(電荷q、電流I)之間的關係。在電磁場的實際應用中，經常要知道空間逐點的電磁場量和電荷、電流之間的關係。而微分形式就是麥克斯韋方程組積分形式在數學形式下的轉化！

麥克斯韋方程組構建了電動力學的基石，但卻和牛頓的經典力學產生了矛盾。麥克斯韋建立的電動力學，有一個結果就是光速在不同慣性系是不變的，這個結果和經典力學的伽利略變換是相矛盾的。

伽利略變換是經典力學中用以在兩個只以均速相對移動的參考系之間變換的方法，屬於一種被動態變換。伽利略變換構建了經典力學的時空觀。

伽利略變換認為，在同一參照系裡，兩個事件同時發生，在其他慣性系裡，兩個事件也一定同時發生，時間間隔的測量是絕對的，長度測量也具有絕對性，經典力學定律在任何慣性參考系中數學形式不變，換言之，所有慣性系都是等價的（相對性原理）；伽利略變換構建了經典力學中的絕對時空觀，時間和空間均與參考系的運動狀態無關、時間和空間是不相聯繫的，是絕對的。

這種絕對的時空觀和麥克斯韋創建的電動力學產生了衝突，如果我們把伽利略變換應用於描述電磁現象的麥克斯韋方程組時，將發現它的形式不是不變的，即在伽利略變換下麥克斯韋方程組或電磁現象規律不滿足相對性原理。

我們可以由麥克斯韋方程組可以得到電磁波的波動方程，由波動方程解出真空中的光速是一個常數。按照經典力學的時空觀，這個結論應當只在某個特定的慣性參照系中成立，這個參照系就是以太。

論證過程

一句話概括：電磁現象所遵從的麥克斯韋方程組不服從伽利略變換。

牛頓認為引力甚至電、磁力是在以太中傳播的。受經典力學思想影響,物理學家便假想宇宙到處都存在著一種稱之為以太的物質,他們普遍認為以太是傳播電磁波和光的媒介。而經典物理學理論中，將這種無處不在的“以太”看作絕對慣性系，其它參照系中測量到的光速是以太中光速與觀察者所在參照系相對以太參照系的速度的矢量疊加。

洛倫茲為了修補這個矛盾建立了洛倫茲變換。洛倫茲提出洛倫茲變換是觀測者在不同慣性參照系之間對物理量進行測量時所進行的轉換關係，在數學上表現為一套方程組。它是同樣是基於以太存在的前提的，根據光速不變原理，相對於任何慣性參考系，光速都具有相同的數值。

1887年進行的著名的邁克耳孫莫雷實驗，他的目的就是為了證明以太的存在，若能測定以太與地球的相對速度，即以太漂移速度，便可證明以太的存在。邁克耳孫莫雷實驗測量不到地球相對於以太參照系的運動速度。地球相對以太不運動。此後其他的一些實驗亦得到同樣的結果。

洛倫茲為了在承認光速與參照系無關的條件下，拯救以太假設，便拋棄了空間間隔和時間間隔與參照系無關的絕對觀念。在他看來，常駐以太參照系是基本參照系，在這個參照系中，時間是均勻流逝的，空間是均勻的，各向同性的。任何實際參照系都相對於這個基本參照系運動著。

根據他的設想，觀察者相對於以太以一定速度運動時，長度在運動方向上發生收縮，抵消了不同方向上由於光速差異，這樣就解釋了邁克耳孫-莫雷實驗的零結果。

洛倫茲變換一定程度上調和了經典力學和電動力學之間的矛盾，給了伽利略變換一個適用的領域，那麼就可以解釋為什麼伽利略變換下麥克斯韋方程組或電磁現象規律不滿足相對性原理。

然而洛倫茲變換畢竟是為了拯救錯誤的以太假說而提出的，在調和經典力學與電動力學之間的矛盾上還存在許多的問題。在相對論以前，洛倫茲從存在絕對靜止以太的觀念出發，考慮物體運動發生收縮的物質過程得出洛倫茲變換。在洛倫茲理論中，變換所引入的量僅僅看作是數學上的輔助手段，並不包含相對論的時空觀。

愛因斯坦洞察到解決這種不協調狀況的關鍵是同時性的定義，愛因斯坦認為既然光速不變，作為靜止參考系的以太就沒有理由存在。於是拋棄靜止參考系以太、以光速不變原理和狹義相對性原理為基本假設的基礎上建立了狹義相對論。愛因斯坦基於事實的觀察著眼於修改運動、時間、空間等基本概念，重新導出洛倫茲變換，並賦予洛倫茲變換嶄新的物理內容，來解釋邁克爾遜-莫雷實驗和光速不變。愛因斯坦的洛侖茲變換是指純數學的空間縮短，不再是組成量杆的帶電粒子距離縮短。而且這種空間縮短不具有任何實質性的物理意義。

在狹義相對論中，洛倫茲變換是最基本的關係式，狹義相對論的運動學結論和時空性質，如同時性的相對性、長度收縮、時間延緩、速度變換公式、相對論多普勒效應等都可以從洛倫茲變換中直接得出。

根據光速不變原理，相對於任何慣性參考系，光速都具有相同的數值。在光速不變和相對性原理的基礎上，

在狹義相對論中，空間和時間並不相互獨立，而是一個統一的四維時空整體，不同慣性參照系之間的變換關係式與洛倫茲變換在數學表達式上是一致的。

由此，經典力學與電動力學之間的矛盾徹底被調和，如果速度v比光速с小很多，而且被觀察的物體的運動速度也比光速小很多，則洛倫茲變換就與伽利略變換近似一樣。對於日常的力學現象，使用伽利略變換就可以了。然而，對於運動物體的電磁現象，雖然物體的運動速度比光速小很多，但由於電磁相互作用的傳播速度是光速，所以仍必須使用洛倫茲變換。

而從笛卡兒把以太引入科學，並賦於他力學性質，認為物體之間的所有作用力都是通過中間媒介以太傳播開始，以太論整整桎梏了物理學家近 300 年，任何物理學家在思考物理現象、規律、法則時，都要考慮吧以太的存在，從而將他們引導至錯誤的方向。愛因斯坦的狹義相對論剿滅了以太這朵烏雲，證明光速在不同慣性系和不同方向上都是相同的，由此否認了以太（絕對靜止參考系）的存在，從而動搖了經典物理學基礎，成為近代物理學的一個開端。