如果要用一個定理涵蓋整個數學發展史，那麼肯定非“費馬大定理”莫屬，從1637年誕生，到1993年懷爾斯將它攻克，整整用了356年的時間，而在這其中，無數數學家前赴後繼，耗盡人類眾多最傑出大腦的精力，就連歐拉、高斯都未能將他全部攻克。

對於費馬大定理的證明工作可以說就是一部活生生的數學發展史。直到1993年懷爾斯成功攻克了費馬大定理，而這也被譽為““20世紀最輝煌的數學成就”。

今天我們就來聊聊懷爾斯證明費馬大定理的前世今生。

喜歡惡作劇的費馬，提出了費馬大定理，卻將證明過程省略

費馬是一位業餘數學家，他的本職工作其實是一位律師，他的愛好是數學，由此費馬也被稱為“業餘數學家之王”。《業餘大數學家的數學》這本書卻不願意把他的名字列上去，因為如果費馬都算“業餘數學家”了，那其他專業數學家怎麼活？

為什麼這樣說，因為費馬在數學領域的成就太多，無論是數論還是幾何，費馬都有突出的貢獻，費馬獨立於勒奈·笛卡爾發現瞭解析幾何的基本原理。他還建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻。他還在概率論方面有貢獻！

而在數論方面，費馬非常喜歡古希臘數學家丟番圖所著的《算術》，這本書也跟隨了費馬一生，他非常喜歡在律師工作之餘求證丟番圖的《算數》這本書。

他在這本書上簡單、潦草地記下了48個評註。費馬認為這些評註都是一個個數學定理，但他對此要麼根本沒有解釋，要麼僅僅給出一點點證明提示。

這其實是費馬的惡趣味，他很喜歡與一些知名數學家通信，在信中他敘述自己的最新定理，卻不提供證明。這種明顯的挑釁叫他人無法忍受，有人叫他“那個該詛咒的法國佬”。

費馬手稿

除此之外，他並不喜歡自己的數學成果被髮表，費馬曾與著名數學家帕斯卡探討了概率論。當帕斯卡催促費馬發表他的某個成果時，費馬說“不管我的哪個工作被確定值得發表，我不想其中出現我的名字”。

當他在閱讀數學書籍的過程中，他習慣把隨想的一些思路寫在旁邊空白的地方。雖然他的手稿並沒有公佈出去。但他還是對於證明思路諱莫如深。他往往只會寫出推導得到的定理，而不會保留證明過程。

有趣的是，他還在手稿中非常理直氣壯地給出理由，為什麼沒有給出證明過程。比如“我可以證明這個結論，但現在我必須去喂貓了”或者是“我可以證明這一點，但我要去洗頭了”。

這種這作死邊緣試探的惡趣味讓幾百年以來的數學家，對他又愛又恨。

所以當費馬去世以後，他的兒子Samuel出版了一本新版《算術》，裡面囊括了他老爹在頁邊空白處所做的所有筆記。因為都沒有證明只有結果，所以留下了一個個極為誘人的挑戰，無數數學家只能前赴後繼去求證費馬潦草筆記的正確性。

實際上，在後人證明這些評註之前，它們應該叫猜想而非定理。但是隨著時間流逝，費馬猜想一個個被證明，除了“費馬大定理”，因此它也常被稱為“費馬最後定理”。

我們應該都非常數學畢達哥拉斯定理，也就是也叫勾股定理，它有幾十種證明方法。丟番圖的《數論》中就有對畢達哥拉斯定理的記錄，所以費馬對此進行了深入的研究，我們一起來複習一下：勾股定理指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。

在這個定理上，費馬提出了3個問題：

第一個就是形如4n+1的素數能夠而且只能夠以一種方式表達為兩個平方數之和。1證明這種素質對每一個質數都成立非常困難，大數學家歐拉經過7年的努力，幾乎是在費馬去世後的整整一個世紀後才成功證明。

第二個就是每一個正整數能夠表成四個整數的平方和，這其實是數學家丟番圖在其中提出的“是否每一個正整數都是四個平方數之和”，費馬認為是正確的，但是沒有給出證明。

第三個就是我們非常熟知的費馬大定理了。費馬提出如果將畢達哥拉斯方程X2+Y2=Z2中X、Y、Z的2次冪升級到3次冪會怎樣？（我們在數學書裡面一般是這樣講的：在一個邊長為a、b、c的直角三角形中，a²+b²=c²）

他發現方程將沒有整數解。他試著將其變為4次冪、5次冪……結果都沒有整數解。所以費馬直接給出了結論：

費馬大定理：當n>2時，這個等式不存在整數解

費馬依然沒有給出證明過程，但是給出了一個讓人恨的牙癢癢的理由：“我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這裡空白太小，寫不下。”

自此，費馬大定理成為了無數數學家的噩夢，困擾了人類300多年。這就相對於費馬埋了一大堆的財富，只告訴大家有這麼一個地方，卻沒有給大家藏寶圖。

如何找到通往寶藏的路，是所有數學家幾百年來不懈奮鬥努力的目標。

300多年的前赴後繼，人們對費馬大定理的證明在不斷推進

大家一開始對費馬大定理一籌莫展，既然沒有辦法證明，那就證明利用反證法來證明其是錯誤的，這樣不就推翻了費馬大定理嗎？

所以從N=3開始，此後兩百多年的數學史中，就是後人在數字的海洋裡不斷求證的過程。比如我們大數學家，堪稱“數學之王”的歐拉在1770年的時候，隔了一個多世紀，他證明了n=3時定理成立。但是他也沒有能夠證明費馬大定理。

大家不用以為這個證明很簡單，把N=3代入進去就可以，x、y、z都是未知數，要證明起來可以說是非常複雜的。

1825年，另外一位大數學家“數學王子”高斯和女數學家熱爾曼同時獨立證明了費馬大定理5次冪。

直到1955年，人們已經證明了4002以下的數都滿足費曼大定理。而到了1985年，通過計算機已經可以證明4100萬以下的數。

所以其實在19世紀的時候，大家就發現了通過反證法來證明似乎是無用功。所以在熱爾曼證明了5次冪的時候。

她認為不應該在無盡的數字中苦苦摸索，浪費時間，這樣做並沒有任何意義。她認為，要解決費馬大定理還得有一個概括性的方法論，從中將所有的情況實現證明。

熱爾曼的想法為費馬大定理的證明開闢了新的道路。也讓發過科學院為之振奮，他們甚至認為一定是法國數學家會證明費馬大定理，所以特意撥款設計了獎金，獎勵證明路費馬大定理的人。

這裡有一個非常有趣的事情，數學愛好者、德國人沃爾夫斯基凱爾是一位銀行家的兒子（簡單來說，就是富二代），他年輕時因失戀決定在午夜12:00自殺。但在臨自殺前讀到庫默爾論述柯西和拉梅證明費馬定理的錯誤讓他情不自禁地計算到天明，設定自殺時間過了，他也放不下問題的證明，後來他決定放棄自殺。1906年去世時他立下遺囑，以2007年為限，獎勵第一個證明費馬大定理的人10萬馬克（1997年值100萬英鎊，但實際只剩下3萬英鎊）。全世界都為此瘋狂，以至於負責這筆錢的哥廷根皇家科學協會不得不印刷大量的退稿卡片來應付來自各地的信件。

1850年前後，高斯的學生、德國數學家庫默爾看到唯一因子分解是否成立是歐拉、熱爾曼創立的企圖證明費馬大定理的方法關鍵，於是他創立了一種“理想數環”理論，據說這一思想也受其老師高斯啟發，學生庫默爾運用獨創的“理想素數”理論，一下子證明了100以內除37、59、67以外的所有奇數費馬大定理都成立，使證明問題取得了第一次重大突破。理想數理論價值極大，超出了費馬大定理本身。後來，理想數理論被推廣，不僅推動了代數數論的發展，還走出數論，深入到代數與函數論。

但是自此之後對於費馬大定理的證明卻陷入了停滯，直到1922年，英國數學家莫德爾提出一個著名猜想，人們叫做莫德爾猜想。

按其最初形式，這個猜想是說，任一不可約、有理係數的二元多項式，當它的“虧格”大於或等於2時，最多隻有有限個解．記這個多項式為f(x，y)，猜想便表示：最多存在有限對數偶xi，yi∈Q，使得f(xi，yi)=0。後來，人們把猜想擴充到定義在任意數域上的多項式，並且隨著抽象代數幾何的出現，又重新用代數曲線來敘述這個猜想了。

而費馬多項式的形式為：

它沒有奇點，所以其虧格為

所以只要當N大於等於4時，費馬多項式滿足猜想的條件。因此，如果莫德爾猜想成立，那麼費馬大定理中的方程 本質上最多有有限多個整數解。

1983年，德國數學家法爾廷斯證明了莫德爾猜想，從而翻開了費馬大定理研究的新篇章。

而真正對將費馬大定理攻克到最後一步的就是谷山―志村猜想。

1955年，谷山-志村猜想被提出，其實它一開始並不是為了證明費馬大定理，它主要建立了橢圓曲線(代數幾何的對象）和模形式（某種數論中用到的週期性全純函數）之間的重要聯繫。

谷山和志村提出了一個大膽而激進的想法：模形式是橢圓曲線的另一種形式。如果他們是對的，那麼至今所有有關模形式的研究成果都可以用橢圓曲線的語言表示出來，反過來也一樣。證明這個猜想將是統一數學不同分支的關鍵。

隨後1958年英國數學家Birch和Swinnerton--Dyer構造了橢圓曲線E的L（E，s）函數，他們對該函數在s=1處的零點與橢圓曲線E上的有理點關係給出了一個簡稱BSD猜想。結果這個猜想成為了世界七大數學難題，至今無人證明～

而到了80年代，德國數學家弗雷在德國小城奧伯沃爾法赫的一次數論研討會上宣稱：

弗雷

假如費馬大定理不成立，則由費馬方程可構造一個橢圓曲線，它不可被模形式化。

所以弗雷命題和谷村猜想相違背

所以這就得到了一個命題，假定“費馬大定理”不成立，即存在一組非零整數

使得

那麼用這組數構造出的形如

乘以

的橢圓曲線，不可能是模曲線，也就是說谷山---志村猜想將不成立。這被稱為“弗雷命題”。

也就是說如果費馬大定理成立的話，那麼就會是模曲線，谷山—志村猜想也將成立。

弗雷命題在數學史的意義非凡，顯然,費雷命題和谷山-志村猜想是相矛盾的，有谷山-志村猜想錯誤的情況下，上述橢圓曲線才會存在。如果能同時證明這兩個命題, 根據反證法就可以知道費馬大定理不成立這一假定是錯的, 從而就證明了費馬大定理。

也就是說一旦費雷命題得證，費馬大定理就與谷山---志村猜想等價。或者說得更直接些：谷山-志村猜想一旦成立，那麼費馬大定理必將成立。

而在1986年美國加州大學伯克利分的肯.裡貝特教授完成了弗雷命題的證明，並當即在這屆國際數學家大會內外傳開。世界數學界為之興奮。

自此，費馬大定理就與谷山---志村猜想等價。只要證明了谷山—志村猜想，那麼就可以證明費馬大定理。

懷爾斯用200頁證明摘取費馬大定理這顆明珠

1986年，英國數學家安德魯·懷爾斯聽到裡貝特證明弗雷命題後，感到攻克費馬大定理到了最後攻關階段，並且這剛好是他的研究領域，他開始放棄所有其它活動，躲在自己家的閣樓裡開始最後的攻堅階段。

整整7年的時間，在歷經無數次碰壁之後，在歷經常人無法想象的困難之後，1993年6月，英國劍橋大學舉行了一次註定載入史冊數學會議。

安德魯·懷爾斯做了一系列報告，標題晦澀難懂——“模形式、橢圓曲線、伽羅瓦表示”。他的論證過程冗長且技巧性很強，到第三次演講進行20分鐘後才進入尾聲。為了強調所得結果，他在最後打上了：

費馬大定理，是數學史上的著名猜想，由 17 世紀法國律師兼業餘數學家皮耶·德·費馬提出，但經過350年仍然沒有完備的證明。普林斯頓大學的教授懷爾斯躲在家中的閣樓裡，默默研究這個古老難題整整七年。現在，他要在會場公佈自己的證明。

這段話直接震撼了整個數學家，低調的懷爾斯一時之間名聲大噪，然而證明不是你說證明了就行了的啊，古往今來，多少數學家都說自己證明了，結果被紛紛打臉，其中還包括柯西、拉梅這樣的大數學家。

所以懷爾斯向世界頂級數學期刊Inventiones Mathematicae提交了長達200頁的證明。該期刊的編輯隨後將這份手稿分發給6位審稿人，這項工作沒有一個審稿人想接，因為這會讓這些審稿人非常痛苦，因為他們壓根無法進行推演，而且很多地方他們壓根無法理解，任何一個步驟有所錯漏，都將導致整個論證的傾覆。

他們每個人都仔細檢查了自己所負責部分的每個邏輯環節。而這其中有許多他們無法理解的論證，他們只能給懷爾斯發郵件，而懷爾斯會回覆澄清問題，將每一個微小步驟進行細緻地說明，這些編審就會在進行推導求證。

從六月份提交證明，一直到8月底，審核都沒有結束，而在這個時候，其中一位審稿人普林斯頓大學的數學家Nick KatzKatz和他的法國同事Luc Illusie在這個時候發現了問題，

懷爾斯對一個問題的解釋並不能說服這兩位審稿人，因為他們無論如何進行推導求證都感覺其中存在問題。在進一步研究後，懷爾斯明白Katz找到了論文數學邏輯框架中的一個缺陷。起初，簡單的修復看似可行。但當懷爾斯著手修復缺陷時，邏輯框架的碎片開始脫落。

這就好像一個拼好的樂高一樣，一旦一塊積木消失，那麼整個樂高將隨之崩塌。懷爾斯這個時候慌了。他無法忍受自己花費7年時間摘下的明珠拱手讓給他人。

到1993年12月，距劍橋演講已經過去了6個月， 懷爾斯還是沒有辦法找到這塊遺失的積木，他好不容易拼成的樂高在他身後正搖搖欲墜。

雖然只有論文的審稿人和他的密友知道證明存在缺陷。但是好事不出門，壞事傳千里，數學界遲遲沒有等來懷爾斯的完整證明，關於懷爾斯根本沒有證明費馬大定理的流言開始傳開。

數學家們要求他公開論文原稿。如果存在錯誤，同行們寄希望於某個人能魔術般地看清並修復這些缺陷。但懷爾斯可不這樣想，憑什麼自己好不容易取下的明珠要拱手讓給他人。

他又重回閣樓，開始新一輪的征戰，甚至懷爾斯非官方新聞聯絡人也無法聯繫到他。而這個時候，質疑的聲浪越來越強，很多看戲吃瓜的人都在等著看懷爾斯的笑話。

而這個修復的工程實在太過於龐大，懷爾斯的朋友認為是他的固定思維限制住了他，建議他找一個合作者，看看是否有什麼遺漏的地方，懷爾斯聽從了建議，他邀請了他以前的學生著名數論學家理查德.泰勒。起初，他們嘗試了理查德.泰勒所說的“局部化處理”：對懷爾斯不完備證明中使用的方法進行小的改良，從而修正錯誤。

泰勒

但這卻於事無補。懷爾斯這個時候明白小修小補可能性已經不大，說不定還需要推倒重建。

就這樣過了整整一年，到1994年9月19日，他們的努力仍然沒有任何進展。在準備向世界承認失敗的前一刻，懷爾斯決定“最後一次檢查”最初的方法結構，試圖確切地找出它不能奏效的原因。而這個時候，懷爾斯靈光乍現，在自己當初初證費馬大定理時，曾經考慮過當初他自己證明的巖澤理論，巖澤理論是數論中理想類群的伽羅瓦模理論，懷爾斯證明了其中的主猜想，但是三年前懷爾斯放棄了這個理論，轉而探尋其他的方法。但是現在卻發現巖澤理論與科利瓦金-弗萊契方法可以修補其證明中的缺陷，並且讓整個論證變得更加簡潔優雅。

憑藉著這一理論，懷爾斯和理查德.泰勒很快就在幾個星期內修復了論文中的漏洞。1995年5月，他們在國際頂尖期刊《數學年刊》上發佈了集合所有工作的兩篇論文。最終的證明和附帶的討論長達130頁。

懷爾斯證明過程第一頁，看得懂的可以看一下

這長達100多頁的證明與費馬留在頁邊的那段話格格不入。當時很多著名數學家在內的人認為，一定有簡潔巧妙的證明費馬大定理的方法。從這個意義上說，費馬可能壓根就沒有證明過這個定理。

而且為了證明費馬大定理，懷爾斯使用了最新的數學工具和思想，它們的誕生遠遠晚於費馬的時代。

而到了1999年，Breuil、Conrad、Diamond和Taylor完善了懷爾斯的整個證明過程。

在懷爾斯證明之前，沃爾夫凱勒委員會收到了數千個不正確的證明，所有紙張疊加達到約10英尺（3米）的高度。僅在第一年（1907-1908），就有621份證明被提交了，用數學歷史學家霍華德·伊夫斯的話來說，“費馬大定理在數學裡有一個特殊的現象，即在於它是錯誤證明數量最多的數學題。”

大器晚成的懷爾斯

雖然懷爾斯證明的時候已經過了40歲，但是他還是獲得了菲爾茲榮譽獎，他還和羅伯特兩人共同獲得了沃爾夫獎，2016年更是獲得了阿貝爾獎，實現了大滿貫。

2016年榮獲阿貝爾獎

除了證明了費馬大定理，懷爾斯的成就還包括和科茨共同證明了橢圓曲線中最重要的猜想──伯奇─斯溫耐頓─代爾猜想的特殊情形（即對於具有複數乘法的橢圓曲線）；和馬祖爾一起證明了巖澤理論中的主猜想等。

希爾伯特曾說費馬大定理是一隻“會下金蛋的鵝”。

因為它，擴展了“無窮遞降法”和虛數的應用；催生出庫默爾的“理想數論”；促成了莫德爾猜想、谷山--志村猜想得證；拓展了群論的應用；加深了橢圓方程的研究；找到了微分幾何在數論上的生長點；發現了伊利瓦金—弗萊切方法與伊娃沙娃理論的結合點；推動了數學的整體發展和研究，……同時又催生出一批又一批重量級數學家。

著名數學家巴里梅休爾

所以說費馬大定理的證明史其實也是一步數學發展史。懷爾斯斬殺了這隻金鵝。然而數學永遠在發展，新的金鵝又會再次誕生！