翻譯小組成員介紹: Alex

Alex，英語愛好者，現工作於洛陽

文章: betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-sine-waves/

譯者: Alex校對: 向海飛

正弦波的直觀解釋 Intuitive Understanding of Sine Waves

正弦波(正弦曲線)曾使我迷惑不解。我可以一邊唸叨“正弦，餘弦，正切”，一邊畫著三角形，但它意義何在？

我一直誤認為正弦源於其他形狀。設想場景：

• 你：幾何講的是形狀、線條之類...
• Alien:哦？老師能舉一個線條的例子嗎？
• 你（左顧右盼）：嗯……看到那塊磚頭了嗎？線條就是磚頭的一條邊。
• Alien：所以，線條是形體的一部分。是嗎？
• 你：差不多可以這麼理解。大多數圖形中包含線條。但線條本身是一個基本概念。比如一束光，地圖上的一條路徑，甚至...
• Alien：磚頭包含線條，線條來自磚頭。磚頭、磚頭、磚頭。

數學課幾乎就是這個樣子。“圓包含正弦，正弦來自圓。圓，圓，圓。”

哎呀！不對！圓只不過是正弦的一個例子。一句話：正弦是一種自然擺動，象徵著平滑，它使得圓很“圓”，如同直線使得正方形很“方”。

讓我們正確看待正弦形狀本身以建立直覺，然後弄清楚這傢伙和圓形等的關係！開始啦！

正弦和線條 Sine vs Lines

概念和例子是有區別的：線條是一個基本的概念，而正方形只它的一個例子。同理，正弦也是一個基本概念，並非圓的一部分。是不是開始柳暗花明。

我們通過下面的程序觀察正弦。注意觀察：

• 首先請點擊開始鍵。好了，程序開始運行了！看到黃色小球正平穩地來回運動嗎？那就是正弦！它是一種自然的擺動，如同彈簧的彈跳，鐘擺的擺動，琴絃的振動...自然界中很多物體都可以做這種運動。
• 現在請將“垂直”選項設置為“線性”。是不是變化很大 - 運動變得固定和機械，如同一場乒乓球比賽？

通過我們能看得更清

• 線性運動是恆速的：以固定的速度運動，到邊界後立即轉身。機器人舞蹈就是這種不自然的線性運動
• 正弦運動是變速的：開始快，慢慢減速直至停止，然後又開始加速。液體波動就是這種迷人的平穩運動

遺憾的是，教科書並不用動畫或者舞蹈來闡述正弦波，更喜歡把正弦波畫在時間軸上（請將“水平”選項設置為“時間軸”）。

驚訝吧，這就是我們經常看到的正弦波示意圖。從這張圖裡你能找到正弦運動的感覺嗎？反正我是找不到。還是先觀察正弦運動，然後記錄它的運動軌跡吧。

繞不開的圓 The Unavoidable Circle

圓的確包含正弦，但是要從圓裡看出正弦來，其難度不亞於從煎蛋餅裡挑出雞蛋。全混在一塊兒啦！

不著急，慢慢來。我們回到上面的程序。重新設置為：

Vertical(垂直):none，

Horizontal(水平):sine*。

看黃色小球是不是開始水平擺動？那就是正弦運動。只不過我們做了些微調：正常情況下，正弦從中間點開始運動，迅速移動至最大點，然後返回中間點，周而復始。這次，黃色小球是從最大點開始，然後返回中間點。我們稱從最大點開始的正弦為餘弦。其實餘弦只是正弦的一個不同版本（如同水平線是垂直線的不同版本。大家都是直線，只是方向不同罷了）。

萬事俱備。是時候讓兩個正弦波同時動起來了：請將程序設置為：

vertical:sine，

horizontal:sine*...

見證奇蹟的時刻到了，我們居然得到了一個圓！

水平向和垂直向的正弦運動組合得到圓周運動，多神奇！但是教科書從不這麼解釋。它們總是先畫一個圓，然後試圖從中分解出正弦。但是相對於“分解”，我更喜歡“組合”：先畫水平正弦和垂直正弦，然後組合得到圓。

快速問答 Quick Q & A

我初學正弦時可沒有這些認識：

正弦是1維的

正弦波在1個維度擺動。現實中，我們常常把正弦波畫在時間軸上，而且正弦運動的物體有時確實是在向前移動的。這給我們造成了一個假象：正弦運動是2維的。但並非如此！在1個維度彈跳的彈簧做得就是完美的正弦運動。

1維正弦運動

來自Wikipedia, 不要被催眠了

兩個正弦波組合成圓

圓和正方形均是基本單元（正弦和線條）的組合。圓由1個水平向和1個垂直向的1維正弦波關聯組合而成。

但是圓並不是正弦波的源，同樣正方形也不是線條的源。它們僅僅是例子。

▌正弦值的意義是什麼？

正弦值位於-1和1之間。它開始於0，逐漸增大至1.0（最大值），然後減小至-1.0（最小值），最後返回到0。如果把正弦值看成一個百分數，那麼正弦運動就如同急行軍，從0開始加速到100%（全速前進）後來又從-100%（全線撤退）回到0。

▌正弦sin(x)的輸入x指的又是什麼？

雖然有些費解，但是也可以弄清楚。sin(x)是一個無限循環，而輸入x就是我們在這個循環裡的位置。

還是先看看直線吧：

• 假設，你沿著一個在正方形的邊行走，走完每條邊需要10秒鐘。
• 1秒後，你走完一條邊的10%
• 5秒後，你走完那條邊的50%
• 10秒後，你走完整條邊

線性運動就是這樣平淡無奇。現在看看正弦（注意“0到最大值”這個區間）：

▌正弦波的遞增區間

• 這次，我們沿著正弦波行走，從0（中間值）走到1.0（最大值）。此過程需時10秒。
• 5秒後，我們走完行程的70%！正弦運動在起始點的速度很快，然後慢慢減速。前5秒內就完成了大半行程。
• 剩下的5秒，我們將走完剩下的70%到100%這段行程。而且，最後98%到100%這段我們將整整走1秒鐘。

儘管初始速度很快，但是正弦運動就是這樣，它會溫柔地減速，直至停在最大值，然後華麗轉身。就是這份從容使得正弦波格外與眾不同。

快速問答：線性循環的10%和正弦循環的10%，哪一個距離原點更遠？答案是正弦。前面提到，正弦運動在原點的速度最快。當正弦運動完成循環的50%時，它的速度降低到線性運動的平均速度，之後正弦運動繼續減速，直至停在最大點，然後返回。所以，在開始階段正弦運動跑得比線性運動快。

可見，輸入x是指完成循環的量。那麼，循環又是什麼呢？

這和應用背景密切相關。

• 在基礎三角學中，'x'為角度，一個循環為360度。
• 在高階三角學中，'x'為弧度（弧度更自然），一個循環為單位圓一週（2pi）

問題又來了，循環依賴於圓！我們還能擺脫圓的糾纏嗎？(未完待續)