嘆為觀“紙”！高校數學老師帶摺紙進課堂，玩出這些新花樣

劉鐵現場折的紙花

一張不裁不剪的紙，在你手上能變成什麼？或許多數人的作品都侷限於飛機、輪船、千紙鶴……但西南大學數學與統計學院的劉鐵老師不同，她的摺紙作品大多很“數學”。五重四面體、柏拉圖多面體、謝爾賓斯基三角形……靜態的紙張在指尖變得鮮活，數學之美也盡情穿梭於紙間。

小小的紙片在劉鐵手中似乎煥發了新的生命。對摺、卷折、谷折，是謂摺紙之道；定義的深刻，邏輯的明晰，結果的精確，是謂數學之美。眼前的柏拉圖多面體色彩不一，小巧好看，它作為幾何模型，不僅在課堂上以教具的身份呈現，卻也是一件集摺紙之道與數學之美的藝術作品。

柏拉圖多面體的5種類型

摺紙邂逅數學之美

12月12日，上游新聞·重慶晚報慢新聞記者來到西南大學摺紙與數學思維實驗室，實驗室裡窗簾緊閉，不透一點光線。“房間裡面放了很多摺紙的作品，不能被太陽晒到，會褪色。”劉鐵帶來的12個花球是她的新作，顏色各異，頗為精緻。七彩色、黃+紅色、藍+粉色、綠+橙色…..這些花球多以雙色構成，色彩配搭無一雷同，看起來卻是高度的協調。每一個花球足夠在手上把玩，雖然個頭小，但費的功夫可不少。劉鐵介紹，將60張15釐米的正方形手工紙裁成8份，製作過程中不剪裁，不粘貼，做好一個花球的大概要1-2小時。

長角正多面體

其實，這種花球用規範的數學術語描述，叫做長角正多面體。它們是以柏拉圖多面體為基礎型，在其上長出正三稜錐的多面體。“長出的多面體樣式也可變化。”劉鐵說實驗室中的一個體積較大的黃綠長角多面體便可反覆翻折，其變化的樣子就像柏拉圖多面體開出了一朵朵花。“能動的模型會更受歡迎。”除去可玩性，美觀程度也成為摺紙作品的試金石。一張紙經摺疊和塑形，承載了劉鐵和學生們在創作作品時的想象、技巧和決心。8年前，摺紙與數學思維實室成立，劉鐵在那時才正式接觸到摺紙。“越深入學習摺紙，我才越明白它與數學的關係密不可分。”摺疊蘊含各種數學知識，塑形則激發對美的感悟，一個作品的完成意味著將想象力與技法歸納演繹至平衡。

夢幻曲面曲線

20個大紙箱堆滿了實驗室的一面牆，紙箱上清楚明晰地標好每一個作品的名字，個數。劉鐵把它們保管得妥當，就算拿出展覽，也會在收回時及時貼上膠帶封存。這些作品多數與數學相關：夢幻曲面曲線用各種形狀的多邊形變換角度距離得來，與直線來了一次美妙的交織，極富數學之美；五重四邊體由五個空心正四面體穿插，雖組拼原理複雜，但形似六芒星，觀之也格外精緻好看；柏拉圖多面體共有五種多面體結構，從正四面體到正二十面體，具有高度的對稱性和次序之妙。

空心五重四面體

實心五重四面體

寓教於樂 在摺紙中建立“數感”

數量眾多的作品當然不單單是劉鐵一個人完成。每週五下午，三十餘名西南大學數統學院的學生會按時打卡實驗室，聽劉鐵為他們講授最基礎的摺紙理論。“明年我還要開一門全校的通識選修課，課程名字就叫《摺紙與數學》”劉鐵說，摺紙從來不只是一門手工，它可用來討論數學問題，數學也同樣能討論摺紙的問題。

長角正多面體 鶴舞雲天

而摺紙遊戲，一直都是最受歡迎學生的討論方式。6塊形狀不一的多面體如何放進一個正方體盒子裡？在這個裝盒遊戲中，多面體均不規則，甚至有兩塊的長寬從肉眼看就比盒子大出一圈。“裝不下。”記者試過幾次後，發現遠沒有想象中簡單。劉鐵笑道，記者其實是在“試誤”，直白來說就是因為錯得太多，不斷嘗試錯誤最終才得以完成。正確的方法是通過數學思維進行分析組合哪兩塊立方體可以優先組合，“有時候，數學老師更多的不是告訴學生題該如何做，而是培養他們的數學思維，幫助其建立’數感’。”

空盒遊戲

值得一提的是，劉鐵將自己親手摺出的馬鞍面用在了自己的高數課堂上。“馬鞍面又叫雙曲拋物面，因形如馬鞍被命名。”劉鐵手中用綠色手工紙折成的馬鞍面正反可流暢翻折，作為一個典型直紋面，它整個曲面由直線構成。“如果學生沒有這個直觀的摺紙模型，很難理解是曲面上的直線問題。”劉鐵說，高數課上的馬鞍面把抽象的理解具象化了。

劉鐵演示她做的馬鞍圖

摺紙來證明那些你熟知的數學定理

只要涉及數學，劉鐵的表情便顯得審慎嚴肅。她坐在實驗室桌前，繼續向記者“發難”：如何對摺一張紙？記者不假思索地橫著摺疊了一次，形成長方形。“那萬一有人沿對角線摺疊，形成三角形呢？劉鐵解釋說，數學摺紙與一般摺紙有著根本的不同，即數學摺紙的描述應該是一種可重複的規範描述。意味著只要描述這種操作，所有人做出來的結果應相同。

計算機摺紙

“摺疊得到一條線，和歐式幾何中過兩點有且只有一條直線，講的是同一件事。”劉鐵講得很細緻，彷彿置身自己的課堂。正方形對摺便可以引入摺紙幾何學的三大公理，據此垂直平分線定理、角平分線定理、30°角定理，都能一一得到證明。

普通方程式捕捉不了數學的別樣奧妙，但是摺紙能。勾股定理作為幾何學中被大眾所熟知的一個定理,其證明的方法多種多樣。“一般的證明過程主要是藉助尺規作圖來完成，學生往往印象不深。”劉鐵認為，反而是利用正方形摺紙得到"摺紙勾股圖"可以讓學生在動手作操作的過程中感受和掌握勾股定理的古典證法。

長角彩色多面體

不一樣的老師和不一樣的學生

“我們首先將長方形的一條短邊，和一條長邊重合摺疊、壓實。”這句話記者已經記不清劉鐵在採訪時說過多少次。但在這個學校，她卻不厭其煩地說了整整一個學期。

這一步驟作為摺紙的慣例開場白，是起步，是基礎。普通學生就算不看劉鐵的手上動作，只需聽她描述便能自主完成。不過，在北碚區特殊教育學校的教室裡，光是“對摺”這個簡單的動作，有些特殊兒童要訓練一學期才能跟上進度。

北碚區特殊兒童教育學校的學生

參加志願者服務的劉鐵在這裡不叫劉老師，為了方便特殊兒童記憶，孩子們一般親切地喊她“鐵蛋”老師。劉鐵每一週都會帶來不同的課程內容，雖僅是改變摺紙的花樣，但這也足夠讓學生們雀躍。“七巧板摺疊是學的最多的，這種摺紙訓練能鍛鍊他們認識數學圖形，在提升訓練專注度的同時精確動作。”劉鐵回憶，在上完一學期的36節課時後，學生的手腦協調能力明顯提高，從最開始的線線不能對齊，點點不能重合，逐漸能夠準確甚至精確摺疊。

紙飛機展覽所展示的20種不同類型的紙飛機

“只有和學生們相處過，才更能理解他們的與眾不同，但這個過程需要長足的耐心。”讓劉鐵欣喜的是，摺紙中滲透的數學知識：如認識圖形、面積慢慢被學生們掌握，“從剛開始的模仿摺疊變為能夠根據我的語言描述，尋找要求重合的幾何要素進行摺疊，幾何思維提高得很明顯。”

孩子們的共同作品

劉鐵手上的一副“菠蘿圖”是10位特殊兒童的共同作品。黃色的三角形組成菠蘿的果肉，綠色的三角形是葉子，10個孩子每人折了一個三角形，最後組拼成了一幅畫送給她們喜愛的“鐵蛋”老師。“這個普通的三角形於這些孩子而言，都是一種挑戰。”劉鐵對這幅畫珍而視之，用塑封封好，並在畫旁註明瞭每一個孩子的名字。她說，她想記住因為教授摺紙而帶來的感動。

期待未來的摺紙藝術家

談到未來的計劃，劉鐵說她常常聽見這樣一句話：“摺紙起源於中國，發揚於日本”。這句話讓她覺得很是惋惜。劉鐵今年參加了在英國劍橋大學舉辦的第七屆世界性的摺紙大會，面對被問到摺紙明明起源於中國，中國卻沒有人做相關性的歷史考究的問題。劉鐵表示，正在做，但中國做摺紙的人太少了。“我作為老師，想培養更多喜歡摺紙的學生。”據瞭解，目前劉鐵已辦過多場以紙飛機模型為主題的展覽，以興趣為引導，吸引更多孩子關注摺紙。同時，劉鐵也希望讓摺紙不囿於手工藝術，而是往航天、教育、數學、科技應用方面發展。

上游新聞·重慶晚報慢新聞見習記者 周蕎/文 受訪者供圖