九年級《概率的進一步認識》培優講義
概率的進一步認識知識點
重點解讀：
瞭解確定事件與不確定事件，會用概率公式求簡單事件的概率，會用畫樹狀圖法或列表法計算
隨機事件發生的概率，是歷年中考的熱點內容。會用隨機事件發生的頻率估計概率，這也是中考經
常考查的內容。
知識點歸納：
一、感受可能性
1、生活中的隨機事件分為確定事件和不確定事件，確定事件又分為必然事件和不可能事件，
其中，必然事件：在一定條件下，有些事件事先能肯定它一定發生。
不可能事件：在一定條件下，有些事件事先能肯定它一定不會發生。
2、不確定事件：我們事先無法肯定它會不會發生的事件稱為不確定事件或隨機事件。
不確定事件發生的可能性是有大小的。
注：、① 必然事件發生的概率為 1，即 P(必然事件)=1；
② 不可能事件發生的概率為 0,即 P（不可能事件）=0；
③ 如果 A為不確定事件，那麼 0<P(A)<1
二、用樹狀圖或列表法求概率
1、頻率與概率的含義：在實驗中，每個對象出現的頻繁程度不同，每個對象出現的次數叫頻
數，而每個對象出現的次數與總次數的比值為頻率，即頻率=頻數／總次數。
把刻畫事件 A發生的可能性大小的數值，稱為事件 A發生的概率。
注：頻率是指在一次實驗中某個對象出現的次數與總次數的比，概率是通過大量重複實驗中頻
率的穩定性而得到的一個 0～1之間的常數，它反映了事件發生可能性的大小。
2、利用穩定的頻率估計某一事件發生的概率
在進行試驗時，當試驗的次數很大時，某個事件發生的頻率穩定在相應的概率附近，可以通過
多次試驗用一個事件發生的頻率來估計這一事件發生的概率。
注：可以用穩定的頻率估計某一事件發生的概率，但不能說頻率等於概率，其區別在於：頻率是通
過多次試驗得到的數據，而概率是理論上事件發生的可能性。試驗時應主要試驗的隨機性，要保證
足夠多的試驗次數，隨著試驗次數的增加，頻率的波動就會越小，即趨於相對穩定狀態，得到的概
率僅僅是估計值，而不是準確值。
3、用樹狀圖或列表法求概率
定義：當出現的結果的可能性相同時，將所有結果展示出來，符合條件的結果與所有結果的比
值即為這一事件的概率。
列表法求概率：用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
列表法的應用場合：當一次試驗要設計兩個因素，並且可能出現的結果數目較多時，為不重不
漏地列出所有可能的結果，通常採用列表法。一個因素作為行，另一個因素作為列，列出表格。
樹狀圖法求概率：就是通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖
法。
運用樹狀圖法求概率的條件：當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，
為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常採用樹狀圖法求概率。
注： a 利用樹狀圖或列表法可以清晰地表示出某個事件發生的所有可能出現的結果，能較方
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面的求出某些事件的概率。
b 當設及兩步試驗的隨即事件的概率時，可用列表法或樹狀圖法；當設及兩步以上試驗的隨
即事件的概率時，用樹狀圖法求概率。
c用樹狀圖法或列表法求概率時可能出現的結果為有限個；各種結果出現的可能性相同。
三、利用頻率估計概率
1、利用頻率估計概率
在同樣條件下，做大量的重複試驗，利用一個隨機事件發生的頻率逐漸穩定到某個常數，可以
估計這個事件發生的概率。
2、在統計學中，常用較為簡單的試驗方法代替實際操作中複雜的試驗來完成概率估計，這樣
的試驗稱為模擬實驗。必須設計出合乎題意的方案，常有摸球試驗和用計算器產生隨機數。模擬實
驗具有多樣性：同一試驗有各種各樣的替代物。模擬實驗的原則：替代試驗必須在同等條件在進行。
用試驗去估計隨機事件發生的概率時應儘可能多的增加試驗次數，當試驗次數很大時，結果較為準
確。摸球試驗中應記住每次摸出球后必須放回。不是所有試驗都能找到替代物。
3、隨機數
在隨機事件中，需要用大量重複試驗產生一串隨機的數據來開展統計工作。把這些隨機產生的
數據稱為隨機數。
4、在實驗中，每個對象出現的頻繁程度不同，每個對象出現的次數叫頻數，而每個對象出現
的次數與總次數的比值為頻率，即頻率=頻數／總次數
注：頻率是指在一次實驗中某個對象出現的次數與總次數的比，概率是通過大量重複實驗中頻率的
穩定性而得到的一個 0～1之間的常數，它反映了事件發生可能性的大小。
對於本章的學習應注意以下幾點：
1. 體會用事件發生的頻率來估計事件發生的概率的大小；
2. 用列表或數狀圖的方法求概率時要注意每一種可能出現結果的等可能性；
3. 對於通過實驗的方法估計一個事件發生的概率有難度時，通常也採用模擬實驗的方法來估
計該事件發生的概率，如學會用計算器產生隨機數來模擬實驗等
經典例題：（共 20 小題）1．（2018•陝西）如圖，可以自由轉動的轉盤被它的兩條直徑分成了四個分別標有數字的扇形區域，其中標有數
字"1"的扇形的圓心角為 120°．轉動轉盤，待轉盤自動停止後，指針指向一個扇形的內部，則該扇形內的數字即為轉出的數字，此時，稱為轉動轉盤一次（若指針指向兩個扇形的交線，則不計轉動的次數，重新轉
動轉盤，直到指針指向一個扇形的內部為止）．
（1）轉動轉盤一次，求轉出的數字是﹣2的概率；（2）轉動轉盤兩次，用樹狀圖或列表法求這兩次分別轉出的數字之積為正數的概率．
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2．（2017•陝西）端午節"賽龍舟，吃粽子"是中華民族的傳統習俗．節日期間，小邱家包了三種不同餡的粽子，分別是：紅棗粽子（記為 A），豆沙粽子（記為 B），肉粽子（記為 C），這些粽子除了餡不同，其餘均相同．粽子煮好後，小邱的媽媽給一個白盤中放入了兩個紅棗粽子，一個豆沙粽子和一個肉粽子；給一個花盤中放入
了兩個肉粽子，一個紅棗粽子和一個豆沙粽子．
根據以上情況，請你回答下列問題：
（1）假設小邱從白盤中隨機取一個粽子，恰好取到紅棗粽子的概率是多少？（2）若小邱先從白盤裡的四個粽子中隨機取一個粽子，再從花盤裡的四個粽子中隨機取一個粽子，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求小邱取到的兩個粽子中一個是紅棗粽子、一個是豆沙粽子的概率．
3．（2016•陝西）某超市為了答謝顧客，凡在本超市購物的顧客，均可憑購物小票參與抽獎活動，獎品是三種瓶裝飲料，它們分別是：綠茶（500ml）、紅茶（500ml）和可樂（600ml），抽獎規則如下：①如圖，是一個材質均勻可自由轉動的轉盤，轉盤被等分成五個扇形區域，每個區域上分別寫有"可"、"綠"、"樂"、"茶"、"紅"
字樣；②參與一次抽獎活動的顧客可進行兩次"有效隨機轉動"（當轉動轉盤，轉盤停止後，可獲得指針所指區域的字樣，我們稱這次轉動為一次"有效隨機轉動"）；③假設顧客轉動轉盤，轉盤停止後，指針指向兩區域的邊界，顧客可以再轉動轉盤，直到轉動為一次"有效隨機轉動"；④當顧客完成一次抽獎活動後，記下兩次指針所指區域的兩個字，只要這兩個字和獎品名稱的兩個字相同（與字的順序無關），便可獲得相應獎品一
瓶；不相同時，不能獲得任何獎品．
根據以上規則，回答下列問題：
（1）求一次"有效隨機轉動"可獲得"樂"字的概率；（2）有一名顧客憑本超市的購物小票，參與了一次抽獎活動，請你用列表或樹狀圖等方法，求該顧客經過兩次"有效隨機轉動"後，獲得一瓶可樂的概率．
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4．（2015•陝西）某中學要在全校學生中舉辦"中國夢•我的夢"主題演講比賽，要求每班選一名代表參賽．九年級（1）班經過投票初選，小亮和小麗票數並列班級第一，現在他們都想代表本班參賽．經班長與他們協商決定，用他們學過的擲骰子游戲來確定誰去參賽（勝者參賽）．
規則如下：兩人同時隨機各擲一枚完全相同且質地均勻的骰子一次，向上一面的點數都是奇數，則小亮勝；
向上一面的點數都是偶數，則小麗勝；否則，視為平局，若為平局，繼續上述遊戲，直至分出勝負為止．
如果小亮和小麗按上述規則各擲一次骰子，那麼請你解答下列問題：
（1）小亮擲得向上一面的點數為奇數的概率是多少？（2）該遊戲是否公平？請用列表或樹狀圖等方法說明理由．（骰子：六個面上分別刻有 1，2，3，4，5，6個小圓點的小正方體）
5．（2014•陝西）小英與她的父親、母親計劃外出旅遊，初步選擇了延安、西安、漢中、安康四個城市，由於時間倉促，他們只能去其中一個城市，到底去哪一個城市三個人意見不統一，在這種情況下，小英父親建議，
用小英學過的摸球遊戲來決定，規則如下：
①在一個不透明的袋子中裝一個紅球（延安）、一個白球（西安）、一個黃球（漢中）和一個黑球（安康），這四個球除顏色不同外，其餘完全相同；
②小英父親先將袋中球搖勻，讓小英從袋中隨機摸出一球，父親記錄下其顏色，並將這個球放回袋中搖勻，然後讓小英母親從袋中隨機摸出一球，父親記錄下它的顏色；
③若兩人所摸出球的顏色相同，則去該球所表示的城市旅遊，否則，前面的記錄作廢，按規則②重新摸球，直到兩人所摸出求的顏色相同為止．
按照上面的規則，請你解答下列問題：
（1）已知小英的理想旅遊城市是西安，小英和母親隨機各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？（2）已知小英母親的理想旅遊城市是漢中，小英和母親隨機各摸球一次，至少有一人摸出黃球的概率是多少？
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6．（2013•陝西）甲、乙兩人用手指玩遊戲，規則如下：①每次遊戲時，兩人同時隨機地各伸出一根手指；②兩人伸出的手指中，大拇指只勝食指、食指只勝中指、中指只勝無名指、無名指只勝小拇指、小拇指只勝大拇
指，否則不分勝負．依據上述規則，當甲、乙兩人同時隨機地各伸出一根手指時，
（1）求甲伸出小拇指取勝的概率；（2）求乙取勝的概率．
7．（2012•陝西）小峰和小軒用兩枚質地均勻的骰子做遊戲，規則如下：每人隨機擲兩枚骰子一次（若擲出的兩枚骰子摞在一起，則重擲），點數和大的獲勝；點數和相同為平局．
依據上述規則，解答下列問題：
（1）隨機擲兩枚骰子一次，用列表法求點數和為 2的概率；（2）小峰先隨機擲兩枚骰子一次，點數和為 7，求小軒隨機擲兩枚骰子一次，勝小峰的概率．（骰子：六個面分別刻有 1、2、3、4、5、6個小圓點的小立方塊，點數和：兩枚骰子朝上的點數之和）
8．（2011•陝西）七年級五班在課外活動時進行乒乓球練習，體育委員根據場地情況，將同學分成 3人一組，每組用一個球檯，甲乙丙三位同學用"手心，手背"遊戲（遊戲時，手心向上簡稱"手心"，手背向上簡稱"手
背"）來決定那兩個人首先打球，遊戲規則是：每人每次隨機伸出一隻手，出手心或者手背，若出現"兩同一
異"（即兩手心、一手背或者兩手背一手心）的情況，則出手心或手背的兩個人先打球，另一人裁判，否則繼
續進行，直到出現"兩同一異"為止．
（1）請你列出甲、乙、丙三位同學運用"手心、手背"遊戲，出手一次出現的所有等可能的情況（用 A 表示手心，B 表示手背）；（2）求甲、乙、丙三位同學運用"手心、手背"遊戲，出手一次出現"兩同一異"的概率．
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9．（2010•陝西）某班畢業聯歡會設計的即興表演節目的摸球遊戲，遊戲採用一個不透明的盒子，裡面裝有五個分別標有數字 1、2、3、4、5的乒乓球，這些球除數字外，其它完全相同，遊戲規則是參加聯歡會的 50名同學，每人將盒子乒乓球搖勻後閉上眼睛從中隨機一次摸出兩個球（每位同學必須且只能摸一次）．若兩球上的數字之
和是偶數就給大家即興表演一個節目；否則，下個同學接著做摸球遊戲，依次進行．
（1）用列表法或畫樹狀圖法求參加聯歡會同學表演即興節目的概率；（2）估計本次聯歡會上有多少個同學表演即興節目．
10．（2019•蘭州）2019年 5月，以"尋根國學，傳承文明"為主題的蘭州市第三屆"國學少年強﹣﹣國學知識挑戰賽"總決賽拉開序幕．小明晉級了總決賽，比賽過程分兩個環節，參賽選手須在每個環節中各選一道題
目．
第一環節：寫字注音、成語故事、國學常識、成語接龍（分別用 A1，A2，A3，A4表示）；第二環節：成語聽寫、詩詞對句、經典誦讀（分別用 B1，B2，B3表示）．（1）請用樹狀圖或列表的方法表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能結果；（2）求小明參加總決賽抽取題目是成語題目（成語故事、成語接龍、成語聽寫）的概率．
11．（2019•蘇州）在一個不透明的盒子中裝有 4張卡片，4張卡片的正面分別標有數字 1，2，3，4，這些卡片除數字外都相同，將卡片攪勻．
（1）從盒子中任意抽取一張卡片，恰好抽到標有奇數卡片的概率是 ；（2）先從盒了中任意抽取一張卡片，再從餘下的 3張卡片中任意抽取一張卡片，求抽取的 2張卡片標有數字之和大於 4的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法求解）．
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12．（2019•十堰模擬）某次考試共有兩道選擇題，每題有 A，B，C，D 四個選項，其中第一題正確答案選 B，第二題正確答案選 C，小李同學兩題都不會做，就隨機各選了一個答案，（1）小李同學第一題答對的概率是 ；（2）用畫樹狀圖或列表的方法求出小李至少答對一題的概率．
13．（2019•無錫）某商場舉辦抽獎活動，規則如下：在不透明的袋子中有 2個紅球和 2個黑球，這些球除顏色外都相同，顧客每次摸出一個球，若摸到紅球，則獲得 1份獎品，若摸到黑球，則沒有獎品．
（1）如果小芳只有一次摸球機會，那麼小芳獲得獎品的概率為 ；（2）如果小芳有兩次摸球機會（摸出後不放回），求小芳獲得 2份獎品的概率．（請用"畫樹狀圖"或"列表"等方法寫出分析過程）
14．（2019•江西）為紀念建國 70週年，某校舉行班級歌詠比賽，歌曲有：《我愛你，中國》，《歌唱祖國》，《我和我的祖國》（分別用字母 A，B，C 依次表示這三首歌曲）．比賽時，將 A，B，C 這三個字母分別寫在 3張無差別不透明的卡片正面上，洗勻後正面向下放在桌面上，八（1）班班長先從中隨機抽取一張卡片，放回後洗勻，再由八（2）班班長從中隨機抽取一張卡片，進行歌詠比賽．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖國》的概率是 ；（2）試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結果，並求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
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15．（2019•泰州）小明代表學校參加"我和我的祖國"主題宣傳教育活動．該活動分為兩個階段，第一階段有"歌曲演唱"、"書法展示"、"器樂獨奏"3個項目（依次用 A、B、C 表示），第二階段有"故事演講"、"詩歌朗誦"2個項目（依次用 D、E 表示），參加人員在每個階段各隨機抽取一個項目完成．用畫樹狀圖或列表的方法列出小明參加項目的所有等可能的結果，並求小明恰好抽中 B、D 兩個項目的概率．
16．（2019•鹽城）在一個不透明的布袋中，有 2個紅球，1個白球，這些球除顏色外都相同．（1）攪勻後從中任意摸出 1個球，摸到紅球的概率是 ．（2）攪勻後先從中任意摸出 1個球（不放回），再從餘下的球中任意摸出 1個球．求兩次都摸到紅球的概率．（用樹狀圖或表格列出所有等可能出現的結果）
17．（2019•南京）某校計劃在暑假第二週的星期一至星期四開展社會實踐活動，要求每位學生選擇兩天參加活動．（1）甲同學隨機選擇兩天，其中有一天是星期二的概率是多少？（2）乙同學隨機選擇連續的兩天，其中有一天是星期二的概率是 ．
18．（2019•隴南）2019年中國北京世界園藝博覽會（以下簡稱"世園會"）於 4月 29日至 10月 7日在北京延慶區舉行．世園會為滿足大家的遊覽需求，傾情打造了 4條各具特色的趣玩路線，分別是：A．"解密世園會"、B．"愛我家，愛園藝"、C．"園藝小清新之旅"和 D．"快速車覽之旅"．李欣和張帆都計劃暑假去世園會，他們各自在這 4條線路中任意選擇一條線路遊覽，每條線路被選擇的可能性相同．（1）李欣選擇線路 C．"園藝小清新之旅"的概率是多少？（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求李欣和張帆恰好選擇同一線路遊覽的概率．
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19．（2019•連雲港）現有 A、B、C 三個不透明的盒子，A 盒中裝有紅球、黃球、藍球各 1個，B 盒中裝有紅球、黃球各 1個，C 盒中裝有紅球、藍球各 1個，這些球除顏色外都相同．現分別從 A、B、C 三個盒子中任意摸出一個球．
（1）從 A 盒中摸出紅球的概率為 ；（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求摸出的三個球中至少有一個紅球的概率．
20．（2019•甘肅）在甲乙兩個不透明的口袋中，分別有大小、材質完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分別標有數字 1，2，3，4，乙口袋中的小球上分別標有數字 2，3，4，先從甲袋中任意摸出一個小球，記下數字為 m，再從乙袋中摸出一個小球，記下數字為 n．（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有（m，n）可能的結果；（2）若 m，n 都是方程 x2﹣5x+6＝0的解時，則小明獲勝；若 m，n 都不是方程 x2﹣5x+6＝0的解時，則小利獲勝，問他們兩人誰獲勝的概率大？
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