狹義相對論和廣義相對論如何關聯起來?

宇宙 歐幾里得 地球 探索 科學 原點閱讀 2018-11-30

廣義相對論和狹義相對論如何關聯起來?讀者可以想象曲面和平面有何關聯。

狹義相對論只是把時間和空間統一到了一起,但沒有考慮引力。因此,狹義相對論中的時空是平坦的,我們稱4維的平坦時空“閔可夫斯基空間”,類比於2維平面。

狹義相對論和廣義相對論如何關聯起來?

(閔可夫斯基空間的幾何表達。圖片來自網絡)

然而,真實的宇宙中引力處處存在,所以,廣義相對論描述的彎曲幾何才是真實世界的寫照,狹義相對論只是真實世界的一個小範圍內的局部近似。就像生活在地球上的人類,我們的世界本來是彎曲的球面,但是因為我們活動的範圍比地球尺寸小得多,我們可以局部地將地面看成是平面。換言之,一個人在地面上跑步,可以認為自己是在平面上運動,但如果他作環球旅行,他會認識到地球是彎曲的。

曲面有各種各樣,典型的三種曲面:平面、球面、雙曲面,代表了三種不同的幾何。雙曲面也叫馬鞍面,是我們常見的那種兩邊向不同方向彎曲的土豆片的形狀。這三種曲面有不同的幾何性質,分別稱之為歐幾里德幾何、黎曼幾何、羅巴切夫斯基幾何。

狹義相對論和廣義相對論如何關聯起來?

(馬鞍面。圖片來自網絡)

它們的區別最開始來自於對平行線公理的不同假設:過直線外的一個點可以作多少條平行線?平面幾何的假設是能夠作並且只能作一條;球面上一條平行線也不能作;雙曲面幾何則基於最少可以作兩條平行線的假設。由此而得到的三種幾何具有完全不同的性質,最被廣為人知的一點是:平面三角形的三個內角之和等於180°,而球面三角形的內角和大於180°,雙曲面上三角形的內角和則大於180°。

這三種不同的2維曲面都是常曲率曲面。平面的曲率處處為0;半徑為R的球面上,每一點的曲率都等於1/R;半徑為R的雙曲面上每一點的曲率則都等於-1/R。

狹義相對論和廣義相對論如何關聯起來?

(圖片來自網絡)

上文中所說的2維曲面的“曲率”,指的都是內在曲率,或稱之為內蘊曲率。我們可以舉幾個2維曲面的例子來簡單解釋內在曲率和外在曲率的區別。比如,考慮柱面和球面,它們在三維空間中看起來都是彎曲的,但柱面的彎曲只是一種外在的表現,我們可以將柱面剪開後平坦地鋪開成為一個平面,完全沒有皺褶,也不用拉伸。所以,柱面的彎曲性不是本質的,而是外在的。柱面在本質上和平面一樣,它的內蘊曲率等於0。而球面不一樣,你無法將一個半球形的帽子剪開平鋪在桌子上,球面在其內在本質上是一個彎曲的2維空間,內蘊曲率大於0。雙曲面也不可能被展開成平面,本質上也是彎曲的,不過,它的內蘊曲率為負數。

再舉圓錐面為例。將一張圓形的紙片沿兩條半徑剪去一個角,再將剪開的地方粘合在一起,便形成了一個錐面。從錐面形成的過程可知,除了頂點之外,它的內蘊幾何性質是和平面相同的。也就是說,錐面的內蘊曲率處處為0,頂點例外。頂點的曲率為無窮大。

狹義相對論和廣義相對論如何關聯起來?

(圖片來自網絡)

二維曲面的內蘊幾何是生活在曲面上的二維生物感受到的幾何。這意味著,這些扁平的生物完全不可能有三維空間的直觀體驗。如果它們是生活在一個球面上,那個球面就是它們的整個世界、整個宇宙。也許它們可以通過數學來建立高於2維空間的概念,就像我們想象4維或更高維的空間一樣。

球面生物無法跳到3維來觀測球面的形狀,它們使用的一切東西都是2維的、扁平的,光線只在球面上傳播,因此,它們想辦法在球面上測量三角形的內角之和,發現大於180度,方知它們的世界是一個曲率為正的彎曲空間。我們人類也有類似的極限,不能跳到4維空間去觀察,也無法畫出3維空間如何嵌入4維中的直觀圖像。因此,我們只能用2維空間嵌入3維中的直觀圖像來類比。

狹義相對論和廣義相對論如何關聯起來?

(圖片來自網絡)

需要強調的是:雖然我們畫出了平面、球面、雙曲面嵌入到3維的圖像,但實際上這些形狀的的內蘊幾何性質是內在的,並不以嵌入的方式而改變。這正如一張平坦的紙,你可以把它捲成圓柱面,橢圓柱面,或是做成一個圓錐面,橢圓錐面。然後你在3維空間來觀察各種形狀的紙上每個點附近的幾何。你會發現,除了圓錐的頂點之外,其它點附近都仍然是平坦的歐幾里德幾何,並不以你捲成的不同形狀而改變內蘊曲率為0的本質。

再舉1維空間(線)的例子來加深你對“內蘊幾何”性質的理解。1維空間本質上只有一種幾何,即平直的歐氏幾何,也就是說,在3維空間中的一條線,無論怎樣彎來拐去,本質上都與直線沒有區別。曲線總是可以展開成直線,彎來拐去只是嵌入2維或3維空間的表觀現象,在上面爬來爬去的1維“螞蟻”感覺不出它的世界與直線有任何區別。有的書上將這個性質表達為:曲線沒有內蘊幾何。但實際上正確的說法應該是,曲線只有1種平直的幾何,而2維和3維流形除了平直歐氏幾何之外,還有彎曲的內蘊幾何。

狹義相對論和廣義相對論如何關聯起來?

(摘自《永恆的誘惑:宇宙之謎》,作者:張天蓉)

相關推薦

推薦中...