傅里葉變換是很多理工科同學本科階段會接觸的基本概念，但也是比較令人困惑的概念之一。

因為，傅里葉變換的定義非常唬人：

唬人是啥意思呢？

“唬”其實是多音字，不僅讀hu，還尼瑪能讀xia（也不知這是誰定的）：

唬（hu）的意思是“虛張聲勢、誇大事實”，也就是說，這事兒，本來很簡單，故意搞得很複雜。

這個公式，就在唬（hu）人。

三角級數

我在之前一篇文章“泰勒為何要展開”介紹了“泰勒級數”，“泰勒級數”是一種“冪級數”，就是把一個函數，“拆解成一堆”關於x的加減乘除運算：

後一個省略號一般寫成餘項，以便估算誤差。

現在，如果我們不是採用“x^n”這種“基本元素”，而是使用三角函數cos(nx)這種形式的“基本元素”，則，我們可以嘗試寫成如下形式（注意，此時e^x應限定週期並進行週期延拓，因為三角級數只能表示周期函數）：

問題來了，係數A1、A2...An是啥呢？

傅里葉說，我有祖傳配方，可算係數。

這就是“傅里葉級數”。

具體公式各大課本都有，在此不予討論。

傅里葉級數

根據上面的原理，我們可以將一些函數展開成“傅里葉級數”，比如，可以在一個週期內，將x^2展開：

x^2的傅里葉級數展開

注意，和泰勒展開類似，這裡也是“完美的等於“，不是“約等於”。

三角級數的優勢

三角函數sinx（或cosx）的微分依然是三角函數：

積分也依然是三角函數：

在信號分析時，這個特點會帶來很大的優勢。

因為，微分和積分運算，只改變了三角信號的“相位角”，而不改變其類型及幅值。

這樣，我們可以將信號“拆解”成一堆正弦信號，然後就可以只關心每個正弦波的“相位”變化，運算起來極其方便。

當然，這只是優勢之一。更多優勢，歡迎大家自學成才。

傅里葉變換

剛才提到的傅里葉級數拆解法，其實有一個前提，就是要求信號是週期的，或者，它在一個週期內是有限長度的，我們再進行週期延拓（複製粘貼到其它週期），這是由於三角級數這個“元素”本身得週期性造成的。

如果信號是無限長且“非週期”，那麼，我們就要用到傅里葉變換了。

實際上，傅里葉變換就是“頻率上極其緻密”的正弦波的疊加。

聽起來怎麼又他孃的如此抽象，我們回到剛才x^2的例子：

x^2的傅里葉級數展開

注意，cos1x和cox2x直到coxnx，在求和中有“貢獻”。

但是，你有沒有發現，cox1.1x或cox1.11x或cox2.22x等等正弦波，都沒有參與求和，對結果“沒有貢獻”。

當我們想用正弦波來表示非週期的函數時，就要付出代價：

這些正弦波不僅無窮多，而且，頻率n將不再是離散的整數，而是“連續”的實數，我們將它記作ω。

ω就是正弦波的頻率，它實質上就是cos(ωt + φ)這樣“一大堆”正弦波中的“ω”，此時，求和就演變成為積分。

jωt的由來

當我們表示成cos(ωt + φ)形式的積分時，運算比較複雜，於是，我們用歐拉公式轉換一下：

於是，積分號內就出現瞭如下的指數形式：

用指數形式進行計算，相位角可以直接在角標上進行加減，非常方便。

至此，就出現了令人困惑的，

傅里葉變換。

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