在高等數學教科書上，“泰勒公式”不僅看起來嚇人，而且來得非常突然，
泰勒公式
它好像是無緣無故突然從石頭縫裡蹦出來的一個概念，但真相完全不是這樣。
老闆的計算問題
假設我們出身在兩百年前，沒有電子計算器。
我們的老闆遇到一個工程問題，比如橋樑設計，要求我們計算Sin31.1°等於多少，而且要求結果精確到小數點後三位。
按照三角公式的定義，我們得用量角器畫圖，然後用直尺測量邊長，再計算直角邊a除以斜邊c。
這不僅麻煩，而且精度說不清，誰都不知道我們畫的直角到底有多直，這種計算方法根本無法定量評估結果的精度。
神奇拆解
現在，有了泰勒展開公式，我們可以直接將Sin x“拆解成一堆”關於x的加減乘除運算（x使用弧度）：
sinx的泰勒展開
注意，這裡不是約等於，是“完美的”等於，只不過，後面是無窮多項累加。
但是，我們也不需計算無窮多項，因為，後面的高次項對於結果的“貢獻”越來越小，因此，我們往往只需計算前若干項即可，比如前三項：
尾巴直接扔掉，雖然會造成誤差，但餘項都是比x^5高階的無窮小，因此可以得出：
使用前三項估算
而且，估算造成的誤差不會超過：
展開的優勢
經過這麼一番折騰，即使在沒有電子計算器的情況下，我們通過手算加減乘，也可以“控制”結果的精度。
老闆要求多高的精度，就可以有多高的精度，我們對著泰勒公式，在草稿紙上一直往後計算即可。
泰勒公式本質上是一種“冪級數”，它將複雜的運算，統一成為“代數加減乘除”運算。
因此，泰勒公式可以將運算本身“質的複雜度”，轉換為“量的複雜度”，並進行估算。
計算機中的應用
現代編程語言中，很多庫函數，就是通過泰勒展開實現計算的。
計算機可以算加減乘除，泰勒公式正好提供了“一堆”加減乘除。
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