前面介紹的傅里葉變換是在頻域內分析波的特性，但對於無限放大的信號，卻無法處理，所以必須對範圍推廣到複頻域，如果把傅里葉變換看做是二維空間的話，那麼拉普拉斯變換就是三維空間。
學過信號處理和高數的夥伴對這個公式並不陌生，看上去很乏味，其實背後的原理讓人著迷：
因為是推廣到複平面，首先我們來看含有複數的指數參數含義：
如下s是個複數，所以可以分解為實部和虛部，但對時間而言S始終是常量，
但對整體e^s而言，它的旋轉半徑是e^0.1t, 旋轉角度是1t ，所以圖像是半徑不斷增加的螺旋狀。
如果增加s虛部：
意味著同一時刻的旋轉角度增加，即杆子的速度加快
比較：2t相比上面的1t而言，同一時刻的旋轉角度增加，會旋轉的更快，螺距會變小
如果增加s的實部
意味著旋轉半徑會變大，如下e^0.2t時圖形
e^0.1t時圖形
但同一時刻的旋轉角度不變，所以螺距不變，僅是旋轉半徑增大。
如果實部為零，則旋轉半徑是常數1，圖形就是一個均勻的螺旋線。其實這就是傅里葉變換的特性
實部是3時，就是一個旋轉半徑為3的均勻螺旋線。
如圖兩個實部相等的函數疊加，空間圖形就是餘弦波，因為他們兩個起始角度相反，在空間上抵消，所以僅留下平面上的圖形，
如果改變實部和虛部，將兩個指數函數疊加：結合上述的分析和傅里葉級數就很容易理解：
多個指數函數疊加，因為起始角度相互抵消，所以就留下水平面上旋轉半徑不同的圖形。
如圖
通過這種方式將指數函數疊加在一起就可以創建任意的圖形，這是本篇的重要思想。
結合前面的傅立葉級數和傅里葉變換，我們可以看到復指數將波形拓展到空間的任意角落，這是傅立葉變換所沒有的，下一篇繼續討論由此得出的拉普拉斯變換公式原理。
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