音樂冷知識——十二平均律是怎麼來的?

音樂 畢達哥拉斯 數學 音樂共享頻道 2019-04-10

十二平均律,也叫十二等程律,是目前世界範圍內通用的把一個八度內十二個音全部分成半音音程的律制。這個現如今被普遍運用,看似很尋常的一個律制,其實卻有著一段非常崎嶇的身世。


音樂冷知識——十二平均律是怎麼來的?


兩千五百年前,古希臘數學家畢達哥拉斯發現了“八度”這樣一個很神奇的概念,即一個聲音在將其頻率提升至其二倍的時候,會產生一個另一個版本的該聲音,兩者幾乎完全協和。這個放在鋼琴上來講就是像小字組的c和小字一組的c1的關係了。

接著,這個痴迷於數學比例的男人又致力於尋找八度關係之外的音。於是,他又嘗試了3/2這個比例,然後便發現了一個新的音,碰巧這個音與原本的音也比較協和。這個音就是他發現的“純五度”音。這個新的發現加深了他對自己關於音律理論認識的自信,認為用簡單的整數比便可以求得最符合一般規律的音。


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很自然地,他又開始把這個“純五度”音再乘上3/2,得到了與基本音的頻率成9/4的一個音。但,9/4已經比二要大了,所以,他再把9/4除以二,得到了與基本音的頻率成9/8的一個音,即“大二度”音。依此類推,繼續運用3/2和二的比例,就可以得到一個八度內的十二個音。

但是,就在最後一次算到第十二個音的時候,尷尬的事情發生了。最後這一個音於基本音的倍數是531441/262144,很接近2,但是就是不是2,也就不是之前定下的那個高八度的音。按理說如果最後一個音的倍數如果是2的話,就可以證明畢達哥拉斯的理論是完美的了,但是卻出了這個岔子。別看這兩個數字很接近,實際演奏當中,這個音是聽起來不舒服不太協和的。這也導致後來的作曲家在寫作品的時候會刻意地避開某些涉及到這類音的和絃。


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過了很長一段時間,一些人開始覺得畢達哥拉斯這套理論不行,就自創了一套以他們所謂的“大三度”的5/4的比例為標準來制定的律制。但,很不幸的是,這個律制同樣也存在和畢達哥拉斯那個律制類似的問題,也存在不完美的比例。

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真正出現轉機是在後來人們的數學計算水平得到明顯提高的時候。既然要有一種能夠迴歸到2這個比例的律制,那麼用2除以1再開12次方不就行了?2開12次方,拿計算器可以算出來是1.0594630943593……

這個數字貌似古人不大可能算得出來,但就在我國的明朝,那個還沒有計算器的時代,卻有個叫朱載堉的大神硬生生地,用我國自主發明的算盤,把這個數字給算出來了。(壯哉我泱泱中華文明)


音樂冷知識——十二平均律是怎麼來的?


用這個數字之後,一個八度內的十二個相鄰音之間的頻率比例就都是這個數字了。雖然五音於基本音的頻率比例不再是特別協和的3/2,但在這個體系之下,十二個音裡除了八度音之外的所有音的頻率都發生了偏差。

大家都不準,在聽者聽起來就是準的了。就像你和你的老師同學早上去上課的時候,大家都無一例外地遲到了,那可能,這節課就不算有人遲到了。

音樂冷知識——十二平均律是怎麼來的?

由此,十二平均律才算是正式地誕生了。你現在用的絕大多數的樂器都是根據這個律制來調音的。


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說點題外話,自然界中好像真的沒有什麼東西是絕對完美的,音樂的不完美其實也只是其中的個例,像數學裡那個經常用到的無理數e之類的就不提了。但是,音樂確實跟數學有著千絲萬縷的聯繫。數學好的人很大程度上都會喜歡或者擅長音樂,比如說小提琴拉得很好的偉大科學家愛因斯坦;相對的呢,學音樂的人也會喜歡或擅長數學,比如……好吧我編不下去了……都散了吧……

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