'隱藏在電影和動畫中的分形藝術（一）：從分形幾何到《星際迷航》'
1978年，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特（Loren Carpenter）首次將分形的思想融入進了計算機技術，通過對最基本的幾何圖形三角形的不斷分形迭代，描繪出了山脈模型，這可以說是分形幾何學和計算機科學的初次相識。1982年，在電影《星際迷航2可汗之怒》（Star Trek 2 The Wrath of Khan）中，年輕的分形幾何學、年輕的計算機圖形學（Computer Graphics，即CG）和電影藝術這三者初次走到了一起。影片中出現過一個一分鐘左右的三維CG動畫片段，計算機分形繪景技術在這裡顯示出驚豔無比的視覺效果。
二十世紀九十年代，隨著計算機技術的飛速發展，電影中的CG技術日趨成熟，分形數字繪景技術也開始大量應用於3D動畫和電影特效製作，使得數字造景的真實度不斷提升。從《星球大戰前傳》（1999、2002、2005）三部曲中的星球地表、到《玩具總動員》（Toy Story，1995）中的樹叢林木、再到《愛麗絲夢遊仙境》（Alice in Wonderland，2010）中的夢幻森林，分形數字繪景逐漸成為模擬自然景物的主流特效手法。近些年，分形數字繪景技術更加成熟，《阿凡達》（Avatar，2009）中美麗的潘多拉星球、《冰雪奇緣》（Frozen,2013）中的爛漫雪花、《奇幻森林》（The Jungle Book,2016）中的叢林世界，其背後都隱藏著分形數字繪景技術的鬼斧神工。
1978年，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特（Loren Carpenter）首次將分形的思想融入進了計算機技術，通過對最基本的幾何圖形三角形的不斷分形迭代，描繪出了山脈模型，這可以說是分形幾何學和計算機科學的初次相識。1982年，在電影《星際迷航2可汗之怒》（Star Trek 2 The Wrath of Khan）中，年輕的分形幾何學、年輕的計算機圖形學（Computer Graphics，即CG）和電影藝術這三者初次走到了一起。影片中出現過一個一分鐘左右的三維CG動畫片段，計算機分形繪景技術在這裡顯示出驚豔無比的視覺效果。
二十世紀九十年代，隨著計算機技術的飛速發展，電影中的CG技術日趨成熟，分形數字繪景技術也開始大量應用於3D動畫和電影特效製作，使得數字造景的真實度不斷提升。從《星球大戰前傳》（1999、2002、2005）三部曲中的星球地表、到《玩具總動員》（Toy Story，1995）中的樹叢林木、再到《愛麗絲夢遊仙境》（Alice in Wonderland，2010）中的夢幻森林，分形數字繪景逐漸成為模擬自然景物的主流特效手法。近些年，分形數字繪景技術更加成熟，《阿凡達》（Avatar，2009）中美麗的潘多拉星球、《冰雪奇緣》（Frozen,2013）中的爛漫雪花、《奇幻森林》（The Jungle Book,2016）中的叢林世界，其背後都隱藏著分形數字繪景技術的鬼斧神工。
《冰雪奇緣》中各種炫美的場景，其背後是分形幾何學的運用
一、從模擬山脈到創造星球表面
在古典數學的影響下，人們習慣於認為幾何學的研究對象都具有完美光滑的形狀，而且都極度規則。在大自然中有許多我們早已司空見慣的事物，如山川、樹木、雲朵等，因其看上去外形粗糙雜亂，遲遲無法被人們很好地用圖形來描述。分形幾何學的出現，可以說撥開了自然界不規則的迷霧。大到雄偉山川，小到葉片紋理，自然界萬物的形狀，從其“自相似性”中，不難發現它們依然是幾何圖形，依然可以用數學語言來對其描述。人體的血管分佈、肺部的支氣管分佈都可以看做是分形幾何，甚至人體本身也可以看做是一個粗略的分形結構，手或腳上的五個指頭和人的頭和四肢這五個突出之間存在著自相似性。
1978年，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特（Loren Carpenter）首次將分形的思想融入進了計算機技術，通過對最基本的幾何圖形三角形的不斷分形迭代，描繪出了山脈模型，這可以說是分形幾何學和計算機科學的初次相識。1982年，在電影《星際迷航2可汗之怒》（Star Trek 2 The Wrath of Khan）中，年輕的分形幾何學、年輕的計算機圖形學（Computer Graphics，即CG）和電影藝術這三者初次走到了一起。影片中出現過一個一分鐘左右的三維CG動畫片段，計算機分形繪景技術在這裡顯示出驚豔無比的視覺效果。
二十世紀九十年代，隨著計算機技術的飛速發展，電影中的CG技術日趨成熟，分形數字繪景技術也開始大量應用於3D動畫和電影特效製作，使得數字造景的真實度不斷提升。從《星球大戰前傳》（1999、2002、2005）三部曲中的星球地表、到《玩具總動員》（Toy Story，1995）中的樹叢林木、再到《愛麗絲夢遊仙境》（Alice in Wonderland，2010）中的夢幻森林，分形數字繪景逐漸成為模擬自然景物的主流特效手法。近些年，分形數字繪景技術更加成熟，《阿凡達》（Avatar，2009）中美麗的潘多拉星球、《冰雪奇緣》（Frozen,2013）中的爛漫雪花、《奇幻森林》（The Jungle Book,2016）中的叢林世界，其背後都隱藏著分形數字繪景技術的鬼斧神工。
《冰雪奇緣》中各種炫美的場景，其背後是分形幾何學的運用
一、從模擬山脈到創造星球表面
在古典數學的影響下，人們習慣於認為幾何學的研究對象都具有完美光滑的形狀，而且都極度規則。在大自然中有許多我們早已司空見慣的事物，如山川、樹木、雲朵等，因其看上去外形粗糙雜亂，遲遲無法被人們很好地用圖形來描述。分形幾何學的出現，可以說撥開了自然界不規則的迷霧。大到雄偉山川，小到葉片紋理，自然界萬物的形狀，從其“自相似性”中，不難發現它們依然是幾何圖形，依然可以用數學語言來對其描述。人體的血管分佈、肺部的支氣管分佈都可以看做是分形幾何，甚至人體本身也可以看做是一個粗略的分形結構，手或腳上的五個指頭和人的頭和四肢這五個突出之間存在著自相似性。
葛飾北齋畫的《富嶽三十六景之神奈川衝浪裡》，常被用作分形幾何學的示圖
“分形”的主要思想是截取不規則圖形的一部分，當不斷放大或者不斷縮小時，它們看上去總是高度相似的——即“自相似性”。曼德博曾在一次演講中這樣解釋分形：“如果你切開一朵花椰菜，你看到的仍然是一樣的花椰菜，只是更小一點；如果不斷地切，你看到的還是一樣的花椰菜，只是更小一點……”幾何中的分形，由他的自創方程“f(z)=z²+c”來展現，方程涵蓋了所有可能的朱麗葉集（the Julia set），將數集中的點用計算機繪製出來，就可以看到分形的幾何標誌物——曼德博集（the Mandelbrot set）。分形幾何學雖然獨立於主流數學之外，在誕生之後卻迅速在地理、統計以及計算機等各界掀起熱潮。分形的思想對於描述自然景物極有助益，叢林樹木、雲海山川甚至月球表面，大自然中的種種曲折和坑窪都是不規則的維度，卻依舊可以用幾何學的方法來進行繪製。當不規則圖形可以用數學語言來描述時，原本困擾數學家多年的海岸線長度問題也就如同大廈高度那般可以精準測量。之前只能依靠規則圖形才能完成的設計，逐漸也可以變得更加多樣自由。分形幾何學開始幫助各行各業人士衝破藩籬，撥開籠罩在“不規則圖形”上的迷霧。
1978年，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特（Loren Carpenter）首次將分形的思想融入進了計算機技術，通過對最基本的幾何圖形三角形的不斷分形迭代，描繪出了山脈模型，這可以說是分形幾何學和計算機科學的初次相識。1982年，在電影《星際迷航2可汗之怒》（Star Trek 2 The Wrath of Khan）中，年輕的分形幾何學、年輕的計算機圖形學（Computer Graphics，即CG）和電影藝術這三者初次走到了一起。影片中出現過一個一分鐘左右的三維CG動畫片段，計算機分形繪景技術在這裡顯示出驚豔無比的視覺效果。
二十世紀九十年代，隨著計算機技術的飛速發展，電影中的CG技術日趨成熟，分形數字繪景技術也開始大量應用於3D動畫和電影特效製作，使得數字造景的真實度不斷提升。從《星球大戰前傳》（1999、2002、2005）三部曲中的星球地表、到《玩具總動員》（Toy Story，1995）中的樹叢林木、再到《愛麗絲夢遊仙境》（Alice in Wonderland，2010）中的夢幻森林，分形數字繪景逐漸成為模擬自然景物的主流特效手法。近些年，分形數字繪景技術更加成熟，《阿凡達》（Avatar，2009）中美麗的潘多拉星球、《冰雪奇緣》（Frozen,2013）中的爛漫雪花、《奇幻森林》（The Jungle Book,2016）中的叢林世界，其背後都隱藏著分形數字繪景技術的鬼斧神工。
《冰雪奇緣》中各種炫美的場景，其背後是分形幾何學的運用
一、從模擬山脈到創造星球表面
在古典數學的影響下，人們習慣於認為幾何學的研究對象都具有完美光滑的形狀，而且都極度規則。在大自然中有許多我們早已司空見慣的事物，如山川、樹木、雲朵等，因其看上去外形粗糙雜亂，遲遲無法被人們很好地用圖形來描述。分形幾何學的出現，可以說撥開了自然界不規則的迷霧。大到雄偉山川，小到葉片紋理，自然界萬物的形狀，從其“自相似性”中，不難發現它們依然是幾何圖形，依然可以用數學語言來對其描述。人體的血管分佈、肺部的支氣管分佈都可以看做是分形幾何，甚至人體本身也可以看做是一個粗略的分形結構，手或腳上的五個指頭和人的頭和四肢這五個突出之間存在著自相似性。
葛飾北齋畫的《富嶽三十六景之神奈川衝浪裡》，常被用作分形幾何學的示圖
“分形”的主要思想是截取不規則圖形的一部分，當不斷放大或者不斷縮小時，它們看上去總是高度相似的——即“自相似性”。曼德博曾在一次演講中這樣解釋分形：“如果你切開一朵花椰菜，你看到的仍然是一樣的花椰菜，只是更小一點；如果不斷地切，你看到的還是一樣的花椰菜，只是更小一點……”幾何中的分形，由他的自創方程“f(z)=z²+c”來展現，方程涵蓋了所有可能的朱麗葉集（the Julia set），將數集中的點用計算機繪製出來，就可以看到分形的幾何標誌物——曼德博集（the Mandelbrot set）。分形幾何學雖然獨立於主流數學之外，在誕生之後卻迅速在地理、統計以及計算機等各界掀起熱潮。分形的思想對於描述自然景物極有助益，叢林樹木、雲海山川甚至月球表面，大自然中的種種曲折和坑窪都是不規則的維度，卻依舊可以用幾何學的方法來進行繪製。當不規則圖形可以用數學語言來描述時，原本困擾數學家多年的海岸線長度問題也就如同大廈高度那般可以精準測量。之前只能依靠規則圖形才能完成的設計，逐漸也可以變得更加多樣自由。分形幾何學開始幫助各行各業人士衝破藩籬，撥開籠罩在“不規則圖形”上的迷霧。
1978年，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特（Loren Carpenter）首次將分形的思想融入進了計算機技術，通過對最基本的幾何圖形三角形的不斷分形迭代，描繪出了山脈模型，這可以說是分形幾何學和計算機科學的初次相識。1982年，在電影《星際迷航2可汗之怒》（Star Trek 2 The Wrath of Khan）中，年輕的分形幾何學、年輕的計算機圖形學（Computer Graphics，即CG）和電影藝術這三者初次走到了一起。影片中出現過一個一分鐘左右的三維CG動畫片段，計算機分形繪景技術在這裡顯示出驚豔無比的視覺效果。
二十世紀九十年代，隨著計算機技術的飛速發展，電影中的CG技術日趨成熟，分形數字繪景技術也開始大量應用於3D動畫和電影特效製作，使得數字造景的真實度不斷提升。從《星球大戰前傳》（1999、2002、2005）三部曲中的星球地表、到《玩具總動員》（Toy Story，1995）中的樹叢林木、再到《愛麗絲夢遊仙境》（Alice in Wonderland，2010）中的夢幻森林，分形數字繪景逐漸成為模擬自然景物的主流特效手法。近些年，分形數字繪景技術更加成熟，《阿凡達》（Avatar，2009）中美麗的潘多拉星球、《冰雪奇緣》（Frozen,2013）中的爛漫雪花、《奇幻森林》（The Jungle Book,2016）中的叢林世界，其背後都隱藏著分形數字繪景技術的鬼斧神工。
《冰雪奇緣》中各種炫美的場景，其背後是分形幾何學的運用
一、從模擬山脈到創造星球表面
在古典數學的影響下，人們習慣於認為幾何學的研究對象都具有完美光滑的形狀，而且都極度規則。在大自然中有許多我們早已司空見慣的事物，如山川、樹木、雲朵等，因其看上去外形粗糙雜亂，遲遲無法被人們很好地用圖形來描述。分形幾何學的出現，可以說撥開了自然界不規則的迷霧。大到雄偉山川，小到葉片紋理，自然界萬物的形狀，從其“自相似性”中，不難發現它們依然是幾何圖形，依然可以用數學語言來對其描述。人體的血管分佈、肺部的支氣管分佈都可以看做是分形幾何，甚至人體本身也可以看做是一個粗略的分形結構，手或腳上的五個指頭和人的頭和四肢這五個突出之間存在著自相似性。
葛飾北齋畫的《富嶽三十六景之神奈川衝浪裡》，常被用作分形幾何學的示圖
“分形”的主要思想是截取不規則圖形的一部分，當不斷放大或者不斷縮小時，它們看上去總是高度相似的——即“自相似性”。曼德博曾在一次演講中這樣解釋分形：“如果你切開一朵花椰菜，你看到的仍然是一樣的花椰菜，只是更小一點；如果不斷地切，你看到的還是一樣的花椰菜，只是更小一點……”幾何中的分形，由他的自創方程“f(z)=z²+c”來展現，方程涵蓋了所有可能的朱麗葉集（the Julia set），將數集中的點用計算機繪製出來，就可以看到分形的幾何標誌物——曼德博集（the Mandelbrot set）。分形幾何學雖然獨立於主流數學之外，在誕生之後卻迅速在地理、統計以及計算機等各界掀起熱潮。分形的思想對於描述自然景物極有助益，叢林樹木、雲海山川甚至月球表面，大自然中的種種曲折和坑窪都是不規則的維度，卻依舊可以用幾何學的方法來進行繪製。當不規則圖形可以用數學語言來描述時，原本困擾數學家多年的海岸線長度問題也就如同大廈高度那般可以精準測量。之前只能依靠規則圖形才能完成的設計，逐漸也可以變得更加多樣自由。分形幾何學開始幫助各行各業人士衝破藩籬，撥開籠罩在“不規則圖形”上的迷霧。
曼德博集（the Mandelbrot set）
二十世紀七十年代，計算機數字圖形技術開始起步並迅速發展。1978年，在西雅圖的波音飛機公司，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特遇到一個難題。他需要在計算機上編程繪圖來模擬飛機飛行的狀態，在飛行中，飛機需要穿越于山脈上空。然而編程繪製山脈在當時是無法用計算機解決的。山脈有數以萬計的小三角形或者多邊形。當時的計算機處理數據極慢，即便處理100個三角形也是件麻煩事。這時，卡彭特偶遇了《分形學：形態，概率和維度》（Fractals: Form, Chance and Dimension）這本書，書中的分形思想讓他大開眼界。他創造出了分形繪製山脈的算法：首先繪製出幾個粗略的大三角形，然後把每個大三角形分成四個小三角形，再對每個小三角形重複分裂操作，不斷迭代重複，最終，山脈粗糙的表面就成功的在計算機上顯示出來了。這可以說是一次偉大的嘗試，它讓分形首次進入數字繪景領域，也讓其他計算機繪圖專家們興奮不已。從此，計算機繪圖不再侷限於標準而規則的幾何圖形，各種參差不齊、變幻莫測的圖形圖案，都可以用計算機分形算法來呈現。這些數字化的山脈對於日後電影特效領域的自然造景有著非比尋常的意義，也可以說是日後分形數字繪景技術的雛形。卡彭特不久後加盟了盧卡斯影業公司，計算機分形繪圖技術也隨著他向電影業靠近。從此以後，分形繪景技術將在電影特效領域裡大顯身手。
1978年，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特（Loren Carpenter）首次將分形的思想融入進了計算機技術，通過對最基本的幾何圖形三角形的不斷分形迭代，描繪出了山脈模型，這可以說是分形幾何學和計算機科學的初次相識。1982年，在電影《星際迷航2可汗之怒》（Star Trek 2 The Wrath of Khan）中，年輕的分形幾何學、年輕的計算機圖形學（Computer Graphics，即CG）和電影藝術這三者初次走到了一起。影片中出現過一個一分鐘左右的三維CG動畫片段，計算機分形繪景技術在這裡顯示出驚豔無比的視覺效果。
二十世紀九十年代，隨著計算機技術的飛速發展，電影中的CG技術日趨成熟，分形數字繪景技術也開始大量應用於3D動畫和電影特效製作，使得數字造景的真實度不斷提升。從《星球大戰前傳》（1999、2002、2005）三部曲中的星球地表、到《玩具總動員》（Toy Story，1995）中的樹叢林木、再到《愛麗絲夢遊仙境》（Alice in Wonderland，2010）中的夢幻森林，分形數字繪景逐漸成為模擬自然景物的主流特效手法。近些年，分形數字繪景技術更加成熟，《阿凡達》（Avatar，2009）中美麗的潘多拉星球、《冰雪奇緣》（Frozen,2013）中的爛漫雪花、《奇幻森林》（The Jungle Book,2016）中的叢林世界，其背後都隱藏著分形數字繪景技術的鬼斧神工。
《冰雪奇緣》中各種炫美的場景，其背後是分形幾何學的運用
一、從模擬山脈到創造星球表面
在古典數學的影響下，人們習慣於認為幾何學的研究對象都具有完美光滑的形狀，而且都極度規則。在大自然中有許多我們早已司空見慣的事物，如山川、樹木、雲朵等，因其看上去外形粗糙雜亂，遲遲無法被人們很好地用圖形來描述。分形幾何學的出現，可以說撥開了自然界不規則的迷霧。大到雄偉山川，小到葉片紋理，自然界萬物的形狀，從其“自相似性”中，不難發現它們依然是幾何圖形，依然可以用數學語言來對其描述。人體的血管分佈、肺部的支氣管分佈都可以看做是分形幾何，甚至人體本身也可以看做是一個粗略的分形結構，手或腳上的五個指頭和人的頭和四肢這五個突出之間存在著自相似性。
葛飾北齋畫的《富嶽三十六景之神奈川衝浪裡》，常被用作分形幾何學的示圖
“分形”的主要思想是截取不規則圖形的一部分，當不斷放大或者不斷縮小時，它們看上去總是高度相似的——即“自相似性”。曼德博曾在一次演講中這樣解釋分形：“如果你切開一朵花椰菜，你看到的仍然是一樣的花椰菜，只是更小一點；如果不斷地切，你看到的還是一樣的花椰菜，只是更小一點……”幾何中的分形，由他的自創方程“f(z)=z²+c”來展現，方程涵蓋了所有可能的朱麗葉集（the Julia set），將數集中的點用計算機繪製出來，就可以看到分形的幾何標誌物——曼德博集（the Mandelbrot set）。分形幾何學雖然獨立於主流數學之外，在誕生之後卻迅速在地理、統計以及計算機等各界掀起熱潮。分形的思想對於描述自然景物極有助益，叢林樹木、雲海山川甚至月球表面，大自然中的種種曲折和坑窪都是不規則的維度，卻依舊可以用幾何學的方法來進行繪製。當不規則圖形可以用數學語言來描述時，原本困擾數學家多年的海岸線長度問題也就如同大廈高度那般可以精準測量。之前只能依靠規則圖形才能完成的設計，逐漸也可以變得更加多樣自由。分形幾何學開始幫助各行各業人士衝破藩籬，撥開籠罩在“不規則圖形”上的迷霧。
曼德博集（the Mandelbrot set）
二十世紀七十年代，計算機數字圖形技術開始起步並迅速發展。1978年，在西雅圖的波音飛機公司，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特遇到一個難題。他需要在計算機上編程繪圖來模擬飛機飛行的狀態，在飛行中，飛機需要穿越于山脈上空。然而編程繪製山脈在當時是無法用計算機解決的。山脈有數以萬計的小三角形或者多邊形。當時的計算機處理數據極慢，即便處理100個三角形也是件麻煩事。這時，卡彭特偶遇了《分形學：形態，概率和維度》（Fractals: Form, Chance and Dimension）這本書，書中的分形思想讓他大開眼界。他創造出了分形繪製山脈的算法：首先繪製出幾個粗略的大三角形，然後把每個大三角形分成四個小三角形，再對每個小三角形重複分裂操作，不斷迭代重複，最終，山脈粗糙的表面就成功的在計算機上顯示出來了。這可以說是一次偉大的嘗試，它讓分形首次進入數字繪景領域，也讓其他計算機繪圖專家們興奮不已。從此，計算機繪圖不再侷限於標準而規則的幾何圖形，各種參差不齊、變幻莫測的圖形圖案，都可以用計算機分形算法來呈現。這些數字化的山脈對於日後電影特效領域的自然造景有著非比尋常的意義，也可以說是日後分形數字繪景技術的雛形。卡彭特不久後加盟了盧卡斯影業公司，計算機分形繪圖技術也隨著他向電影業靠近。從此以後，分形繪景技術將在電影特效領域裡大顯身手。
計算機模擬山脈分形步驟圖，截圖來自紀錄片《尋找隱藏的維度》（Hunting the Hidden D
卡彭特加入盧卡斯影業公司時，恰逢一個視覺特效組織剛剛誕生不久，這個組織就是大名鼎鼎的“工業光魔”（Industrial Light and Magic，簡稱ILM）。1977年上映的《星球大戰》開啟了計算機視覺特效的先河。幾年之後，分形繪景技術在這個CG草創時代也展露了小小的一角。1982年，在盧卡斯影業公司監製的影片《星際迷航2可汗之怒》中，劇情設定存在一個名為“創世”的科學儀器，可以把一個沒有生命的星球進行分子重組，讓它變成一個有生命的星球。為了演示這一效果，電腦中的月球被“創世波”攻擊，變成了一個有水有生命的綠色星球。進取號艦長柯克在飛船的電腦屏幕上看到了使用“創世”後月球表面的變化過程。卡彭特負責繪製飛船電腦屏幕上的整個月球地表。月球地表參差不齊並不規則，普通的幾何圖形無法描述，卻恰恰符合分形粗糙、瑣碎、不規則的特點。這一次的方法和之前繪製山脈的方法類似，通過在全景圖上繪製簡單的多邊形，讓計算機算法去迭代切割多邊形，最終創造出月球地表的粗糙質感。影片中的CG效果讓人眼前一亮，分形繪景技術在自然繪景方面向世人展現了其卓越的優勢。
1978年，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特（Loren Carpenter）首次將分形的思想融入進了計算機技術，通過對最基本的幾何圖形三角形的不斷分形迭代，描繪出了山脈模型，這可以說是分形幾何學和計算機科學的初次相識。1982年，在電影《星際迷航2可汗之怒》（Star Trek 2 The Wrath of Khan）中，年輕的分形幾何學、年輕的計算機圖形學（Computer Graphics，即CG）和電影藝術這三者初次走到了一起。影片中出現過一個一分鐘左右的三維CG動畫片段，計算機分形繪景技術在這裡顯示出驚豔無比的視覺效果。
二十世紀九十年代，隨著計算機技術的飛速發展，電影中的CG技術日趨成熟，分形數字繪景技術也開始大量應用於3D動畫和電影特效製作，使得數字造景的真實度不斷提升。從《星球大戰前傳》（1999、2002、2005）三部曲中的星球地表、到《玩具總動員》（Toy Story，1995）中的樹叢林木、再到《愛麗絲夢遊仙境》（Alice in Wonderland，2010）中的夢幻森林，分形數字繪景逐漸成為模擬自然景物的主流特效手法。近些年，分形數字繪景技術更加成熟，《阿凡達》（Avatar，2009）中美麗的潘多拉星球、《冰雪奇緣》（Frozen,2013）中的爛漫雪花、《奇幻森林》（The Jungle Book,2016）中的叢林世界，其背後都隱藏著分形數字繪景技術的鬼斧神工。
《冰雪奇緣》中各種炫美的場景，其背後是分形幾何學的運用
一、從模擬山脈到創造星球表面
在古典數學的影響下，人們習慣於認為幾何學的研究對象都具有完美光滑的形狀，而且都極度規則。在大自然中有許多我們早已司空見慣的事物，如山川、樹木、雲朵等，因其看上去外形粗糙雜亂，遲遲無法被人們很好地用圖形來描述。分形幾何學的出現，可以說撥開了自然界不規則的迷霧。大到雄偉山川，小到葉片紋理，自然界萬物的形狀，從其“自相似性”中，不難發現它們依然是幾何圖形，依然可以用數學語言來對其描述。人體的血管分佈、肺部的支氣管分佈都可以看做是分形幾何，甚至人體本身也可以看做是一個粗略的分形結構，手或腳上的五個指頭和人的頭和四肢這五個突出之間存在著自相似性。
葛飾北齋畫的《富嶽三十六景之神奈川衝浪裡》，常被用作分形幾何學的示圖
“分形”的主要思想是截取不規則圖形的一部分，當不斷放大或者不斷縮小時，它們看上去總是高度相似的——即“自相似性”。曼德博曾在一次演講中這樣解釋分形：“如果你切開一朵花椰菜，你看到的仍然是一樣的花椰菜，只是更小一點；如果不斷地切，你看到的還是一樣的花椰菜，只是更小一點……”幾何中的分形，由他的自創方程“f(z)=z²+c”來展現，方程涵蓋了所有可能的朱麗葉集（the Julia set），將數集中的點用計算機繪製出來，就可以看到分形的幾何標誌物——曼德博集（the Mandelbrot set）。分形幾何學雖然獨立於主流數學之外，在誕生之後卻迅速在地理、統計以及計算機等各界掀起熱潮。分形的思想對於描述自然景物極有助益，叢林樹木、雲海山川甚至月球表面，大自然中的種種曲折和坑窪都是不規則的維度，卻依舊可以用幾何學的方法來進行繪製。當不規則圖形可以用數學語言來描述時，原本困擾數學家多年的海岸線長度問題也就如同大廈高度那般可以精準測量。之前只能依靠規則圖形才能完成的設計，逐漸也可以變得更加多樣自由。分形幾何學開始幫助各行各業人士衝破藩籬，撥開籠罩在“不規則圖形”上的迷霧。
曼德博集（the Mandelbrot set）
二十世紀七十年代，計算機數字圖形技術開始起步並迅速發展。1978年，在西雅圖的波音飛機公司，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特遇到一個難題。他需要在計算機上編程繪圖來模擬飛機飛行的狀態，在飛行中，飛機需要穿越于山脈上空。然而編程繪製山脈在當時是無法用計算機解決的。山脈有數以萬計的小三角形或者多邊形。當時的計算機處理數據極慢，即便處理100個三角形也是件麻煩事。這時，卡彭特偶遇了《分形學：形態，概率和維度》（Fractals: Form, Chance and Dimension）這本書，書中的分形思想讓他大開眼界。他創造出了分形繪製山脈的算法：首先繪製出幾個粗略的大三角形，然後把每個大三角形分成四個小三角形，再對每個小三角形重複分裂操作，不斷迭代重複，最終，山脈粗糙的表面就成功的在計算機上顯示出來了。這可以說是一次偉大的嘗試，它讓分形首次進入數字繪景領域，也讓其他計算機繪圖專家們興奮不已。從此，計算機繪圖不再侷限於標準而規則的幾何圖形，各種參差不齊、變幻莫測的圖形圖案，都可以用計算機分形算法來呈現。這些數字化的山脈對於日後電影特效領域的自然造景有著非比尋常的意義，也可以說是日後分形數字繪景技術的雛形。卡彭特不久後加盟了盧卡斯影業公司，計算機分形繪圖技術也隨著他向電影業靠近。從此以後，分形繪景技術將在電影特效領域裡大顯身手。
計算機模擬山脈分形步驟圖，截圖來自紀錄片《尋找隱藏的維度》（Hunting the Hidden D
卡彭特加入盧卡斯影業公司時，恰逢一個視覺特效組織剛剛誕生不久，這個組織就是大名鼎鼎的“工業光魔”（Industrial Light and Magic，簡稱ILM）。1977年上映的《星球大戰》開啟了計算機視覺特效的先河。幾年之後，分形繪景技術在這個CG草創時代也展露了小小的一角。1982年，在盧卡斯影業公司監製的影片《星際迷航2可汗之怒》中，劇情設定存在一個名為“創世”的科學儀器，可以把一個沒有生命的星球進行分子重組，讓它變成一個有生命的星球。為了演示這一效果，電腦中的月球被“創世波”攻擊，變成了一個有水有生命的綠色星球。進取號艦長柯克在飛船的電腦屏幕上看到了使用“創世”後月球表面的變化過程。卡彭特負責繪製飛船電腦屏幕上的整個月球地表。月球地表參差不齊並不規則，普通的幾何圖形無法描述，卻恰恰符合分形粗糙、瑣碎、不規則的特點。這一次的方法和之前繪製山脈的方法類似，通過在全景圖上繪製簡單的多邊形，讓計算機算法去迭代切割多邊形，最終創造出月球地表的粗糙質感。影片中的CG效果讓人眼前一亮，分形繪景技術在自然繪景方面向世人展現了其卓越的優勢。
《星際迷航2可汗之怒》中，飛船電腦上顯示的是正在變得有生命的月球表面
令人遺憾的是，分形與電影這一次的相遇，並沒有在電影CG剛剛起步的八十年代引起更多關注。在計算機尚不普及和發達的八十年代，電影製作行業的手繪製圖一直是最主流的特效辦法，雖然這一辦法相當低效，哪怕一個很短的卡通片可能需要上千張繪圖才能連貫，而且還會牽扯到攝影機運動等諸多限制。另一方面，雖然分形數字繪景效率更高，但模擬出的畫面的真實度並不高。在《星際迷航2可汗之怒》中，製作人恰恰打了一個擦邊球，讓這段CG影像出現在飛船電腦上，利用了飛船顯示屏上的圖像呈現原本較為簡陋的特點，遮蓋了當時分形繪圖技術仿真程度不高的弊端。在當時若想追求更好的視覺特效，分形數字繪景並不是很好的選擇。電影製作人普遍選擇的是手工繪景的方式，用畫在玻璃上的圖像和實拍的素材結合在一起完成視覺特效的製作。雖然分形特效在自然繪景上有著不小的優勢，但身為載體的計算機在當時還沒有發展到足夠便捷的程度，難以避免地導致剛剛問世的計算機分形繪景技術的仿真程度根本無法達到“以假亂真”的地步，甚至略顯粗糙，也就自然很難撼動手工繪景在當時的主流地位。
曇花雖一現，卻也開出了自己的姿態。《星際迷航2可汗之怒》中月球地貌的問世給了分形和電影一個契機，雖然之後近二十年二者幾乎以平行狀態各自發展，但再相遇時已由最初的青澀變為強強聯手，為九十年代後的電影視效開啟了新的大門。
1978年，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特（Loren Carpenter）首次將分形的思想融入進了計算機技術，通過對最基本的幾何圖形三角形的不斷分形迭代，描繪出了山脈模型，這可以說是分形幾何學和計算機科學的初次相識。1982年，在電影《星際迷航2可汗之怒》（Star Trek 2 The Wrath of Khan）中，年輕的分形幾何學、年輕的計算機圖形學（Computer Graphics，即CG）和電影藝術這三者初次走到了一起。影片中出現過一個一分鐘左右的三維CG動畫片段，計算機分形繪景技術在這裡顯示出驚豔無比的視覺效果。
二十世紀九十年代，隨著計算機技術的飛速發展，電影中的CG技術日趨成熟，分形數字繪景技術也開始大量應用於3D動畫和電影特效製作，使得數字造景的真實度不斷提升。從《星球大戰前傳》（1999、2002、2005）三部曲中的星球地表、到《玩具總動員》（Toy Story，1995）中的樹叢林木、再到《愛麗絲夢遊仙境》（Alice in Wonderland，2010）中的夢幻森林，分形數字繪景逐漸成為模擬自然景物的主流特效手法。近些年，分形數字繪景技術更加成熟，《阿凡達》（Avatar，2009）中美麗的潘多拉星球、《冰雪奇緣》（Frozen,2013）中的爛漫雪花、《奇幻森林》（The Jungle Book,2016）中的叢林世界，其背後都隱藏著分形數字繪景技術的鬼斧神工。
《冰雪奇緣》中各種炫美的場景，其背後是分形幾何學的運用
一、從模擬山脈到創造星球表面
在古典數學的影響下，人們習慣於認為幾何學的研究對象都具有完美光滑的形狀，而且都極度規則。在大自然中有許多我們早已司空見慣的事物，如山川、樹木、雲朵等，因其看上去外形粗糙雜亂，遲遲無法被人們很好地用圖形來描述。分形幾何學的出現，可以說撥開了自然界不規則的迷霧。大到雄偉山川，小到葉片紋理，自然界萬物的形狀，從其“自相似性”中，不難發現它們依然是幾何圖形，依然可以用數學語言來對其描述。人體的血管分佈、肺部的支氣管分佈都可以看做是分形幾何，甚至人體本身也可以看做是一個粗略的分形結構，手或腳上的五個指頭和人的頭和四肢這五個突出之間存在著自相似性。
葛飾北齋畫的《富嶽三十六景之神奈川衝浪裡》，常被用作分形幾何學的示圖
“分形”的主要思想是截取不規則圖形的一部分，當不斷放大或者不斷縮小時，它們看上去總是高度相似的——即“自相似性”。曼德博曾在一次演講中這樣解釋分形：“如果你切開一朵花椰菜，你看到的仍然是一樣的花椰菜，只是更小一點；如果不斷地切，你看到的還是一樣的花椰菜，只是更小一點……”幾何中的分形，由他的自創方程“f(z)=z²+c”來展現，方程涵蓋了所有可能的朱麗葉集（the Julia set），將數集中的點用計算機繪製出來，就可以看到分形的幾何標誌物——曼德博集（the Mandelbrot set）。分形幾何學雖然獨立於主流數學之外，在誕生之後卻迅速在地理、統計以及計算機等各界掀起熱潮。分形的思想對於描述自然景物極有助益，叢林樹木、雲海山川甚至月球表面，大自然中的種種曲折和坑窪都是不規則的維度，卻依舊可以用幾何學的方法來進行繪製。當不規則圖形可以用數學語言來描述時，原本困擾數學家多年的海岸線長度問題也就如同大廈高度那般可以精準測量。之前只能依靠規則圖形才能完成的設計，逐漸也可以變得更加多樣自由。分形幾何學開始幫助各行各業人士衝破藩籬，撥開籠罩在“不規則圖形”上的迷霧。
曼德博集（the Mandelbrot set）
二十世紀七十年代，計算機數字圖形技術開始起步並迅速發展。1978年，在西雅圖的波音飛機公司，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特遇到一個難題。他需要在計算機上編程繪圖來模擬飛機飛行的狀態，在飛行中，飛機需要穿越于山脈上空。然而編程繪製山脈在當時是無法用計算機解決的。山脈有數以萬計的小三角形或者多邊形。當時的計算機處理數據極慢，即便處理100個三角形也是件麻煩事。這時，卡彭特偶遇了《分形學：形態，概率和維度》（Fractals: Form, Chance and Dimension）這本書，書中的分形思想讓他大開眼界。他創造出了分形繪製山脈的算法：首先繪製出幾個粗略的大三角形，然後把每個大三角形分成四個小三角形，再對每個小三角形重複分裂操作，不斷迭代重複，最終，山脈粗糙的表面就成功的在計算機上顯示出來了。這可以說是一次偉大的嘗試，它讓分形首次進入數字繪景領域，也讓其他計算機繪圖專家們興奮不已。從此，計算機繪圖不再侷限於標準而規則的幾何圖形，各種參差不齊、變幻莫測的圖形圖案，都可以用計算機分形算法來呈現。這些數字化的山脈對於日後電影特效領域的自然造景有著非比尋常的意義，也可以說是日後分形數字繪景技術的雛形。卡彭特不久後加盟了盧卡斯影業公司，計算機分形繪圖技術也隨著他向電影業靠近。從此以後，分形繪景技術將在電影特效領域裡大顯身手。
計算機模擬山脈分形步驟圖，截圖來自紀錄片《尋找隱藏的維度》（Hunting the Hidden D
卡彭特加入盧卡斯影業公司時，恰逢一個視覺特效組織剛剛誕生不久，這個組織就是大名鼎鼎的“工業光魔”（Industrial Light and Magic，簡稱ILM）。1977年上映的《星球大戰》開啟了計算機視覺特效的先河。幾年之後，分形繪景技術在這個CG草創時代也展露了小小的一角。1982年，在盧卡斯影業公司監製的影片《星際迷航2可汗之怒》中，劇情設定存在一個名為“創世”的科學儀器，可以把一個沒有生命的星球進行分子重組，讓它變成一個有生命的星球。為了演示這一效果，電腦中的月球被“創世波”攻擊，變成了一個有水有生命的綠色星球。進取號艦長柯克在飛船的電腦屏幕上看到了使用“創世”後月球表面的變化過程。卡彭特負責繪製飛船電腦屏幕上的整個月球地表。月球地表參差不齊並不規則，普通的幾何圖形無法描述，卻恰恰符合分形粗糙、瑣碎、不規則的特點。這一次的方法和之前繪製山脈的方法類似，通過在全景圖上繪製簡單的多邊形，讓計算機算法去迭代切割多邊形，最終創造出月球地表的粗糙質感。影片中的CG效果讓人眼前一亮，分形繪景技術在自然繪景方面向世人展現了其卓越的優勢。
《星際迷航2可汗之怒》中，飛船電腦上顯示的是正在變得有生命的月球表面
令人遺憾的是，分形與電影這一次的相遇，並沒有在電影CG剛剛起步的八十年代引起更多關注。在計算機尚不普及和發達的八十年代，電影製作行業的手繪製圖一直是最主流的特效辦法，雖然這一辦法相當低效，哪怕一個很短的卡通片可能需要上千張繪圖才能連貫，而且還會牽扯到攝影機運動等諸多限制。另一方面，雖然分形數字繪景效率更高，但模擬出的畫面的真實度並不高。在《星際迷航2可汗之怒》中，製作人恰恰打了一個擦邊球，讓這段CG影像出現在飛船電腦上，利用了飛船顯示屏上的圖像呈現原本較為簡陋的特點，遮蓋了當時分形繪圖技術仿真程度不高的弊端。在當時若想追求更好的視覺特效，分形數字繪景並不是很好的選擇。電影製作人普遍選擇的是手工繪景的方式，用畫在玻璃上的圖像和實拍的素材結合在一起完成視覺特效的製作。雖然分形特效在自然繪景上有著不小的優勢，但身為載體的計算機在當時還沒有發展到足夠便捷的程度，難以避免地導致剛剛問世的計算機分形繪景技術的仿真程度根本無法達到“以假亂真”的地步，甚至略顯粗糙，也就自然很難撼動手工繪景在當時的主流地位。
曇花雖一現，卻也開出了自己的姿態。《星際迷航2可汗之怒》中月球地貌的問世給了分形和電影一個契機，雖然之後近二十年二者幾乎以平行狀態各自發展，但再相遇時已由最初的青澀變為強強聯手，為九十年代後的電影視效開啟了新的大門。
電影製作人員在玻璃板上手工繪景
下回預告：
隱藏在電影和動畫中的分形藝術（二）：《泰坦尼克號》、《指環王》、《奇異博士》
隱藏在電影和動畫中的分形藝術（三）：《星球大戰》、《冰雪奇緣》
1978年，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特（Loren Carpenter）首次將分形的思想融入進了計算機技術，通過對最基本的幾何圖形三角形的不斷分形迭代，描繪出了山脈模型，這可以說是分形幾何學和計算機科學的初次相識。1982年，在電影《星際迷航2可汗之怒》（Star Trek 2 The Wrath of Khan）中，年輕的分形幾何學、年輕的計算機圖形學（Computer Graphics，即CG）和電影藝術這三者初次走到了一起。影片中出現過一個一分鐘左右的三維CG動畫片段，計算機分形繪景技術在這裡顯示出驚豔無比的視覺效果。
二十世紀九十年代，隨著計算機技術的飛速發展，電影中的CG技術日趨成熟，分形數字繪景技術也開始大量應用於3D動畫和電影特效製作，使得數字造景的真實度不斷提升。從《星球大戰前傳》（1999、2002、2005）三部曲中的星球地表、到《玩具總動員》（Toy Story，1995）中的樹叢林木、再到《愛麗絲夢遊仙境》（Alice in Wonderland，2010）中的夢幻森林，分形數字繪景逐漸成為模擬自然景物的主流特效手法。近些年，分形數字繪景技術更加成熟，《阿凡達》（Avatar，2009）中美麗的潘多拉星球、《冰雪奇緣》（Frozen,2013）中的爛漫雪花、《奇幻森林》（The Jungle Book,2016）中的叢林世界，其背後都隱藏著分形數字繪景技術的鬼斧神工。
《冰雪奇緣》中各種炫美的場景，其背後是分形幾何學的運用
一、從模擬山脈到創造星球表面
在古典數學的影響下，人們習慣於認為幾何學的研究對象都具有完美光滑的形狀，而且都極度規則。在大自然中有許多我們早已司空見慣的事物，如山川、樹木、雲朵等，因其看上去外形粗糙雜亂，遲遲無法被人們很好地用圖形來描述。分形幾何學的出現，可以說撥開了自然界不規則的迷霧。大到雄偉山川，小到葉片紋理，自然界萬物的形狀，從其“自相似性”中，不難發現它們依然是幾何圖形，依然可以用數學語言來對其描述。人體的血管分佈、肺部的支氣管分佈都可以看做是分形幾何，甚至人體本身也可以看做是一個粗略的分形結構，手或腳上的五個指頭和人的頭和四肢這五個突出之間存在著自相似性。
葛飾北齋畫的《富嶽三十六景之神奈川衝浪裡》，常被用作分形幾何學的示圖
“分形”的主要思想是截取不規則圖形的一部分，當不斷放大或者不斷縮小時，它們看上去總是高度相似的——即“自相似性”。曼德博曾在一次演講中這樣解釋分形：“如果你切開一朵花椰菜，你看到的仍然是一樣的花椰菜，只是更小一點；如果不斷地切，你看到的還是一樣的花椰菜，只是更小一點……”幾何中的分形，由他的自創方程“f(z)=z²+c”來展現，方程涵蓋了所有可能的朱麗葉集（the Julia set），將數集中的點用計算機繪製出來，就可以看到分形的幾何標誌物——曼德博集（the Mandelbrot set）。分形幾何學雖然獨立於主流數學之外，在誕生之後卻迅速在地理、統計以及計算機等各界掀起熱潮。分形的思想對於描述自然景物極有助益，叢林樹木、雲海山川甚至月球表面，大自然中的種種曲折和坑窪都是不規則的維度，卻依舊可以用幾何學的方法來進行繪製。當不規則圖形可以用數學語言來描述時，原本困擾數學家多年的海岸線長度問題也就如同大廈高度那般可以精準測量。之前只能依靠規則圖形才能完成的設計，逐漸也可以變得更加多樣自由。分形幾何學開始幫助各行各業人士衝破藩籬，撥開籠罩在“不規則圖形”上的迷霧。
曼德博集（the Mandelbrot set）
二十世紀七十年代，計算機數字圖形技術開始起步並迅速發展。1978年，在西雅圖的波音飛機公司，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特遇到一個難題。他需要在計算機上編程繪圖來模擬飛機飛行的狀態，在飛行中，飛機需要穿越于山脈上空。然而編程繪製山脈在當時是無法用計算機解決的。山脈有數以萬計的小三角形或者多邊形。當時的計算機處理數據極慢，即便處理100個三角形也是件麻煩事。這時，卡彭特偶遇了《分形學：形態，概率和維度》（Fractals: Form, Chance and Dimension）這本書，書中的分形思想讓他大開眼界。他創造出了分形繪製山脈的算法：首先繪製出幾個粗略的大三角形，然後把每個大三角形分成四個小三角形，再對每個小三角形重複分裂操作，不斷迭代重複，最終，山脈粗糙的表面就成功的在計算機上顯示出來了。這可以說是一次偉大的嘗試，它讓分形首次進入數字繪景領域，也讓其他計算機繪圖專家們興奮不已。從此，計算機繪圖不再侷限於標準而規則的幾何圖形，各種參差不齊、變幻莫測的圖形圖案，都可以用計算機分形算法來呈現。這些數字化的山脈對於日後電影特效領域的自然造景有著非比尋常的意義，也可以說是日後分形數字繪景技術的雛形。卡彭特不久後加盟了盧卡斯影業公司，計算機分形繪圖技術也隨著他向電影業靠近。從此以後，分形繪景技術將在電影特效領域裡大顯身手。
計算機模擬山脈分形步驟圖，截圖來自紀錄片《尋找隱藏的維度》（Hunting the Hidden D
卡彭特加入盧卡斯影業公司時，恰逢一個視覺特效組織剛剛誕生不久，這個組織就是大名鼎鼎的“工業光魔”（Industrial Light and Magic，簡稱ILM）。1977年上映的《星球大戰》開啟了計算機視覺特效的先河。幾年之後，分形繪景技術在這個CG草創時代也展露了小小的一角。1982年，在盧卡斯影業公司監製的影片《星際迷航2可汗之怒》中，劇情設定存在一個名為“創世”的科學儀器，可以把一個沒有生命的星球進行分子重組，讓它變成一個有生命的星球。為了演示這一效果，電腦中的月球被“創世波”攻擊，變成了一個有水有生命的綠色星球。進取號艦長柯克在飛船的電腦屏幕上看到了使用“創世”後月球表面的變化過程。卡彭特負責繪製飛船電腦屏幕上的整個月球地表。月球地表參差不齊並不規則，普通的幾何圖形無法描述，卻恰恰符合分形粗糙、瑣碎、不規則的特點。這一次的方法和之前繪製山脈的方法類似，通過在全景圖上繪製簡單的多邊形，讓計算機算法去迭代切割多邊形，最終創造出月球地表的粗糙質感。影片中的CG效果讓人眼前一亮，分形繪景技術在自然繪景方面向世人展現了其卓越的優勢。
《星際迷航2可汗之怒》中，飛船電腦上顯示的是正在變得有生命的月球表面
令人遺憾的是，分形與電影這一次的相遇，並沒有在電影CG剛剛起步的八十年代引起更多關注。在計算機尚不普及和發達的八十年代，電影製作行業的手繪製圖一直是最主流的特效辦法，雖然這一辦法相當低效，哪怕一個很短的卡通片可能需要上千張繪圖才能連貫，而且還會牽扯到攝影機運動等諸多限制。另一方面，雖然分形數字繪景效率更高，但模擬出的畫面的真實度並不高。在《星際迷航2可汗之怒》中，製作人恰恰打了一個擦邊球，讓這段CG影像出現在飛船電腦上，利用了飛船顯示屏上的圖像呈現原本較為簡陋的特點，遮蓋了當時分形繪圖技術仿真程度不高的弊端。在當時若想追求更好的視覺特效，分形數字繪景並不是很好的選擇。電影製作人普遍選擇的是手工繪景的方式，用畫在玻璃上的圖像和實拍的素材結合在一起完成視覺特效的製作。雖然分形特效在自然繪景上有著不小的優勢，但身為載體的計算機在當時還沒有發展到足夠便捷的程度，難以避免地導致剛剛問世的計算機分形繪景技術的仿真程度根本無法達到“以假亂真”的地步，甚至略顯粗糙，也就自然很難撼動手工繪景在當時的主流地位。
曇花雖一現，卻也開出了自己的姿態。《星際迷航2可汗之怒》中月球地貌的問世給了分形和電影一個契機，雖然之後近二十年二者幾乎以平行狀態各自發展，但再相遇時已由最初的青澀變為強強聯手，為九十年代後的電影視效開啟了新的大門。
電影製作人員在玻璃板上手工繪景
下回預告：
隱藏在電影和動畫中的分形藝術（二）：《泰坦尼克號》、《指環王》、《奇異博士》
隱藏在電影和動畫中的分形藝術（三）：《星球大戰》、《冰雪奇緣》
1978年，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特（Loren Carpenter）首次將分形的思想融入進了計算機技術，通過對最基本的幾何圖形三角形的不斷分形迭代，描繪出了山脈模型，這可以說是分形幾何學和計算機科學的初次相識。1982年，在電影《星際迷航2可汗之怒》（Star Trek 2 The Wrath of Khan）中，年輕的分形幾何學、年輕的計算機圖形學（Computer Graphics，即CG）和電影藝術這三者初次走到了一起。影片中出現過一個一分鐘左右的三維CG動畫片段，計算機分形繪景技術在這裡顯示出驚豔無比的視覺效果。
二十世紀九十年代，隨著計算機技術的飛速發展，電影中的CG技術日趨成熟，分形數字繪景技術也開始大量應用於3D動畫和電影特效製作，使得數字造景的真實度不斷提升。從《星球大戰前傳》（1999、2002、2005）三部曲中的星球地表、到《玩具總動員》（Toy Story，1995）中的樹叢林木、再到《愛麗絲夢遊仙境》（Alice in Wonderland，2010）中的夢幻森林，分形數字繪景逐漸成為模擬自然景物的主流特效手法。近些年，分形數字繪景技術更加成熟，《阿凡達》（Avatar，2009）中美麗的潘多拉星球、《冰雪奇緣》（Frozen,2013）中的爛漫雪花、《奇幻森林》（The Jungle Book,2016）中的叢林世界，其背後都隱藏著分形數字繪景技術的鬼斧神工。
《冰雪奇緣》中各種炫美的場景，其背後是分形幾何學的運用
一、從模擬山脈到創造星球表面
在古典數學的影響下，人們習慣於認為幾何學的研究對象都具有完美光滑的形狀，而且都極度規則。在大自然中有許多我們早已司空見慣的事物，如山川、樹木、雲朵等，因其看上去外形粗糙雜亂，遲遲無法被人們很好地用圖形來描述。分形幾何學的出現，可以說撥開了自然界不規則的迷霧。大到雄偉山川，小到葉片紋理，自然界萬物的形狀，從其“自相似性”中，不難發現它們依然是幾何圖形，依然可以用數學語言來對其描述。人體的血管分佈、肺部的支氣管分佈都可以看做是分形幾何，甚至人體本身也可以看做是一個粗略的分形結構，手或腳上的五個指頭和人的頭和四肢這五個突出之間存在著自相似性。
葛飾北齋畫的《富嶽三十六景之神奈川衝浪裡》，常被用作分形幾何學的示圖
“分形”的主要思想是截取不規則圖形的一部分，當不斷放大或者不斷縮小時，它們看上去總是高度相似的——即“自相似性”。曼德博曾在一次演講中這樣解釋分形：“如果你切開一朵花椰菜，你看到的仍然是一樣的花椰菜，只是更小一點；如果不斷地切，你看到的還是一樣的花椰菜，只是更小一點……”幾何中的分形，由他的自創方程“f(z)=z²+c”來展現，方程涵蓋了所有可能的朱麗葉集（the Julia set），將數集中的點用計算機繪製出來，就可以看到分形的幾何標誌物——曼德博集（the Mandelbrot set）。分形幾何學雖然獨立於主流數學之外，在誕生之後卻迅速在地理、統計以及計算機等各界掀起熱潮。分形的思想對於描述自然景物極有助益，叢林樹木、雲海山川甚至月球表面，大自然中的種種曲折和坑窪都是不規則的維度，卻依舊可以用幾何學的方法來進行繪製。當不規則圖形可以用數學語言來描述時，原本困擾數學家多年的海岸線長度問題也就如同大廈高度那般可以精準測量。之前只能依靠規則圖形才能完成的設計，逐漸也可以變得更加多樣自由。分形幾何學開始幫助各行各業人士衝破藩籬，撥開籠罩在“不規則圖形”上的迷霧。
曼德博集（the Mandelbrot set）
二十世紀七十年代，計算機數字圖形技術開始起步並迅速發展。1978年，在西雅圖的波音飛機公司，年輕的計算機專家洛倫·卡彭特遇到一個難題。他需要在計算機上編程繪圖來模擬飛機飛行的狀態，在飛行中，飛機需要穿越于山脈上空。然而編程繪製山脈在當時是無法用計算機解決的。山脈有數以萬計的小三角形或者多邊形。當時的計算機處理數據極慢，即便處理100個三角形也是件麻煩事。這時，卡彭特偶遇了《分形學：形態，概率和維度》（Fractals: Form, Chance and Dimension）這本書，書中的分形思想讓他大開眼界。他創造出了分形繪製山脈的算法：首先繪製出幾個粗略的大三角形，然後把每個大三角形分成四個小三角形，再對每個小三角形重複分裂操作，不斷迭代重複，最終，山脈粗糙的表面就成功的在計算機上顯示出來了。這可以說是一次偉大的嘗試，它讓分形首次進入數字繪景領域，也讓其他計算機繪圖專家們興奮不已。從此，計算機繪圖不再侷限於標準而規則的幾何圖形，各種參差不齊、變幻莫測的圖形圖案，都可以用計算機分形算法來呈現。這些數字化的山脈對於日後電影特效領域的自然造景有著非比尋常的意義，也可以說是日後分形數字繪景技術的雛形。卡彭特不久後加盟了盧卡斯影業公司，計算機分形繪圖技術也隨著他向電影業靠近。從此以後，分形繪景技術將在電影特效領域裡大顯身手。
計算機模擬山脈分形步驟圖，截圖來自紀錄片《尋找隱藏的維度》（Hunting the Hidden D
卡彭特加入盧卡斯影業公司時，恰逢一個視覺特效組織剛剛誕生不久，這個組織就是大名鼎鼎的“工業光魔”（Industrial Light and Magic，簡稱ILM）。1977年上映的《星球大戰》開啟了計算機視覺特效的先河。幾年之後，分形繪景技術在這個CG草創時代也展露了小小的一角。1982年，在盧卡斯影業公司監製的影片《星際迷航2可汗之怒》中，劇情設定存在一個名為“創世”的科學儀器，可以把一個沒有生命的星球進行分子重組，讓它變成一個有生命的星球。為了演示這一效果，電腦中的月球被“創世波”攻擊，變成了一個有水有生命的綠色星球。進取號艦長柯克在飛船的電腦屏幕上看到了使用“創世”後月球表面的變化過程。卡彭特負責繪製飛船電腦屏幕上的整個月球地表。月球地表參差不齊並不規則，普通的幾何圖形無法描述，卻恰恰符合分形粗糙、瑣碎、不規則的特點。這一次的方法和之前繪製山脈的方法類似，通過在全景圖上繪製簡單的多邊形，讓計算機算法去迭代切割多邊形，最終創造出月球地表的粗糙質感。影片中的CG效果讓人眼前一亮，分形繪景技術在自然繪景方面向世人展現了其卓越的優勢。
《星際迷航2可汗之怒》中，飛船電腦上顯示的是正在變得有生命的月球表面
令人遺憾的是，分形與電影這一次的相遇，並沒有在電影CG剛剛起步的八十年代引起更多關注。在計算機尚不普及和發達的八十年代，電影製作行業的手繪製圖一直是最主流的特效辦法，雖然這一辦法相當低效，哪怕一個很短的卡通片可能需要上千張繪圖才能連貫，而且還會牽扯到攝影機運動等諸多限制。另一方面，雖然分形數字繪景效率更高，但模擬出的畫面的真實度並不高。在《星際迷航2可汗之怒》中，製作人恰恰打了一個擦邊球，讓這段CG影像出現在飛船電腦上，利用了飛船顯示屏上的圖像呈現原本較為簡陋的特點，遮蓋了當時分形繪圖技術仿真程度不高的弊端。在當時若想追求更好的視覺特效，分形數字繪景並不是很好的選擇。電影製作人普遍選擇的是手工繪景的方式，用畫在玻璃上的圖像和實拍的素材結合在一起完成視覺特效的製作。雖然分形特效在自然繪景上有著不小的優勢，但身為載體的計算機在當時還沒有發展到足夠便捷的程度，難以避免地導致剛剛問世的計算機分形繪景技術的仿真程度根本無法達到“以假亂真”的地步，甚至略顯粗糙，也就自然很難撼動手工繪景在當時的主流地位。
曇花雖一現，卻也開出了自己的姿態。《星際迷航2可汗之怒》中月球地貌的問世給了分形和電影一個契機，雖然之後近二十年二者幾乎以平行狀態各自發展，但再相遇時已由最初的青澀變為強強聯手，為九十年代後的電影視效開啟了新的大門。
電影製作人員在玻璃板上手工繪景
下回預告：
隱藏在電影和動畫中的分形藝術（二）：《泰坦尼克號》、《指環王》、《奇異博士》
隱藏在電影和動畫中的分形藝術（三）：《星球大戰》、《冰雪奇緣》
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