傳說中的“財富公式”
上世紀60年代，一向紙醉金迷、鶯歌燕舞的美國賭場風雲突變。幾位神祕客橫掃各大賭城，用匪夷所思的方法大把撈錢，美國各大賭場一時間亂了手腳。他們是幾位讓世人頂禮膜拜的科學家，把自己的實驗室搬到了賭場！他們的目的就是在實踐中證明一條“財富公式”。這個“財富公式”就是美國著名物理學家約翰·凱利在1956年提出的一個數學公式，被稱為“凱利公式”。它主要利用市場中最好的預測者所預言的賠率與賭場公佈的賠率之間的差距下注，這個公式就是資金管理的核心思想。
凱利公式的緣起
凱利公式起源於上個世紀60年代，原本是為了在信息傳輸過程中，降低噪音在通訊中的干擾，使噪音干擾引起錯誤的可能性降低到零，後來被人應用到賭場的投注比例上和投資的資產配置上。其實公式的作者，John Larry Kelly，並不是一個資深賭徒，而是一位著名的物理學家，他發明這個公式的時候正是著名的AT&T的Bell Lab 中的一名研究科學家，研究方向是當時還算新興前沿的電視信號傳輸協議。凱利的方法參考了香農關於長途電話線的嘈音的工作。值得一提的是，據說香農本身也是一個優秀的投資人，數十年收益率在20%以上，當然這些與他本人在信息論中的成就相比顯得並不為人所知。
由於Kelly 公式著眼於長期回報率和風險的控制，所以天然就吸引投資人想要把它應用在投資當中。比如著名的傳奇數學家Edward Thorp讀了John Kelly的論文之後，先是自學Fortran用IBM大型機開發了一套專門用於21點的算法(感興趣的同學可以去看下電影21，電影裡的算牌（card counting）的方法正是獲得edge的來源），帶上John Kelly的導師在拉斯維加斯大把吸金。之後又專門成立了一個hedge fund - Princeton Newport Partners,該對衝基金成立二十年淨值增加了二十倍。
公式表達式
凱利公式的表達式為f*=（bp-q）/b，其中f*為計算出來的凱利最優投資比例，b為賠率，即期望盈利/預計虧損，p為成功概率，q為失敗概率，即1-p。凱利公式認為，只要投資者每次都用全部投資金額的f*比例來進行投資，就可獲得長期增長率的最大化，並且不會有破產的可能（當然這只是理論上）。
f* = (bp - q) / b=p-q/b
其中，f* = 投注金額佔總資金的比例
p = 獲勝的概率
q = 失敗的概率，q = 1-p
b = 賠率，例如在輪盤賭中押單個數字，b = 35，押紅黑，b = 1。
舉例比如21點下注問題，假設總賭本10,000美元，玩家取勝的概率是51%，賠率1：1（實際勝率和賠率略有偏差，但相距不大），那麼凱利公式給出的最佳賭注是：
$10000 * (1 * 0.51 - 0.49)/ 1 = $200
凱利公式解讀之一、贏面越大下注越大
我們暫且不談公式的理論推導，那個可能涉及到很多數學，我們先來弄明白公式背後真正的“意思”。
首先，公式中分子的bp - q 代表“贏面”，數學中叫“期望值”(expectation)，凱利公式指出：正期望值的遊戲才可以下注，這是一切賭戲和投資最基本的道理，也就是前面講的“沒有贏面，決不下注”。
凱利公式解讀之二、要以大博小不要以下博大
其次，贏面還要除以“b”才是投注資金比例。 也就是說贏面相同的情況下，賠率越小越可以多押注。 這一點不容易直觀理解，我們用個例子來說明。 下面三個正期望值的遊戲，你看看選哪個：
1. “小博大”：勝率20%，贏了1賠5，輸了全光。bp - q = 5*20% - 80% = 20%
2. “中博中”：勝率60%，1賠1。bp - q = 1*60% - 40% = 20%
3. “大博小”：勝率80%，1賠0.5。bp - q = 0.5*80% - 20% = 20%
三個遊戲的數學期望值一樣，都是20%，或者說押100元平均贏20元。 按大部分國人的賭性，恐怕會選“小博大”遊戲吧？ 但是用凱利公式中的“b”一除，“小博大”遊戲只能押總資金的4%，“中博中”可以押20%，“大博小”可以押40%。 贏錢速度“大博小”快多了！ 前面不是講過“久賭必贏的遊戲應該選波動性小的”嗎？ 說的就是這個了。
現實中，愛玩“小博大”的多半是賭客。 誰愛玩“大博小”呢？ 賭場！ 華爾街的職業投資家們很多玩的也是“大博小”，因為便於使用槓桿（押大賭注）。
凱利公式在實戰中的幾點注意事項
首先，凱利公式適合於賠率和勝率都是固定的賭博遊戲，而期貨策略的勝率其實是很不穩定的，都是事後統計的，依賴於統計的時段選取，並不是一個固定的穩定的值。
舉個例子，假定一個拋硬幣的簡單賭局，正面贏2元，反面輸1元，很容易確定賠率b=2，勝率p=0.5，最後得出f*=0.25，即每次應當投入到賭局中的資金比例為當前總資金的25%。而在現實投資中，這兩個參數都是很難確定的。
大部分情況下，投資的賠率和勝率並不是事先確定好的，投資者需要自己估計。雖然預先確定好止損和止盈或許可以確定交易的賠率，但是交易的勝率是根本無法確定的，這完全需要根據經驗或者歷史統計來估計，這就導致最後計算出來的結果並不是最準確的資產配置比例。
一句話，現實中的投資並不像拋硬幣賭局那麼簡單的遊戲，投資是一個不斷變化的遊戲，凱利公式只能作為資產配置的參考。
其次，凱利公式有一個非常重要的假設經常被投資者忽略：投資者單次最大損失為此次投資的全部金額。所以無論如何，每次虧損都不會涉及剩餘本金。而在期貨投資或者是其他具有槓桿的衍生品交易中，如果沒有設置止盈止損，單次投資的盈利和虧損可以說是沒有限度的，有時會造成資產曲線很大的振幅，虧損嚴重時甚至會導致沒有足夠的資金繼續交易，這也是凱利公式作為資產配置在實際應用中的需注意的問題。舉個例子，假設投資者有100000元資金投資某個一手保證金為40000元的產品，交易策略的歷史統計比如是賠率b=5,勝率p=0.5,，根據凱利公式可以計算出最佳投資比例為40%，按照總資金計算，即40000元，可以交易一手該產品。比如若干筆交易之後，期末資金虧損至38000元，已經不足一手保證金了，除非注入新的資金，否則將無法繼續進行接下來的交易。雖然計算出來的最佳投資比例是40%，但是實際資金佔用比例往往是不能精確滿足的，這是由於投資標的物的最小單位是40000元，這也是凱利公式的假設在實際應用中的一個缺陷，貨幣與投資產品不能無窮分割。
凱利公式在投資中的應用
1、凱利公式在倉位控制中的應用
最直接的應用就是倉位控制，不過如上所述既然凱利公式中的勝率和賠率都是動態的，突發事件、大資金流動等因素都會在短期內對勝率和賠率產生巨大影響。在實際投資中，就要根據情況，適當地調整倉位。然而，一方面考慮到交易成本，頻繁地進行加倉減倉也是不切實際的。另一方面，由於投資標的無法無窮分割，要使資產配置精確達到凱利值很難。所以，根據經驗，一般凱利值變化超過10%，才有必要調整倉位。
2、凱利公式在選股和建立投資組合方面的應用
在投資組合的應用中，也經常以 f = excess return/variance 的形式出現，在某種意義上f的數值越高也就是投資的價值越大，比如一個簡單的選股策略是 a.計算股票池中每隻股票的Kelly leverages 作為排序score（這裡過去一年內每日收益的mean/var） b.從大到小進行排序，選出前10名的股票，價格在5日均線之上時才購買，平均購買，每月調倉。
凱利公式的推廣之一
注意，這個廣為人知的公式只適用於全部本金參與的情形，即輸的情況下，虧光，而適用更為廣泛的凱利公式是：f*=(p*rW-q*rL)/rW
其中f*,p,q同上，rW是獲勝後的淨贏率，rL是淨損失率，rW/rL是盈虧比。
比如，我有1萬元買股票，30%幅度止盈，10%的幅度止損，最多盈利3000，最多虧損1000，這裡rW=0.3，rL=0.1，此時可以計算最優倉位，但是由第一個公式是算不到的，主要原因是這裡我並沒有投入所有本金。
換句話說，第一個公式不過是第二個公式裡rL=100%的情形。
最後說幾句，John Larry Kelly (1923 - 1965) 42歲的時候就不幸去世了，我猜想對於他個人來說，更希望被人銘記的不是拉斯維加斯賭場和hedge fund 之類的掘金工具，而是他作為科學家最驕傲的一個時刻 － 1961年，和同事Gertsman一起，在Bell Lab 用IBM704合成了人工聲音（Synthesize Speech），Kelly 的 vocoder製作了歌曲 Daisy Bell. 史上第一首由電腦合成的音樂.
就在這一年，一個叫做Arthur Clarke的作家訪問了Bell Lab, 被這個人工合成的聲音和音樂震驚，將這一幕寫入了他的科幻小說。
又過了七年，一個叫做Kubrike的導演讓一臺瀕死的電腦HAL在科幻電影裡把這首歌曲唱了出來， 這是對科學家Kelly最好的致敬和緬懷。