1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

古者包犧氏之王天下也,仰則觀象於天,俯則觀法於地。 ——《周易·繫辭下》

天地萬物生生不息,有太多的事物、現象超出我們五官所及。因為無法達到,反而使得洞悉宇宙的奧祕成為人們生活的一部分。

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

月球、太陽是人們最早能觀察到、也是最先激發人們好奇心的天體。兩者與地球的運動,導致了地球上的四季更迭,冷暖交替。不但如此,人們還發現,如果希望來年有一個好的收成,必須對它們有更多的瞭解。研究星空的天文學家為此而生,他們除了業餘愛好——觀察星空位置、大小並記錄外,有時也一不小心就得到了一些“意外發現”,不管有心還是無意,這樣的發現對指導農業生產還很有用。

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

我們現在常用到的時間節點(如,年、月、日等),以及曆法,都是古人(天文學家)長期觀察和實踐的結果。他們不但洞悉了四季變化及天體(如太陽、月球)週期運動的規律,還設計了許多了儀器來確定曆法可靠性、及矯正觀察的誤差,在這些儀器中,“日晷”絕對是原理最簡單、又最實用中的一個。

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

日晷起源於何時何處已不可考,但從目前發掘的文物來看,公元前1500年左右出現的古埃及“影子鍾”便已具有了日晷的雛形。2013年,巴塞爾大學在埃及帝王谷的工人棚內發現了“影子鍾”,該鐘由石灰石製成,分十二份,在圓孔處裝有指針。指針是“影子鍾”的核心部分,古埃及人依據指針的影長變化來計時。

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

和許多發現一樣,古時候的幾個主要文明都不約而同的使用了日晷來計時。而在我國,日晷更是被用到了極點。

“以土圭之法測土深,正日景(影),以求地中。”,又“日至之景,尺有五寸,謂之地中,天地之所合也”。

據說,周公團隊經過周密的測定,得到當時的陽城(今河南省登封市)為“天下之中”。既然陽城是中心,周公決定在此立圭表以測日影。

關於周公,估計大家更熟悉的是“周公解夢”,沒錯,相傳他的確是卜卦能手。但是在歷史上周公卻有著無法超越的功績,借用《尚書》來說:他“一年救亂,二年克殷,三年踐奄,四年建侯衛,五年營成周,六年制禮樂,七年致政成王。”。不僅在政務上功勳卓越、卜卦上出神入化,周公對科學的貢獻也是一流的。

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

陝西周公廟壁畫

回過頭來看周公立的“圭表”。儘管早在公元前20世紀,陶寺遺址時期,中國就開始使用“圭表”了,但從未有過像周公一樣深刻的革新。“圭表”的構造很簡單,主要包含了“表”“圭”兩部分。周公所立的圭表,表高八尺(185cm),在太陽光照射下,表的影子會落在圭上,而且不同的時間點,影子的長度也會不同。具體來說,周公經過觀察後發現,表的“影子”最短為一尺五寸(35cm),這一天被命名為“夏至”,而日影最長(一丈三尺五寸)的一天定為“冬至”。也就是《恪遵憲度抄本》中所記:“日北至,日長之至,日影短至,故曰夏至。至者,極也。”(注:周朝一尺約為23.1cm)

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

夏至、冬至,再結合晝夜時長相同的“春分”“秋分”。我國“二十四節氣”中的最早四個節氣就這樣形成了。“二十四節氣”對於指導農作起了指導性作用,而在漢武帝太初元年(公元前104年)更是被吸收入《太初曆》作為指導農事的歷法補充。在傳承發展中,二十四氣被列入農曆中,成為農曆一個重要部分形成陰陽合曆,至今仍在使用。

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

最初的“四個節氣”發展為“二十四節氣”,測日影的天文儀器也從“圭表”逐步發展為"日晷"。儀器和曆法在革新,但規律卻亙古不變。每一年的夏至日和冬至日這天,日晷上“表”的影長在每個地區都是一年中最長(和最短)的,但是不同的地區對應的影長卻千差萬別。中央又只有一個“歷表”,那地方該如何運用該歷表計算時間呢?

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

這個問題困擾了人們很久,到了唐朝時期,僧人一行巧妙解決了這一問題。他做了兩件事:一、要求地方官員測量當地夏至日影長。二、製表、給出公式,然後當地官員通過查表並計算得到其他節氣所對應的“影長”。

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

僧一行

關於製表及公式,對天文學感興趣的朋友可以閱讀文獻[1],有詳細介紹。這裡主要談及這些發現中與數學最貼近的一個。

僧一行通過大量的數據測量、運算髮現,在同一時間、同一地點,杆的影子會隨著杆長的變化而變化,但是它們的比值是保持不變的。雖然僧一行所在時代還沒有“正切、餘切”這一數學概念,但是他卻先見性的用“影長與杆長的比值”建立了世界上最早的“正切函數表”.

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

一行的“正切函數表”

需要注意的問題是,制定正切表與正切的發現是兩碼事,最先使用類似於“正切、餘切”這一概念的是古埃及人,它被記錄在成書於約公元前17世紀的《萊恩德紙草書》中:

一個金字塔形(正四稜錐)高是250腕尺(cubit),底面邊長是360腕尺,求seked值.(《萊恩德紙草書》第56題)

什麼是“seked”呢?古埃及人將一傾斜直線每垂直升高一個單位時,相對於垂線的水平偏離稱之為“seked”,即底邊與高之比,相當與直角三角形中底角的餘切值

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

泰勒斯

由此可以將古埃及的“seked”看成“正切函數”的雛形。隨後,古巴比倫人和古希臘人也對“正切”有一定研究。在西方,據說古希臘數學家泰勒斯更是通過正切的性質,計算出了“金字塔的高度”。這點其實是值得商榷的,因為泰勒斯很有可能是依據相似三角形原理,解出了金字塔的高度,而並不應一定知曉“正切”概念。要知道,歐幾里得之前的古希臘數學家熱衷於幾何,而(以正弦函數為代表的)三角函數從喜帕恰斯開始才作為天文學的產物正式出現在歷史舞臺。

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

隨後的發展中,阿拉伯數學的貢獻也值得一提,而且現代意義上的“正切、餘切”概念,一定程度上便來自於古阿拉伯數學家巴塔泥的貢獻。巴塔泥生活在9世紀,為了研究“日晷”,他引入了“直陰影”和“反陰影”的概念。如圖,“直陰影”即“餘切”,而“反陰影”即“正切”。[2]

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

“反陰影”是太陽仰角α的正切值

到此,天文學中有了明確的正、餘切概念,但要直到1583年,才由丹麥數學家芬克(FINKE)第一次使用符號tangent來表示正切,高中教材中”tan”便是“tangent”一詞的簡寫。隨著三角學脫離天文學而成為數學的一部分,正切函數在數學中也擁有了一席之地。

總之,日晷、二十四節氣、正切函數都因“測影”問題產生,並密不可分,它們為指導古代農業、科技的發展貢獻了巨大力量。但時代在進步,隨著沙漏、擺鐘、計算機等更先進的計時工具的發明,人們有了更精確的計時工具,日晷這樣的計時儀器也慢慢從實用工具變成了歷史發明,同時,先進的儀器也讓人們對日影的依賴近乎消失。

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

原來的密不可分,變成了現在的分道揚鑣,日晷進入了歷史博物館、二十四節氣繼續隸屬天文學、正切函數則更多的在數學上發光發熱。它們又都重新在不同的軌跡上發生作用。

1300多年前,這位唐朝僧人制出了世界上最早的正切表.

參考文獻:

【1】.劉金沂等.唐代一行編成世界上最早的正切函數表.自然科學史研究.1986.298-309

【2】.樑宗巨.世界數學通史(上)[M].遼寧教育出版社.2005

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