——再談“路徑之和”，向物理學大師費曼致敬
文/陳思進
在《費曼：令人們“痴迷”的量子力學物理大師》（《科普時報》2018年10月12日 3版）一文中，我以費曼的“聰明的救生員”選擇最短的路徑救人為例，解釋了“路徑之和” 理論。
文章發表後，有讀者留言問我，救生員是受過訓練的專業人員，當然能夠“聰明”並“主動”地採用耗時最短的路徑去救人，要是動物如寵物狗，遇到類似的情況，是否也會這樣呢？
答案是肯定的！
美國數學教授蒂姆·彭寧斯（Tim Pennings）養了一條名為埃爾菲斯（Elvis）的威爾士柯基犬。蒂姆總是與埃爾菲斯在密歇根湖的岸邊玩耍拋接球，他會將埃爾菲斯最喜歡的網球扔進水中，埃爾菲斯會立即衝出去，在海灘上跑，在湖水裡游泳，每次都把網球撿回來。
在拋球撿球的遊戲中，蒂姆發現埃爾菲斯的行為非常有趣。當他把網球扔入湖水中，埃爾菲斯並不選擇一條看似直接的路程，跳入湖中，游完全程，而是先在海灘邊跑完一段路程，然後到達某一個點，才跳進水中游一段再用嘴把網球銜回來。蒂姆的腦海中閃現了一個問題：埃爾菲斯是通過一條耗時最短的路程取回網球的嗎？
於是，蒂姆劃分並測量了埃爾菲斯在岸上跑動的路徑，以及網球運動的距離。在收集了35個數據後（上圖中的x和y數值，以米為單位），作為一個數學教授，他很快用微積分解決了問題的最優解，結果“恰好”和費曼的“聰明的救生員”一樣：小狗埃爾菲斯也能夠“聰明”並“主動”地採用耗時最短的路程，用嘴把網球撿回來。
埃爾菲斯的舉動令蒂姆非常震驚，他隨即寫下了《狗懂得微積分嗎？》。在這篇論文中，蒂姆寫道：“埃爾菲斯顯然不懂微積分，但它的行為反應了大自然的神奇之處，即自然總會選擇最優解。”
不過，請別忘了，數學模型必須事先做出許多假設，使問題簡單化且便於分析。例如：湖水沒有波浪，水是靜止的；埃爾菲斯勻速前進，不會因為疲倦而放慢速度；湖畔可以看作一條直線等等。因此，埃爾菲斯實際上所用去的時間，說不定比數學模型所計算的結果還要短。
寫到這兒，不禁想起小時候因為調皮，經常和幾個發小在弄堂裡，用熱水驅趕小螞蟻。那時我注意到一個奇怪的現象：一群螞蟻在搬運食物進入它們的窩，並不是沿著最短的直線路徑前行的。
螞蟻折射定理
事實上，科學家的研究證實了，螞蟻和“聰明的”救生員和小狗埃爾菲斯一樣，都是走耗時最短的路徑。科學家用一塊玻璃表面，以及相對粗糙的綠色桌面來模擬沙灘和海水。他們發現螞蟻的選擇更加接近於最快，而非最短的直線路徑。正如光的軌跡那樣，螞蟻也會選擇減小時間而非距離（見附圖：螞蟻折射定理），來搬動食物進入它們的老窩。
再談回到費曼，正是經由上述的“路徑之和”，他“無意”中發現了最簡單的，也是最深刻的綜合量子理論複雜性的方法，贏得了1965年的諾貝爾物理學獎。
比如，你想走過一個房間，根據牛頓的經典力學，你會選擇從A到B的最短距離，叫做經典路徑。但是根據費曼的科學理論，你必須首先考慮連接A和B的所有可能的路徑。這意味著要考慮到火星、木星、最近的星星的路徑，甚至在時間上返回到大爆炸的路徑。不管這些路徑是多麼愚蠢、多麼奇怪，但你必須考慮它們。費曼給每條路徑一個數值，給出一套精確的規則計算這個數值。
對此，距離愛因斯坦探尋了下半輩子的TOE（Theory of everything，萬有理論）最接近的超弦理論創始人之一、我的母校美國紐約市立大學物理學教授加來道雄曾談及：
費曼發現了非常奇怪的和違背牛頓運動定律的路徑的這些數值通常相互抵消，總和很小，這就是量子波動的起源，即它們代表的路徑總和很小。他更發現了通常意義的、牛頓學說的路徑不相互抵消，因此總和最大，即它是具有最大概率的路徑。因此，我們通常瞭解的宇宙只是無數個狀態中概率最大的狀態。但是所有可能的狀態與我們共存，有些狀態把我們帶回到恐龍時代，有些把我們帶到最近的超新星，有些把我們帶到宇宙的邊緣。而這些奇異的路徑產生小的偏移，背離常識的、牛頓學說的路徑，但是幸虧它們的概率很低。
加來道雄教授進一步指出，費曼的“路徑之和”的功能在於，今天當我們建立GUT（Grand Unification Theory，大統一理論）、膨脹理論，甚至弦理論時，我們都採用了費曼的“路徑積分”觀點。在全世界的每一個研究生院中現在教的就是這種方法，到目前為止它是最強大的、最便利的描述量子理論的方法。
最後要說的是，我這兩篇短文只能非常簡單地介紹費曼——一個繼愛因斯坦之後最睿智的理論物理學家的主要理論；而事實上，他的一生遠比他發現物理理論更為精彩。他的一生告訴我們：我來過這個世界並且不虛此行。而我從他的一生中最受啟迪的是，要一直採用猶如初生嬰兒般的好奇心，看待與探索我們這個豐富多彩的世界。
【陳思進作品】
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花城出版社2018年10月出版
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