“你站在橋上看風景”
“看風景的人在樓上看你”
“明月裝飾了你的窗子”
“你裝飾了別人的夢”
上圖是被稱為矛盾空間的作品《畫廊》。從左下角順時針向右下角看：圖中是一個正在舉辦畫展的畫廊，在這個畫廊中，一位年輕人在仔細看一幅畫；畫中是一個港口，輪船後面是一排房子，在這排房子的右上方有個女士正在窗臺遠眺海邊，而這位女士的樓下是正在舉辦一個畫展的畫廊，在這個畫廊中，站著一位年輕人，這位年輕人正在仔細地看一幅畫：畫中是一個港口……這個世界就在這幅圖中無限循環下去。
而在邏輯論證中不能出現循環論證，否則這個證明過程就會視為無效，而無限往往是出現bug的原因之一。今天我們就來講講數學中的悖論——無限悖論。
希帕索斯悖論
第一次數學危機起因於“希帕索斯悖論”。
畢達哥拉斯（Pythagoras）是有名的數學家，他的數學信仰是“一切數均可表示成整數或分數”，整數和分數後來被稱為“有理數”。然而，在“勾股定理”被提出後，有人考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現，這一長度不能用整數和分數表示，只能引用一個新數，後來被稱為無理數。據說，希帕索斯後來還因為這個研究被發現被人扔進大海淹死了……
這次數學危機表明，幾何量不能完全用整數及其比表示，而數卻可以用幾何量來表示。於是，整數的尊崇地位受到挑戰，數學思想也因此經歷一次革命。
伽利略悖論
通常我們認為，整體大於部分，或者說“整體在數量上多於部分”。舉例來說，從直觀上看，自然數遠遠多於其平方數，假如給出一個很短的自然數數列：
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100
顯然，自然數的平方比自然數少得多，或者說“稀”的多。不過，伽利略指出，假如自然數序列無限延伸，則會出現戲劇性的結果，自然數系列與其平方數的序列可建立一一對應，這兩個序列一樣長：對於任一自然數n，都有另一個平方數與其對應，並且仍然是一個自然數……
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，……，n,……
1,4,9,16,25,36,49,64,81,100，……，，……
伽利略意識到這是一個重要發現，但是他不知道從中可以得出什麼結論。實際上，他得出了一個錯誤的結論，即他認為“大於”“等於”“小於”不能用於無窮量。
萊布里茨悖論
萊布里茨也發現了和伽利略悖論類似的結論，即“整體大於等於部分”，但他認為這是不可能的，由此得出結論：無窮集不存在。
其理由如下：只要能夠在一個集合中的元素與另一個集合中的元素之間建立一一對應關係，則我們可以這兩個集合擁有一樣的數目的元素。
例如，如果我們發現一個禮堂中沒有空座位也沒有站著的人，我們就可以認為禮堂中的人數和座位數是相等的。
萊布里茨認為，假如真的有無線數的話，我們就可以在兩個無窮數之間建立一一對應的關係，我們就有可能因此得出結論：自然數的數目與偶數的數目是相等的。但是這個結論明顯是讓人十分疑惑的，這怎麼可能呢？自然數並非只有偶數還有奇數，後者的全體又可以組成一個無窮集。
最終他得出最後一個結論：所有自然數的數目這一概念是不一致的，談論一個無窮集的數目也是沒有意義的。
（部分圖片來自網絡）
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