置頂哲學園 好文不錯過

普林斯頓數學指南

The Princeton Companion to Mathematics

Timothy Gowers 主編

齊民友 譯

小編按：哲學園的一個立場是可以宣告眾人的，那就是秉持柏拉圖的園訓：不懂幾何者不得入園。因為，數學乃人類智慧的頂峰，懂得數學的思維和智慧，理解世上的其他事情就會取得事半功倍的效果。但這會立即招致一種反駁：為什麼那麼多大數學家在現實生活中卻過得那麼不堪？他們很多都與精神疾病患者一線之隔或者就曾經是一位精神病患者！

說實在的，老蟬也無法回答這個問題，但“分裂法”或許是一種可以彌補這種缺陷的方法。無論怎樣，這也體現了數學的非完備性。

本欄目會從《普林斯頓數學指南》中摘錄一些章節與讀者分享，摘錄的部分並不總是完整的，希望能起到的作用是：由此而拋磚引玉，使得讀者自己去探索那些感興趣的部分。

數學是做什麼的

選自《指南》第一卷 P1-3

要對"什麼是數學"這樣一個問題給出一個令人滿意的回答，其困難是眾所周知的，本書的處理途徑是不試圖去回答它。我們不打算給出數學的定義，而是通過描述它的許多最重要的概念、定理和應用，使得對於什麼是數學有一個好的看法。然而，想使這些材料的信息有意義，對於數學的內容作某種分類還是有必要的。

對數學進行分類最明顯的方法是按照其內容來進行，這篇簡短的引論以及下面比較長的條目如一些基本的數學定義[I.3]就是採取的這個方法。但是，這並不是唯一的方法。甚至顯然也不是最好的方法。另一種途徑是按照數學家們喜歡思考的問題的類型來分類，這會給這門學科以一種不同的視角，而這是很有用的，時常有這樣的情況，兩個數學領域，如果您只注意它們的主題材料，可能看起來很不相同，但是如果您看一看它們考察的問題，則又十分相似。第I部分的最後一個條目數學研究的一般目的[I.4]就是從這個觀點來觀察數學的。在那篇文章末尾有一個簡短的討論，您可以把它看成是第三種分類，就是並不對數學本身來分類，而是對數學期刊的一篇典型論文內容的各個部分來分類。這篇論文裡既有定理和證明，也有定義、例子、引理、公式、猜想等等。那裡討論的要點就是想說明這些詞是什麼意思，以及為什麼數學的產出物裡面的這些東西也是很重要的。

1.代數、幾何和分析

雖然一旦想把數學主題分類，就必定立即需要加上種種限制。然而有一個粗略的分類無疑可以作為最初的近似，這就是把數學分成代數、幾何和分析。所以我們就以此開始，以後再作各種修飾。

1.1代數與兒何的對比

絕大多數讀過中學的人都會把代數看成用字母代表數所得到的數學。時常會把代數與算術作一個對照：算術就是對數作更直接的研究，所以“3 ×7=?”這樣的問題就被認為是屬於算術的，而"若x+y=10，而xy=21，則x與y中較大的一個取何值”就被看作是代數。在比較高水平的數學裡面，這個對比就不那麼顯眼，原因也很簡單，因為數字單獨出現而不與字母相伴是極為罕見的。

然而，代數與幾何之間就有著不同的對比，而且它在比較高深的水平上要重要得多，中學裡關於幾何的概念是：它是研究圖形的，例如圓、三角形、立方體和球面，還有諸如旋轉、反射、對稱等等概念。這樣，幾何的對象以及這些對象所經歷的過程，比之代數的方程，有著多得多的可視的特性。

這種對比一直持續到現代數學研究的前沿。數學有些部分涉及按照某種規則對符號進行操作，例如對於一個為真的等式，“如果對其雙方作同樣的操作”，則它仍然為真。數學的這些部分，典型地被認為是代數的一部分，而另外一些牽涉到可視的概念的部分，則典型地被認為是幾何的一部分。

然而，這樣的區別絕不是簡單的。如果您看到一篇典型的幾何研究的論文，它會充滿圖形嗎?幾乎絕對不會。事實上，用以解決幾何問題的方法，極為常見地涉及極為大量的符號操作，但是，找出與應用這些方法需要很好的可視化的能力，在它的下面，典型地有圖形在。至於代數，它"僅僅是"符號演算嗎?完全不是這樣。非常常見的是，人們解決代數問題是通過尋找一個辦法把它可視化。

作為把代數問題可視化的例子，想一下，人們是怎樣來驗證"a和b都是正整數時，ab-ba"。可以把它作為一個純粹的代數問題來處理(例如用歸納法來證明它)，但是想要說服自己最容易的方法是想象一個矩形的陣，陣中一共有a行，而每一行有b個物件。物件總數，如果是逐行來數，就可以認為是a批物件，而每批b個。如果是逐列來數，就是有b批，每批a個所以ab=ba。用類似的方法還可以驗證其他的基本規則，例如a(b+c)=ab+ac，以及a(bc)=(ab)c。

轉過頭來，事實上，解決許多幾何問題的好方法是"把它轉換成代數"。這種做法最著名的例子是使用笛卡兒座標。例如，如果想把一個圓對經過圓心的直線L作反射，再逆時針旋轉40°，然後再對同一直線L反射一次。這個問題的一種做法是把它可視化如下：

想象這個圓是用薄的木片做的，不必對此直線反射，而可以(通過木片外的第3維)繞L旋轉180°，再把所得的結果翻一個面，其實，如果對木片的厚度忽略不計，翻面並不起作用。現在如果從木片下方往上看，並且讓它逆時針旋轉40°，則從原來的位置看，木片是順時針旋轉了40°。現在再把木片翻回來，即繞L在第3維裡再旋轉180°，總的效果就是順時針方向旋轉40°。

不同的數學家利用上面這種論證方法的意願與能力是大不相同的。如果您還不能充分可視地看出上面這種論證肯定是對的，就會喜歡按照代數途徑，即利用線性代數和矩陣理論的方法(詳見I.3 4.2).開始是把圓看成適合x²+y²≤1的數對（x,y）的集合。那兩個變換，即對通過圓心的直線L的反射，以及旋轉4o°都可以用2×2的矩陣（a b c d）來表示。有一個稍微複雜一點的純粹代數的法則把矩陣乘起來，而且這個法則就是這樣來設計的，使之有這樣的性質：如果矩陣A代表一個變換R(比如說是反射)，而矩陣B表示另一個變換T,則乘積AB就表示先作T再做R所得的變換。因此我們可以這樣來解決上面的問題：寫出相應於這些變換的矩陣，把他們乘起來，再看是什麼變換相應於這個乘積。幾何問題就是這樣轉換成了一個代數問題，並且代數地解決。

這樣，儘管是我們可以在集合與代數之間找出有用的區別，可是不要以為二者的界限是非常清晰的。事實上，數學的宇哥主要分支就叫做代數幾何[IV.4]。而上面的例子說明，時常可以把一點數學從代數變成集合，反過來也一樣。不論如何，在代數和幾何思維方式之間有確定的區別---一個比較注意符號，一個比較注意圖像---這一點對於決定數學家追隨哪個研究方向，有深刻影響。

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