早期的微積分概念來自於埃及、希臘、中國、印度、伊拉克、波斯、日本，但現代微積分來自於歐洲。

到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：

第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。

第二類問題是求曲線的切線的問題。

第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。

第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用於另一物體上的引力。

十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創立做出了貢獻。

17世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國家裡獨自研究和完成了微積分的工作。當然在此之前，已有不少數學家從事過微積分的奠基性工作，但作為無窮小量分析所涉及的觀點和方法，以及由此組成的一門以獨特的算法為特徵的新學科的發現還是要歸功於牛頓和萊布尼茨。

1 牛頓的微積分

1665年，牛頓開始考慮無窮小。他提出的問題是：假定我們知道物體在任意時間t內經過的距離是D(t)，如何得到任意時刻的速度？他提出對變速運動而言，任意時刻的瞬時速度是在該時刻的無窮小時間區間內經過的距離與時間區間的比值。引入符號o作為無窮小時間區間，牛頓定義時間t的速度為在時刻t和時刻t+o之間經過的距離與o的比值，即速度[d(t+o)-D(t)]/o。例如，如果D(t)=t³ ,那麼D(t+o)=t³+3r²o+3to²+o³。由於o是無窮小，我們可能忽略正比於o²和o³的項，取D(t+0)=t³+3t²o，於是D(t+0)-D(t)=3r²o，由此得出速度是3r²。牛頓稱之為D(t)的“流數”，但後人稱之“導數”，它是現代微積分的基本工具。

然後牛頓研究了曲線所圍成圖形面積的問題。他的回答是微積分的基本定理：必須找到一個量，其流數是描述曲線的函數。例如，我們已經看到，3x²是x³的流數，因此拋物線y=3x²與x=0之間的面積就是x³.牛頓稱之為“反流數術”，如今被稱為“積分”。

1666年，在擔任數學教授之前，牛頓已經開始關於微積分的研究，他受到了沃利斯的《無窮算術》的啟發，第一次把代數學擴展到分析學。牛頓真實的研究使用的是靜態的無窮小量分析，像費爾馬那樣把變量看成是無窮小元素的集合。1669年，牛頓完成了第一篇有關微積分的論文《無窮多項方程的分析》。這篇論文當時在他的朋友中間散發、傳閱，直到1711年才正式出版。牛頓在論文中不僅給出了求瞬時變化率的一般方法，而且證明了面積可由求變化率的逆過程得到。

接著，牛頓進行微積分研究第二階段的工作，研究變量流動生成法，認為變量是由點、線或面的連續運動產生的，因此他把變量叫做流量，把變量的變化率叫做流數。牛頓這階段的工作成果，主要體現在成書於1671年的一本論著《流數法和無窮級數》。書中敘述了微積分的基本定理，並對微積分思想做了廣泛而更明確的說明，但這本書直到1736年才出版。在書中，牛頓還明確表述了他的流數法的理論依據：“流數法賴以建立的主要原理乃是取自理論力學中的一個非常簡單的原理，即數學量，特別是外延量都可以看成是連續軌跡運動產生的，而且所有不管什麼量，都可以認為是在同樣方式下產生的。”

他又說：“本人是靠另一個同樣清楚的原理來解決這個問題的，這就是假定一個量可以無限分割，或者可以（至少在理論上說）使之連續變小，直到比任何一個指定的量都小。”牛頓這裡提出的“連續”思想以及使一個量小到“比任何一個指定的量都小”的思想是極其深刻的。

牛頓進行微積分研究的第三階段用的是最初比和最後比的方法，否定了之前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合，不再強調數學量是由不可分割的最小單元構成，而認為它是由幾何元素經過連續運動生成的。他也不再認為流數是兩個實無限小量的比，而是初生量的最初比或消失量的最後比，這就從原先的實無限小量觀點進入了量的無限分割過程，即潛無限觀點上去。這是他對初期微積分研究的修正和完善。

牛頓在流數術中提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法），已知運動的速度求給定時間內經過的路徑（積分法）。牛頓認為任何運動存在於空間，依賴於時間，因而他把時間作為自變量，把和時間有關的固定量作為流量。不僅如此，他還把幾何圖形－線、角、體，都看作力學位移的結果，因而一切變量都是流量。

所謂“流量”就是隨時間而變化的自變量，如x、y、s、u等，“流數”就是流量的改變速度，即變化率。牛頓所說的“差率”、“變率”就是微分。與此同時，他還在1767年首次公佈了自己發明的二項式展開定理。牛頓利用它還發現了其他無窮級數，並用來計算面積、積分、解方程等。

牛頓指出，“流數術”基本包括三類問題：

第一類問題：已知流量之間的關係，求它們的流數的關係，這相當於微分學；

第二類問題：已知表示流數之間關係的方程，求相應的流量間的關係，這相當於積分學。牛頓意義下的積分學不僅包括求原函數，還包括解微分方程；

第三類問題：“流數術”的應用範圍包括計算曲線的極大值、極小值，求曲線的切線和曲率，求曲線長度及計算曲邊形面積等。

牛頓已完全清楚上述第一與第二兩類問題中的運算是互逆的運算，於是建立起微分學和積分學之間的聯繫。牛頓在1665年5月20日的一份手稿中提到了“流數術”，因而有人把這一天作為微積分誕生的標誌。

2 萊布尼茨的微積分

1684年萊布尼茨在萊比錫的《教師學報》(Acta Eruditorum)上首次發表了題為《關於求極大、極小和切線的新方法,也能用於分數和無理量的情形及非尋常類型的有關計算》(簡稱《新方法》)的文章。這是他關於微分計算要點的代表作，全文只有六頁。萊布尼茨於在此文中定義了微分概念，採用了微分符號dx，dy。

1686年萊布尼茨又在《教師學報》上發表了題為《論一種深邃的幾何學和不可分元分析以及無窮》一文。這是他最早發表的以討論積分學為主的文章，實際可看作《新方法》的續篇。萊布尼茨於在此文中討論了微分與積分，使用了積分符號∫。

萊布尼茨把最初的微積分稱為求差的方法與求和的方法。他的基本思想是把一條曲線下的面積分割成許多小矩形與曲線之間微小直角三角形的兩邊分別是曲線上相鄰兩點的縱座標和橫座標之差。當這兩無限減小時,曲線上相鄰兩點便無限接近。聯結這樣兩點就得出曲線在該點的切線。這就是求差的方法。求差的反面就是求和。當曲線下面的矩形被分割得無限小時,矩形上面的那個三角形可以忽略不計,此時就用這些矩形之和代表曲線下的面積。

早在1666年,萊布尼茨就發現帕斯卡算術三角形與調合三角形之間存在著有趣的關係。在帕斯卡三角形中,任意一個元素既等於其上一行左邊各項之和,又等於其下一行相鄰兩項之差;而在調合三角形中,任一元素均是其下一行右邊各項之和,也是緊靠其上兩項之差。

算術三角形調合三角形

萊布尼茨在筆記中寫出了各階的差和微分:

自然數 0, 1, 2, 3, 4, 5, … y

一階差 1, 1, 1, 1, 1, 1, … dy

二階差 0, 0, 0, 0, 0, …

自然數平方 0, 1, 4, 9, 16,… y

一階差 1, 3, 5, 7, … dy

二階差 1, 2, 2, 2, … d(dy)

三階差 1, 0, 0, …

他把這些與微積分聯繫起來:一階差相當於dy,它們的和等於y,如1+3+5+7=16。萊布尼茨認為,這種和與差之間的互逆性,與依賴於座標之差的切線問題及依賴於座標之和的求積問題的互逆性是一樣的。差別僅在於帕斯卡算術三角形與調合三角形中的兩個元素之差為有限值,而曲線的縱座標之差是無窮小量。這說明他在考慮無窮小量的和差運算時,已將其與他早些時候關於有限量和差可逆性關係的研究聯繫起來。由此也可看出萊布尼茨研究微積分的代數出發點,而不是幾何出發點。

3 牛頓與萊布尼茨微積分思想的碰撞

牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最傑出的幾何學家萊布尼茨的通信中，我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法。他並訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什麼不同，除了他的措詞和符號而外”（但在第三版及以後再版時，這段話被刪掉了）。因此，後來人們公認牛頓和萊布尼茨是各自獨立地創建微積分的。

牛頓從物理學出發，運用集合方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高於萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問題出發，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。

萊布尼茨認識到好的數學符號能節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此，他所創設的微積分符號遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大影響。1714至1716年間，萊布尼茨在去世前，起草了《微積分的歷史和起源》一文（本文直到1846年才被髮表），總結了自己創立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性。

4 微積分的完善

微積分學的創立，極大地推動了數學的發展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。

應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數學危機的產生。

直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發展開來。任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、柯西……歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數學也好，都是一種常量數學，微積分才是真正的變量數學，是數學中的大革命。微積分是高等數學的主要分支，不只是侷限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現代科學技術園地裡，建立了數不清的豐功偉績。

一些數學家，包括科林·麥克勞林，試圖利用無窮小來進行證明，但直到150多年之後才得以成功。在奧古斯丁·路易·柯西和卡爾·魏爾斯特拉斯的努力之下，終於實現對無窮小的符號的迴避。微分和積分的基礎終於被打下了。在柯西的著作中，我們看到了大量的基礎論證，包括通過連續來對無窮小進行定義，和用以定義微分的一個不太精確的（ε,δ）-極限定義版本。魏爾斯特拉斯推導總結了極限概念，迴避了無窮小。繼魏爾斯特拉斯之後，微積分就常以極限作為基礎，而非無窮小了。波恩哈德·黎曼使用這些概念來對積分進行嚴格定義。在這一時期，微積分這一概念被綜合成為歐幾里得空間和複平面。

科學的很多分支都研究對象的運動及其隨時間而改變的特性。例如隨著球從山上滾下來，它的位置會改變。位置的變化率就是球的速度。但是，速度本身也可能會改變。速度的變化率就是加速度。問題是，如果你有一個數學公式能夠描述球的位置，那麼你能算出它的速度和加速度嗎？幾何問題是如何確定平面上的一條曲線在任意點的陡峭度。如果曲線是關於球的位置與時間的圖形，那麼它的陡峭度就代表著球的速度。從一條曲線開始，陡峭度就是微分，曲線下邊的區域面積就是積分，而這兩個相反的過程（瞬間變化率和麵積）竟然是互逆運算。

5 微積分應用和意義

微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與大部分科學分支關係密切，包括精算、計算機、統計、工程、商業、醫藥、人口統計，特別是物理學；經濟學亦經常會用到微積分學。幾乎所有現代技術，如建築、航空等都以微積分學作為基本數學工具。微積分使得數學可以在變量和常量之間互相轉化，讓我們可以已知一種方式時推導出來另一種方式。

物理學大量應用微積分；所有經典力學和電磁學都與微積分有密切聯繫。已知密度的物體質量，動摩擦力，保守力場的總能量都可用微積分來計算.例如，將微積分應用到牛頓第二定律中：史料一般將導數稱為“變化率”。物體動量的變化率等於向物體以同一方向所施的力。今天常用的表達方式是，它包換了微分，因為加速度是速度的導數，或是位置矢量的二階導數。已知物體的加速度，我們就可以得出它的路徑。

麥克斯韋爾的電磁學和愛因斯坦的廣義相對論都應用了微分。化學使用微積分來計算反應速率，放射性衰退。生物學用微積分來計算種群動態，輸入繁殖和死亡率來模擬種群改變。

微積分可以與其他數學分支交叉混合。例如，混合線性代數來求得值域中一組數列的“最佳”線性近似。它也可以用在概率論中來確定由假設密度方程產生的連續隨機變量的概率。在解析幾何對方程圖像的研究中，微積分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐點等。

格林公式連接了一個封閉曲線上的線積分與一個邊界為且平面區域為的雙重積分。它被設計為求積儀工具，用以量度不規則的平面面積。例如，它可以在設計時計算不規則的花瓣床、游泳池的面積。

在醫療領域，微積分可以計算血管最優支角，將血流最大化。通過藥物在體內的衰退數據，微積分可以推導出服用量。在核醫學中，它可以為治療腫瘤建立放射輸送模型。 在經濟學中，微積分可以通過計算邊際成本和邊際利潤來確定最大收益。

微積分也被用於尋找方程的近似值；實踐中，它用於解微分方程，計算相關的應用題，如牛頓法、定點循環、線性近似等。比如，宇宙飛船利用歐拉方法來求得零重力環境下的近似曲線。

恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什麼像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和惟一的功績，那就正是在這裡。”有了微積分，人類才有能力把握運動和過程。有了微積分，就有了工業革命，有了大工業生產，也就有了現代化的社會。航天飛機。宇宙飛船等現代化交通工具都是微積分的直接後果。在微積分的幫助下，萬有引力定律發現了，牛頓用同一個公式來描述太陽對行星的作用，以及地球對它附近物體的作用。從最小的塵埃到最遙遠的天體的運動行為。宇宙中沒有哪一個角落不在這些定律的所包含範圍內。這是人類認識史上的一次空前的飛躍，不僅具有偉大的科學意義，而且具有深遠的社會影響。它強有力地證明了宇宙的數學設計，摧毀了籠罩在天體上的神祕主義、迷信和神學。一場空前巨大的、席捲近代世界的科xy動開始了。毫無疑問，微積分的發現是世界近代科學的開端。