“微積分” 發明史：原來牛頓也是個小心眼！

牛頓和萊布尼茨

我們先來介紹一下，“微積分”發明之爭的兩位當事人。首先，我們要說的就是，大名鼎鼎的科學巨匠——牛頓，他著名經典力學三定律深刻影響了今天的世界，他曾說過一句著名的話，我只是站在了巨人的肩膀上。

而另一位當事人，也是著名科學家——萊布尼茨，他是德國著名的數學家，率先發表了微積分定理，並且在哲學，邏輯學，倫理學，歷史學等領域頗有建樹，是一位複合型人才。

1665年，英國突然爆發鼠疫，於是就讀於劍橋大學的牛頓，就回到了母親的農場，專心致力於科學研究，後來經典物理學三大定律，光學定律以及微積分皆是從此開始，因此這一年也被“奇蹟年”。

1666年，牛頓率先發現了微積分概念——流數術，但是牛頓並未將發現成果公佈出來，只是記在自己的筆記本中，科學圈內，也只有牛頓的幾個好友知道此事。

而另一邊，萊布尼茨也在1675年發現了微積分概念，並於1684年，率先將微分概念公諸於世，2年後，又將積分概念公佈出來。於是微積分這個數學概念，就在歐洲大陸流傳開來。

而隨著微積分的名氣越來越來，雙方的摩擦也越來越多。1699年，有人率先跳出來指責萊布尼茨，認為他的微積分思想，其實是來自於牛頓的研究成果，萊布尼茨這是赤裸裸的剽竊。

之後，又有皇家學會的成員站了出來，指責萊布尼茨，只是替換掉了牛頓研究成果的幾個符號而已，微積分真正的發明者應該是牛頓。隨後英國科學界與歐洲大陸科學界，為此爆發了激烈的爭論。

看著大家這樣吵來吵去，當時的皇家學會就坐不住了，開始出來主持公道，宣佈徹查此事。經過了一年的調查，英國皇家學會，終於在1712年得出了初步結論，皇家學會最終認為，牛頓是微積分的發現者，而萊布尼茨則只是抄襲者而已。

但實際上，這是一份偏向性十分強的報告，因為這份調查報告的總結，就是皇家學會主席——牛頓本人所寫。除此之外，牛頓還在私下裡髮長文指責萊布尼茨的抄襲行為。

其實牛頓和萊布尼茨，都不是一個人在戰鬥，這場微積分發明之爭，實際上是英國科學界，和歐陸科學界的一場正面交鋒，在之後的一百年中，兩方的科學家，老死不相往來，直到1820年代，雙方的關係才有所緩和。

而那個富有爭議的微積分，也被折中地命名為“牛頓——萊布尼茨”定理。

微積分的發明史

好多人覺得數學沒有用，或者用處不大，上學學習的三角函數和二元二次方程組在實際生活中根本應用不到，一般來說，只是在購物的時候用到一些加減法而已。這種想法跟微積分是牛頓和萊布尼茨發明的一樣大錯而特錯。數學是物理的基礎，而物理髮展則推動了我們的科技，這毋庸置疑，古往今來，絕大多數的發明家首先是一個物理學家。我們的文明發展到今天的地步，亦離開不數學，航海、天文、礦山建設等許多課題都有賴於數學的發展才能得以深入研究。有一個很典型的故事，一個物理系的學生問他的老師：“為什麼近一百年來物理學都沒有什麼驚天動人的建樹？”老師想都沒想直接回答道：“因為數學沒有發展。”這雖然只是一個則故事，真偽難辨，但已經能說明數學的重要性。而數學當中在現實生活中應用最廣泛的就是微積分。

微積分的出現解決了一直困惑人們的兩個問題：第一是如何計算曲線上任意點的切線，即微分；第二是如何計算任意一塊區域的面積，即積分。所以微積分是微分學和積分學的統稱。

微積分原理示意圖

提到微積分，很多人就頭疼。但是學數學繞不開微積分，正如我國一句老話所說，“工欲善其事必先利其器”，微積分就是數學家手裡的“利器”，很多研究都是以微積分為基礎，其重要性不言而喻。提到微積分，很多人以為就是函數，其實微積分是一個統籌的概念，主要包括極限、微分學、積分學及其應用，其中微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論，積分學包括求積分的運算。提到微積分，很多人第一時間就想到牛頓和萊布尼茨，認為是這兩個人發明創建了微積分，其實不然，實際上微積分是經過幾代數學家的持續努力和研究，經過漫長時間的發展演變才得以形成。

牛頓畫像

牛頓和萊布尼茨的貢獻在於將微積分更加系統和成熟地表述出來，形成一種理論學科。這些人包括費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格、巴羅、瓦里士、開普勒、卡瓦列利等知名數學家，他們所提出的理論為微積分的創立做出了貢獻。費馬曾經提出用水平切線來找函數最大值和最小值的方法與今天微積分的求解方法極其相仿，因此拉格朗日甚至稱費馬才是“微積分之父”。更早之前甚至可以追溯到公元前7世紀，古希臘科學家泰勒斯就對球的面積、體積、與長度等問題的研究就含有微積分思想。阿基米德在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉雙曲線所得的體積的問題中也隱含著近代積分的思想。三國時期的劉徽所研究的割圓術對積分學也有研究。遺憾的是，在微積分發展最為迅速的中世紀，我國正處於閉關鎖國的明清時代，沒能與世界上其他的數學家一起狂歡。

萊布尼茲畫像

在當時，牛頓和萊布尼茲發明微積分還引起了一場軒然大波，英國皇家學院支持本土的牛頓，而另外一些歐洲大陸的國家則推崇德國的布萊尼茨，這一對抗竟然綿延了一個世紀之久，導致了微積分發展的停滯。事實上，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，並且有意思的是兩個人也是在相近的時間裡先後完成自己的研究。牛頓創立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是萊布尼茨正式公開發表微積分這一理論卻要比牛頓早三年。時間的先後並不能說明多少問題，而且他們雖然都是研究微積分，但研究方向其實並不相同，牛頓在1671年寫了《流數術和無窮級數》，指出變量是由點、線、面的連續運動產生的。他在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度，或已知運動的速度求給定時間內經過的路程。萊布尼茨在1684年發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻。這篇文章的題目相當搶眼，叫做《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。這篇看上去有些潦草的文章卻包含了現代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發表了第一篇關於積分學的文獻。現今我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨所選擇的。簡單來說，牛頓研究微積分著重於從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重於幾何學來考慮的。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯繫在一起：一個是切線問題——微分學的中心問題，一個是求積問題——積分學的中心問題。

微積分的英文是Calculus，這並非英語，而是拉丁語，原義是小石頭。看到這裡，可能很多人都不明白了，到底是誰要用這樣一個平實普通的事物來為命名如此高大上的一門新興學科？答案就是萊布尼茨。在古時候，人們會使用小石頭作為計算工具，久而久之，小石頭就代表了一種計算方式。因此萊布尼茨很巧妙地採用這一傳統的稱呼來為新興事物命名。另外，萊布尼茨還用拉長的S來表示積分，用d來代表差，這兩個單詞也都是從拉丁語中化來。而牛頓則創造出Fluxion（通量）這個名詞來表示導數。並且發現了第一個版本的微積分定理。所以很難說兩個人誰對微積分發明的貢獻更大。現在，人們普遍認為是牛頓、萊布尼茨兩人分別建立起各自的體系，沒有互相交流，更不存在抄襲這樣的惡劣問題。筆者這是一種非常正確和健康的學術心態，與其去糾結這樣難以查明的歷史遺留問題，不如多做一些科學研究為明天的數學大廈建設增磚添瓦。這才是每個學者應該關心的問題。