《數學簡史》，蔡天新著，中信出版社
作者：蔡天新
編輯：婉珺
“對此命題我有一個非常美妙的證明，可惜此處的空白太小，寫不下來。”
——皮埃爾·德·費爾馬
從文藝復興時期的藝術家身上我們不難看出，繪畫作為空間藝術的代表與幾何學有著不可分割的聯繫，正如古希臘數學家畢達哥拉斯及其弟子們已意識到，代數或算術與時間藝術的代表——音樂有著密切的聯繫。
一個有趣的現象是，直到17世紀後期，歐洲才誕生了第一批偉大的音樂家，如意大利的維瓦爾第（A.Vivaldi，1678—1741）、德國的巴赫（J.S.Bach，1685—1750）和英國的亨德爾（G.F.Handel，德裔，1685—1759），他們比那些繪畫或雕塑大師們的出現時間晚得多。同樣，在微積分誕生之前，唯有幾何學在數學中佔據了重要地位，它的核心當然是歐幾里得幾何。
以往，歐洲的數學家們大多自稱為幾何學家，無論是歐幾里得的名言“在幾何學中沒有王者之路”，還是立在雅典柏拉圖學園門口的牌子“不懂幾何學者請勿入內”，似乎都昭示了這一點。甚至帕斯卡爾在《思想錄》中也有這樣的自謙之詞，“凡是幾何學家只要有良好的洞見力，就會是敏感的；而敏感的人若能把自己的洞見力運用到幾何學原則上去，也會成為幾何學家。”
隨著笛卡爾座標系的建立，用代數方法研究幾何學的橋樑得以構建，作為附庸物的代數學的面貌也有了改觀。可是，那時候代數學的工作重心依然圍繞著解方程問題，代數學（與幾何學一樣）的真正革命性的變革要等到19世紀才會來臨。如果說率先有所突破，這個領域就是數論——一個專注於自然數或整數的性質及其相互關係，時常遊走於代數的宅前院後的最古老的數學分支。那主要是因為一個隱名埋姓的業餘愛好者的興趣和努力，他便是法國南方城市圖盧茲的一個文職官員——皮埃爾·德·費爾馬（Pierrede Fermat，1601—1665）。
皮埃爾·德·費爾馬
專心於業餘愛好，讓後來的數學家們忙碌了好幾個世紀
作為一個遠離首都巴黎的外省人，費爾馬從事的司法事務佔據了他白天的時間，而夜晚和假日幾乎全被他用來研究數學了。部分原因是那個時候的法國反對法官們參加社交活動，理由是朋友和熟人可能有一天會被法庭傳喚，與當地居民過從甚密會導致偏袒。正是由於遠離圖盧茲的上流社會交際圈，費爾馬才得以專心於他的業餘愛好。他幾乎把每一個夜晚都奉獻給了數學，完成了許多極其重要的發現，對數論問題尤為感興趣，提出了許多命題或猜想，使得後來的數學家們忙碌了好幾個世紀。
費爾馬所證明的完整結論並不多，其中著名的有：每一個奇素數都可用且僅可用一種方式表示成兩個平方數之差；每一個形如4n+1的奇素數，作為整數邊長的直角三角形的斜邊，僅有一次機會，其平方有兩次機會，其立方有三次機會，等等。例如：
更多的時候，費爾馬只是給出（以通信或以出競賽題的方式）定理的結論而不給出證明。例如，整數邊長的直角三角形的面積不會是某一個整數的平方數；每一個自然數可表示成4個（或少於4個）平方數之和。值得一提的是，這個結論的推廣就是著名的“華林問題”，有關華林問題的研究為我國數學家華羅庚（1910—1985）帶來了最初的國際聲譽，華羅庚對數學的貢獻涉及解析數論、代數學、多複變函數論、數值分析等領域。
費爾馬提出的上述兩個命題後來均由法國數學家拉格朗日給出證明，瑞士數學家歐拉對費爾馬問題花費了更多的精力（兩個人都生活在晚於費爾馬的18世紀）。
歐拉肖像
事實上，在歐拉漫長的數學生涯中，他幾乎對費爾馬思考的每一個數學問題都做了深入細緻的研究。例如，費爾馬曾猜測，對每一個非負整數n，
均為素數（“費爾馬數”）。對於0≤n≤4，費爾馬做了驗證。歐拉卻發現，F5不是素數，不僅如此，他還找到F5的一個素因子641。事實上，從那以後，人們再也沒有發現新的費爾馬數。
又如，1740年費爾馬在給友人的信中提出了這樣一個整除的命題：如果p是一個素數，a是任一與p互素的整數，則ap–1–1可被p整除。將近100年以後，歐拉不僅給出了這個命題的證明，而且把它推廣到任意正整數的情形，由此他引進了後來被稱作歐拉函數的φ(n)，即不超過n且與n互素的正整數個數。例如，φ(1)=φ(2)=1，φ(3)=φ(4)=φ(6)=2，φ(5)=4，…歐拉證明了，若a和n互素（沒有相同的公因子），那麼aφ(n)–1可被n整除。
上述結果及其推廣分別被稱為“費爾馬小定理”和“歐拉定理”。有意思的是，現代社會所產生的信息安全問題使得公鑰加密算法成為密碼學的強有力工具，歐拉定理在其中發揮了重要作用。不過，對於下列被稱為“費爾馬大定理”的猜想（1637），歐拉卻無能為力。這個定理是這樣說的：當n≥3時，方程
無正整數解。當n=2時，它就是畢達哥拉斯定理的數學表達式，有無窮多組正整數解，且可以用一個清晰的公式來表達。n=4的證明是費爾馬自己做出的，歐拉只給出了n=3（比n=4難）的證明，且並不完整。
在此後的300多年間，這個問題吸引了無數聰穎智慧的頭腦。可是，直到20世紀末，費爾馬大定理才由客居美國的英國數學家懷爾斯給出最後的證明，這條消息連同費爾馬的肖像一起登上了《紐約時報》的頭版頭條。事實上，懷爾斯證明的是以兩位日本數學家名字命名的谷山—志村猜想的一部分，該猜想揭示了橢圓曲線與模形式之間的關係，前者是具有深刻算術性質的幾何對象，後者是來源於分析領域的高度週期性的函數。在通向證明費爾馬定理的路途中，還有許多數學家做出了重要貢獻。
特別值得一提的是，德國數學家庫默爾（E.E.Kummer，1810—1893）建立了理想數理論，由此奠定了代數數論這門新學科的基礎，這或許比費爾馬大定理更重要。庫默爾的岳父是作曲家門德爾鬆（F.Mendelssohn，1809—1847）的堂兄、數學家狄利克雷的妻舅。
有意思的是，費爾馬是在古希臘數學家丟番圖的著作《算術》一書的拉丁文版本空白處寫下他的評註（猜想）的。在這條評註的後面，這位喜歡惡作劇的遁世者又草草地寫下一個附加的注中之注，“對此命題我有一個非常美妙的證明，可惜此處的空白太小，寫不下來”。
1670版的《算術》中包含了費爾馬大定理（Observatio Domini Petri de Fermat 那部分）。
數論之外，其他領域也廣泛涉獵
在數論以外，費爾馬也做出了許多重要貢獻。例如，光學中有所謂的費爾馬原理，即在兩點之間傳播的光線所取路徑所需的時間最短，無論這路徑是直的還是因為折射變彎。由此可以得出一個推論，即光在真空中以直線傳播。在數學⽅⾯，費爾馬獨⽴於笛卡爾發現瞭解析⼏何的基本原理，求曲線的極⼤值和極⼩值⽅法使他被譽為微分學的創始⼈，他與帕斯卡爾的通信又創⽴了概率論。兩位數學家最初討論的其實是賭博問題，即有兩個技巧相當的賭徒A和B，A若取得2點（局）或2點以上即獲勝，⽽B要取得3點或3點以上才獲勝，問雙⽅的勝率各為多少？
費爾馬是這樣考慮的，他⽤a表⽰A取勝，⽤b表⽰B取勝，因為最多4局就可分出勝負，故所有可能的情形如下：
aaaa aaab abba bbabbaaa baba abab babaabaa bbaa aabb abbbaaba baab bbba bbbb
不難看出，A獲勝的概率是11/16，B獲勝的概率為5/16。
這裡需要提及比概率論稍晚出現的統計學，它主要通過收集數據，利用概率論建立數學模型，進行量化分析、總結，進而做出推斷和預測，為相關決策部門提供參考和依據。從物理到社會科學、人文科學，再到工商業和政府決策，都需要統計學，其最主要的應用是在保險業、流行病學、人口普查和民意測驗方面。如今，統計學已從數學中獨立出來，成為繼計算機之後數學派生的又一級學科。
統計學的⿐祖是亞⾥⼠多德，但那時統計學尚未成為真正的學科。正如概率論源於賭徒問題，統計學起源於對死亡率的分析。1666年的倫敦大火既燒燬了聖保羅大教堂等建築，也消滅了萬惡的鼠疫。服裝店老闆格朗特（J.Graunt，1620—1674）失了業，在此前後他熱衷於研究130年以來倫敦的死亡記錄，他通過兩個生存率（6歲和76歲）預測出隨後各年活到其他年紀的人數比例及其預期壽命。1693年，英國天文學家哈雷（E.Halley，1656—1742）也對德國佈雷斯勞（現為波蘭弗羅茨瓦夫）的死亡率進行了統計研究。
最後，我們回到費爾馬大定理，它曾被比喻成“一隻會下金蛋的雞”。當懷爾斯宣佈攻克此定理時，數學界歡呼之餘又有不少人嘆息，擔心日後再也沒有推動數論發展的問題了。可是沒過幾年，便有“abc猜想”顯露出重要性，這是與整數的兩大運算——加法和乘法相關的一個不等式。設n為自然數，它的根是其所有不同素因子的乘積，記為rad(n)。例如，rad(12)=6。1985年，法國數學家奧斯達利（M.Oesterlé，1954—）和英國數學家馬瑟（D.Masser，1948—）提出了abc猜想，其弱形式為：對滿足a+b=c，(a,b)=1的任意正整數a、b、c，恆有
abc猜想或其弱形式問題的解決可推動數論中一批重要問題的解決，同時，一些著名的定理和猜想也可以輕鬆得到證明，後者囊括了費爾馬大定理等4項菲爾茲獎成果。以費爾馬大定理為例：反設對某個n≥3，存在正整數x、y、z，使得xn+yn=zn，取a=xn，b=yn，c=zn，由abc弱形式可知，zn[rad(xyz)n]2(xyz)2z6。因此，n=3、4或5，這三種情形可通過初等的方法予以排除。
作者名片
本文摘自蔡天新著作《數學簡史》
排版：曉嵐
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