一、數學教育的意義探求

作為一個獨立知識體系的數學起源於古希臘。數學發展的全部歷史，大致可以劃分為四個時期：

從遠古時期到公元前六世紀、五世紀，是積累事實材料的數學產生時期；

接著是初等數學時期(或常量數學時期)，這個時期的開端是著名的歐幾里德《幾何原本》，把幾何建立成獨立的的科學，這個時期一直延續到十七世紀；

無窮小分析的創立決定了新的、第三個時期——古典高等數學(或古典分析學)時期的開始；

最後，十九世紀前半葉由羅馬切夫斯基和鮑耶創立非歐幾里德幾何體系是第四個時期——現代數學時期的開端。每一個新時期的開端，都以決定數學向本質上嶄新的狀態過渡到傑出的科學成就作為標誌。

(一)數學本質的認識

美國數學家柯朗和羅賓斯合作於1941年出版了一本書，名字叫<什麼是數學》。雖然這本書並沒有就數學的概念和含義進行探討，而是作為大學生、研究生和對科學真正有興趣的專業人員提供的一本非常規的基礎數學教材，但他就數學提出的一些問題對於數學教育的發展卻是振聾發聵的。他說：“數學教學有時竟演變成空洞的解題訓練。這種訓練可以提高形式推導的能力，但卻不能導致真正的理解與深入的獨立思考。他認為一直以來，大家都認為每一個受教育者都必須具備一定的數學知識。但直到現在，數學教學的解題訓練使數學教育陷入了危機之中，而對於這種危機，數學工作者是要負責任的。

“教師、學生和一般受過教育的人都要求數學家有一個建設性的改造，而不是聽其自然，其目的是要真正理解數學是一個有機的整體，是科學思考與行動的基礎”。

他對數學教育和數學的發展甚感焦慮，“數學研究已出現了一種過分專業化和過於強調抽象的趨勢，忽視了數學的應用以及與其他領域的聯繫”，他提出的解決辦法是“那些醒悟到培養思維重要性的人，要更加重視和加強數學教學。"

那麼什麼是數學?有人說：“數學是一個知識體系，一種實際工具，哲學的一塊基石，完善的邏輯方法，理解自然的鑰匙，真實的自然，一種智力遊戲，理性的冒險，美感的經驗。”《中國大百科全書·數學卷》認為：“數學是研究現實中數量關係和空間形式的，簡單地說，是研究數和形的科學。”思格斯對數學的對象所下的經典性的定義是眾所周知的，恩格斯說：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關係，所以是非常現實的材料。”恩格斯給數學下定義是在他的名著《反杜林論》中給出的，但“這本著作出版以來，經過了大約一百年時間。在這一個世紀裡，數學有了蓬勃的發展，基本的概念和方法發生了根本變化，這一個世紀是現代數學形成時期。恩格斯寫<反杜林論》的時期(1876---1877)，非歐幾何和多維空間幾何在數學家中剛剛被承認，群論剛剛形成，集合論剛剛產生，而數理邏輯才誕生，對現代數學的發展起重要作用的電子計算機，在二十世紀四十年代才出出，完全可以理解，恩格斯不可能估計到數學發展新時期的特點。"回邏輯之父亞里士多德曾說：“數學是計量的科學。一後來法國哲學家孔德說成“數學是間接計量的科學"。而在這之前笛卡將數學說成是解釋所有我們能夠知道的順序和度量的一門普遍科學。由於數學的性質及其應用途徑不斷髮生變化，新的數學領域不斷湧現，數學的應用範圍的不斷擴充，加之隨著知識的發展，都要求發展新的數學，因而人們對“什麼是數學"的認識發生了很多變化。有的學者認為“數學是理性思維的科學，數學是通用的科學語言，數學是推理的藝術，數學是猜測的學問，數學是解釋，數學是比喻，數學是文化等等，都從某一側面談到了對數學本質的理解。

有的學者從傳統認識到現代隱喻兩方面對數學進行了晃定，他認為“在傳統認識上，

第一，數學存在於理念世界，數學對象包括數和由數組成的算式，這都是柏拉圖理念世界的真實存在；

第二，數學對象是抽象的存在，數學對象是存在於可感事物中的不可感之物；

第三，數學是綜合判斷，數學是獨立於感覺經驗而可知的，數學真不能由對概念分析來判定，數學是綜合的；

第四，數學是一種約定，數學的公理、符號、對象、結論的正確性，無非是人們之間的一種約定；

第五，數學就是邏輯，羅素和懷特海合著的《數學原理》的主要目的是說明整個純粹數學是從純乎是邏輯的前提推出來的；

第六，數學是直覺構造，數學的對象，必須能像自然數學那樣明示地以有限步驟構造出來，才可以認為是存在的；

第七，數學是形式符號，形式主義認為，數學都有其公理系統。

在現代隱喻上，數學是一種文化；數學是一種藝術；數學是一種語言：數學是一種方法：數學是一種思維；數學是一種創造。

一黴數學家和數學哲學家為數學作了各自認為滿意的定義，但這些定義之間並非都是等同的，它們都只能是近似地反映出數學這門科學當時所處的狀態和某些側面的性質和特點，其中任何一個都不能作為數學的準確的永恆的定義。

數學是什麼?

數學是鑰匙，是打開科學之門的鑰匙：

是語言，是一門世界性科學語言；

是藝術，它具有藝術的形式美；

是工具，是征服科學的工具；

是方法，是解決各種實際問題的有效方法：

是體育，是思維鍛鍊的體操；

是文化，是促進民族興衰的文化。

但這些都不能作為數學的定義，因為上述任何一條都不是數學獨有的特徵。許多人贊成用“量”來定義數學回，這種定義表現了數學的來源，但量又是什麼，它是哲學上難以界定的基本範疇之一，並無確定的內涵，隨著時間的推移和人們認識的擴展，量的內涵越來越普遍，人們也就無從把握住量的全部內涵，從而用量去定義數學也就變得含糊其辭了。

19世紀末20世紀初，人們曾為了尋求數學的最終的真理性和可靠性進行了認真的研究和爭辯，但都未得出什麼明確結果。因此要想給數學一個精確的定義，是十分困難的。對於“什麼是數學"這一問題不存在任何最終的、絕對的回答；恰恰相反，對此我們應當採取發展的觀點。正如懷爾德所說：“試圖給數學下定義所遇到的困難看來主要來自這樣的假設，即認為數學就其本質而言是絕對的、不隨時間和地點而改變的事物⋯⋯既然數學不是上述事物，任何刻畫它的企圖肯定只能失敗。"數學有著明顯的時代特徵，它徘徊在現實與非現實之間，它的意義不存在於形式的抽象中，也不存在於具體的實物中。什麼是數學?它是獨特而唯一的。

(二)數學教育的特徵

對任何科學知識的認識與傳承，都需要對其內涵和外延進行深刻的理解。儘管不同的人對數學有不同的認識，但不可否認，數學，作為獨立於經驗的人類思想的產物，有其自己獨有的特徵，因而對於數學的教育來說也具有幾下幾個明顯特徵。

1．抽象性

數學是抽象性極強的科學，數學的對象都是抽象思維的產物。

數本身就是一個抽象概念，幾何中的直線也是一個抽象概念，全部數學的概念都具有這一特徵。例如，從5只鳥、5本書、5棵樹這類具體事物中抽象出“5"這個數字概念；歐拉把哥尼斯堡的“七橋問題，，抽象成“一筆畫”問題。要把這種抽象的數學知識讓學生理解，數學教育必須藉助於數學符號、數學圖形來完成，因而數學教育的抽象性這時就體現在數學文字語言、數學圖形語言、數學符號語言與數學知識之間的一種轉化。另外，由於數學抽象出來的本質屬性或特徵就存在於同類事物之中，只保留量的關係和空間形式而捨棄其他一切；數學抽象是一級一級逐步提高的，它所達到抽象程度大大超過了其他學科的一般抽象。表現出以下四種類型：“經過這樣抽象獲得數學對象，在概念外延上更寬廣一些，但在內涵(或結構上)就貧乏軟弱一些，稱為弱抽象；它的產物不是從同類事物的眾多屬性或特徵中抽取出來，而是通過把新特徵引入原有數學結構加以強化而形成的，稱為強抽象；一些不能由現實原型直接抽取的，完全理想化的數學對象抽象類型的產物，稱為構象化抽象；第四種抽象也具有完全理想化的色彩，不過其產物不是某種新的數學概念，而是對新的公理(或基本法則)的完全理想化的構想，稱為公理化抽象。"回而“數學教育的任務是形成和發展那些具有數學思維(或數學家思維)特點的智力活動結構，並且促進數學中的發現。”我們可以看到，自然科學家為了證明自己的診斷常常求助於實驗，而數學家常常藉助於的是思考、推理與計算，這就是說，不僅數學的概念是抽象的，而且數學的方法也是抽象的，在數學教育中應注意這個抽象意識的培養。

2．簡約性

數學語言和數學符號是數學簡約性的重要表現形式，也是數學抽象物的表現形式。“數學不僅是事實和方法的總和，而且是(也許甚至首先是)用來描述各門科學和實際活動領域的事實和方法的語言。一回有人認為，學過數學的多寡的人很容易加以辨認，數學能力較強的人“簡潔地描寫複雜現象的能力”“通過數學教學，使學生的思維有序化，有條不紊。"①數學往往避重就輕，以簡取勝。千言萬語說不清，用數學語言可以一言以蔽之。數學史上有這樣一則故事：“當年匈牙利知名數學家厄爾多斯要測試聰明小孩波薩(Posa)的才華，即興命題：‘在1至2000這兩千個自然數中，任取一千零一個數，那麼一定有兩個互素。’小孩用分類方法做出滿分的答卷。後人在複述這個故事時，常歸結為：證兩相繼自然數互素。

怎樣證兩相繼自然數n，n+l(n>1)互素?與其用頗費口舌的反證法，不如用我國三世紀時劉徽<九章·方田》注的更相減損術。只需做一次減法：n+l—n=1，於是(n，n+1)--1，命題已證。

難道還有比這更簡練的說法嗎?"如果不通過數學教育活動，到哪裡能找到如此簡結的問題解決方法。

3．形式化，

數學形式化是用形式符號體系表現的，形式化要使用徹底的形式語言，把數學思維過程中所有能夠表述出來的東西，包括邏輯聯繫詞、推理符號、公理、定理等，完全用符號表示。數學教育關注學生在研究複雜問題時，能抓住問題的關鍵所在，構造出形式化的數學模型。哲學家培根曾說：數學是科學的大門鑰匙，忽視數學必將傷害所有的知識，因為忽視數學的人是無法瞭解任何其他科學乃至世界上任何其他事物的。但在現實生活中表現的往往更為嚴重，因為忽視數學的人甚至不知道是一種疏忽，也不能理解為什麼疏忽將最終導致無法尋求任何補救的措施。在17世紀，布萊澤·帕斯卡爾曾為人類之無助感到悲哀。然而現在，數學給予了我們關於世界巨大領域知識的控制權，從日心說到量子理論，從哈雷慧星到電磁波的發現，從天文知識到物理世界，從地質勘探到文學藝術，無一不閃現出數學的身影。“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數學無處不在刀(華羅庚語)。數學的形式化體現在一切科學的深處，成為解釋和創造社會的得力助手與工具，缺少了數學就不能準確刻畫出現實生活中客觀事物的變化，更不能由已有的結論推導出其它結論，從而會阻礙社會的進步和科學的發展，現實一點說，會減少現實生活中對事物發展規律的科學預見的可能性和減弱科學預見的精確度。“數學是調節理念和實踐、思想和經驗之間差異的工具。它建起了一座連通雙方的橋樑並在不斷地加固它。事實上，全部現代文明中有關理性認識和征服自然的部分都有賴於數學!"

4．邏輯性

數學與邏輯的關係至少可以上溯到數學還是一門經驗性科學的年代。以羅素和弗雷格為代表的邏輯主義數學觀認為：數學就是邏輯。羅素和懷特海合著的<數學原理》的主要目的是說明整個純粹數學是從純乎邏輯的前提推出來的，並且只使用以邏輯術語說明的概念。“邏輯是數學的青年時代，數學即邏輯的壯年時代，青年與壯年沒有截然的分界線，故數學與邏輯亦然。”數學與邏輯有以下共同的特點：

(1)數學思維與邏輯思維都具有極強的符號化和形式化特徵，並且在現代數理邏輯中實現了高度的統一；

(2)數學的形式結構和邏輯的形式結構都是以人這個認識主體對於客體所加的作用和動作的最普遍的協調作用中抽象出來的；

(3)數學結構和邏輯結構都是具有一定相對獨立性的客觀的思想事物，它們的規律在科學的各分支領域都是普遍適用的。在羅素看來，從邏輯和數學共同接受的前提出發，不可能畫出一條清晰的分界線，其左邊是邏輯，右邊是數學。因而在很長一段時間，談到數學的教育就是邏輯的教育，我國最初的數學教育的三大能力，最為重要的就是培養學生的邏輯思維能力。

5．優美性

羅丹說：自然總有美存在。伽利略則宣稱道：自然這本書是用數學語言寫成的。哪裡有數，哪裡就有美。數學美的比例中最負盛名的是為開普勒稱為歐氏幾何學兩顆明珠之一的黃金分割。

人體最優美的身段遵循著這個黃金分割比；令人心曠神怡的花憑藉的也是這個美的密碼，就連芭蕾舞藝術的魅力也離不開它。藝術家利用它塑造了令人讚歎的藝術珍品，科學家利用它創造了豐碩的科技成果。這個比例值因抬高了身價而被稱神聖化為黃金數了，成了宇宙的美神。數學總是美的，數學是美的科學，數學教育就要把這種數學之美進行傳遞。在數學思維觸角的每一次延伸中，引導學生體會她奇妙無窮的理性之美：在撲朔迷離的符形數謎中，讓學生感受到智慧之美；在平移和旋轉的變化中，感受到變換之美；在聆聽精煉嚴謹卻蘊意豐富的訴說中，感悟到簡潔之美：在“整與分、和與差、偶與奇、曲與直”的平衡匹配中，在優美的拋物線的伸展之中，讓學生感受穩定協調對稱之美；在徜徉於數學的各個領域錯綜複雜的關係中，感覺到數學獨立與聯繫的結構之美；在數與形你中有我、我中有你的演繹中，感嘆統一之美。哈爾莫斯說過：數學是一種獨具匠心的藝術。這種藝術正像遼闊的海洋，那大海深處蘊含著一個五彩繽紛的世界。當你暢遊其中時，你會為這無垠海洋中數不盡的奇珍的美而陶醉。數學的美還不僅限於感官上的美，它的美還在於它內涵和諧有序。

(三)數學教育的意義

隨著數學的深入發展，無論是數、結構、模式、關係、形狀、推理，還是概率、統計分析、抽樣，都是數學科學研究的對象，科學研究的結果形成了特定的認知體系。從數學的發展來講，認為數學知識來源於經驗，數學的理論知識不如直覺知識清楚和可靠，數學是處於從感性認識過渡到理性認識的一個階梯，是一種理智認識，其傾向性是注重數學知識的來源和過程，被稱為數學本質的經驗傾向性說；有形式傾向性說，其傾向性是注重數學知識的形式邏輯和按演繹體系展開的特點，認為數學是演繹科學：有綜合(調和)說，認為數學是一門演算科學、數學是一門擬經驗科學，其目的是試圖解釋或調和由經驗性說法和演繹性說法產生的矛盾，揭示數學“對立統一一的辯證關係；有先驗論說法，認為全部算術和全部幾何學都是天賦的。∞數學家、數學教育家和數學哲學家從數學內部(數學的內容、表現形式、研究過程)和數學外部(數學與社會的關係、數學學科與其它學科的關係、數學與人的發展的關係)等幾個方面對數學的本質進行了研究，他們所得到的結論從某一側面反映了數學的本質，為全面認識數學教育提供了一些視角。數學是--I"7探索、動態的、發展的科學，對數學的認識應隨著數學的發展而發展。

徐豔斌教授認為，數學教育能“把握生活實踐，認識數學文化，加強全球化視野，增進日常思維能力，培養社會責任心。由於社會的發展是連續的，有賴於人的不斷創造和創新，因而數學教育的意義更多體現在思想、文化和創造上。

1．生成思想

數學教育的任務是讓學生學習和掌握數學科學，其實質就是形成良好的數學思想方法。這些思想主要包括形式與內容、運動與靜止、偶然與必然、現象與本質、原因與結果、精確與近似、整體與局部等基本與重大的思想，也包括分析與綜合、歸納與演繹以及公理化、轉化、函數與方程、概率與統計等一般的科學及數學特有的思想。凹集合理論的創始人康托爾(Cantor，Georg,1845--1918)曾說：數學的本質就在於它的自由。人類正是在這種自由思想的引領下，從數數開始逐漸建立純粹數學到常數數學，再從常數數學到變量數學再到現代數學。

近代以來，數學又進入了人文科學領域，並在人文科學領域發揮了數學強大的優勢，人文科學數學化成為一種強大的趨勢。當代數學發展的主流是在科學的數學化的同時，也出現了數學的科學化。數學的主題仍然是認識字宙，也認識人類自己。普洛克努斯說“所以說數學就是這樣一種東西：她提醒你有無形的靈魂，她賦予她所發現的真理以生命；她喚起心神，澄淨智慧；她給我們的內心思想添輝；她滌盡我們有生以來的矇昧與無知。

2．涵養文化

數學作為一種文化，其植根於人類豐富思想的沃土之中，是人類智慧的結晶。美國人類學家c·恩伯、M．恩伯認為：“文化指的是任何社會的全部生活方式"，人類特有的行為方式和方法就是人類的文化，當然這種行為方式和方法“包含了後天獲得的，作為一個特定社會或民族所特有的一切行為、觀念和態度。”自從人類產生以來，人類的行為和思維就伴隨著數和形的活動，成為一種特有的智力活動。美國數學家懷爾德(R．L·Wilder,1898---1982)1981年從數學人類學的角度提出了“數學種文化體系”被認為自1931年以來出現的第一個成熟的數學哲學觀。回給出了影響數學發展的力量主要有：環境的力量；遺傳的力量；符號化；文化傳播；抽象；一般化；一體化；多樣化；文化阻滯；文化抵制；選擇。“把數學看成是一個由於內在力量與外部力量共同作用而處於不斷髮展和進化之中的文化系統，數學活動就其性質來說是社會性的。數學教育的意義體現的就是一種文化涵養的意識。

3．孕育創造

數學代表了一種理性主義的探索精神。從古希臘幾何到希爾伯特的《幾何基礎》，哥白尼、開普勒、伽利略和牛頓的成果使許多夢想的實現成為可能。數學關係是宇宙之鑰，萬物通過數學得以理解。數學家對平行公理的長時期的反思，其結果是非歐幾何得以發現，這是一場巨大的暴風雨，其深遠而巨大的後果導致了相對論的誕生。阿爾伯特·愛因斯坦在其<相對論雜談》中說：“這裡產生了一個困惑了古今科學家的謎。數學，作為獨立於經驗的人類思想的產物，怎麼可能與物理實在中的客體符合得那麼奇妙?通過純粹思想人類理性無需經驗就能發現實在事物的性質?"“觀念的世界看來不能用邏輯的方法從經驗中推導出來，而從某種意義上說是人類心智的創造，沒有這種創造就沒有科學。"數學作為人類悟性的自由創造物，鼓舞著人們從事理性的探索。“沒有非歐幾何，自然也就沒有相對論，沒有全部現代的物理學以及以之為基礎的全部現代技術。那樣也不會有全部關於數學基礎的研究，不會有形式系統這樣的思想，不會有哥德爾，同樣也不會有計算機。更重要的是，沒有人類理性思維的高度發展，人的精神狀態會是什麼樣呢?總之，可以毫無疑問地說，沒有現代數學就不會有現代文化。”換用鮑耶依·亞諾什的名言：數學從一無所有之中創立了一個新宇宙。