說到函數，不管大家數學成績如何，多多少少都會了解一些。函數這一塊知識內容可以說是貫穿於整個數學學習，特別是進入初中後，我們就要學到一次函數（正比例函數）、反比例函數、二次函數等等。進入高中、大學就更不用說，出現各種各類的函數，讓很多人直呼數學學習不容易啊。
函數的學習非常講究邏輯系統性，加上整塊知識內容抽象性非常強，知識點繁多等等，需要大傢俱備較好的數學基礎，提高綜合學習能力，才能從容面對函數的學習。如基於函數的圖象、性質、表達式等等，我們如去描述一個函數，即函數的表示方法一般就有四種：解析式法，列表法、圖像法和語言描述法。
解析式法是指用含有數學關係的等式來表示兩個變量之間的函數關係的方法。
列表法是指用列表的方法來表示兩個變量之間函數關係的方法。
圖像法是指把一個函數的自變量x與對應的因變量y的值分別作為點的橫座標和縱座標，在直角座標系內描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做該函數的圖象。
解析式法，列表法、圖像法這三種方法是我們最常用表示函數的方法，各有各的優缺點，如解析法的優點是能簡明、準確、清楚地表示出函數與自變量之間的數量關係；缺點就是求對應值時往往要經過較複雜的運算，而且在實際問題中有的函數關係不一定能用表達式表示出來。
因此，基於這三種方法優缺點，還有一種表示函數的方法叫語言敘述法，即使用語言文字來描述函數的關係。
很多人看到這裡就能感受到函數學習的複雜性，這主要是基於函數本身的特殊性來決定。我們一起看看現代數學對函數作出的定義，大家就能看出一些端倪。
設A，B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那麼就稱映射f:A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x),x∈A或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}。
其中x叫作自變量，y叫做x的函數，集合A叫做函數的定義域，與x對應的y叫做函數值，函數值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函數的值域，f叫做對應法則。
其中，定義域、值域和對應法則被稱為函數三要素，一般書寫為 y=f(x),x∈D，若省略定義域，一般是指使函數有意義的集合。
從函數的定義，我們可以看出函數是發生在集合之間的一種對應關係。同時根據“如果按照某種確定的對應關係f”這句話，我們一定要深入去理解發生在A、B之間的函數關係不止且不止一個。
因此，當函數的對應法則可以用解析式表示時候，我們就用解析式來表示；如果函數關係是無法用解析式表示的，那麼就需要用圖像、列表及其他形式來表示。
數學學習我們講究的是前因後果的邏輯關係，只有掌握好每一個環節，你才能真正地去理解某一個知識點所蘊含的意義，才能明白掌握基礎知識對數學學習是多麼重要。就像函數這一概念，並不是憑空產生，它的發展歷史就是一部數學歷史的縮寫，我們一起來簡單瞭解一下。
在17世紀早期，意大利數學家伽俐略在《兩門新科學》一書中，就用文字和比例的語言表達函數的關係，這是早期關於變量或函數概念的描述。
在1637年前後，法國數學家笛卡爾在他的解析幾何中，已經提到一個變量對另一個變量的依賴關係。可惜的是可能居於當時數學知識有限，笛卡爾沒有進一步提煉函數概念。
在17世紀後期，雖然英國物理學家、數學家牛頓和德國哲學家、數學家萊布尼茲建立微積分，為數學發展建立里程碑。可惜的是當時兩人以及同時期的數學家都沒有人明確函數的一般意義，大部分函數是被當作曲線來研究的。
如在1673年，萊布尼茲首次使用“function”（函數）表示“冪”，但他也只是用該詞來表示曲線上點的橫座標、縱座標、切線長等曲線上點的有關幾何量。牛頓在微積分的討論中，使用的是 “流量”來表示變量間的關係。
在1718年，瑞士數學家約翰·柏努利在萊布尼茲函數概念的基礎上，對函數概念進行了定義：“由任一變量和常數的任一形式所構成的量。”他的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數，並強調函數要用公式來表示。
在1748年，瑞士數學家歐拉在其《無窮分析引論》一書中把函數定義為：“一個變量的函數是由該變量的一些數或常量與任何一種方式構成的解析表達式。”
歐拉最大的進步就是把約翰·貝努利給出的函數定義稱為解析函數，並進一步把它區分為代數函數和超越函數，還考慮了“隨意函數”。
1755年，歐拉給出了另一個定義：“如果某些變量，以某一種方式依賴於另一些變量，即當後面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為後面變量的函數。”
可以看出，歐拉的函數定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義，促進當時數學的發展。
在1821年，法國數學家柯西結合前人的函數知識，從定義變量起給出了函數的定義：在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數。
柯西最大貢獻就是首先出現了自變量一詞，同時指出對函數來說不一定要有解析表達式。可惜的是柯西認為函數可以用多個函數解析式來表示，這就侷限了函數的發展。
在1822年，法國數學家傅里葉經過研究發現，某些函數可以用曲線表示，也可以用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把人們對函數的認識推進了一個新的層次。
在1837年，德國數學家狄利克雷大膽提出，怎麼樣去建立x 與y之間的關係不是重要事情。在這個基礎上狄利克雷拓廣了函數概念，他認為：對於在某區間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那麼y叫做x的函數。
狄利克雷對函數的定義最大特點就是避免了函數定義中對依賴關係的描述，以清晰的方式被所有數學家接受，這也是我們經常說的經典函數定義。
函數的定義真正發生質的變化，是在德國數學家康託創立集合論之後。
美國數學家奧斯瓦爾德維布倫運用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數定義，利用集合概念把函數的對應關係、定義域及值域進一步具體化了。從此打破了打破了“變量是數”的極限，變量可以是數，也可以是其它對象 。
在1914年，德國數學家豪斯道夫在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數，其避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念。
在1921年，波蘭數學家庫拉托夫斯基於用集合概念，進一步定義“序偶”，使豪斯道夫的定義更加嚴謹。
在1930年，現代數學正式對函數定義為：若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為f。
元素x稱為自變量，元素y稱為因變量。
函數關係從被發現到確立，前後經歷數百年的時間，前前後後不知多少數學家投入其中，耗費大量的時間精力等等來研究。看到這裡，大家覺得自己的數學學習夠努力了嗎？
函數的英文名是function，翻譯成中文的時候，為什麼是函數呢？
在1859年，我國清代著名數學家李善蘭在翻譯《代數學》一書時，把“function”翻譯成中文的“函數”。
李善蘭認為中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，因此“函數”是指公式裡含有變量的意思，具體來說就是：凡是公式中含有變量x，則該式子叫做x的函數。
函數的發展簡史就是數學發展歷史的一個縮影，每一個在我們今天看來非常簡單的數學名詞，背後不知道有多少數學家、數學工作者耗費一生投入其中，才有今天的數學成就。
因此，希望大家在數學學習過程中，一定要刻苦努力，講究方法，堅持不懈，多反思，多思考等等，這樣才能慢慢學好數學。