一文帶你走入全球頂尖應用數學家的世界!

數學 阿蘭·圖靈 物理 化學 中科院物理所 2017-04-20
一文帶你走入全球頂尖應用數學家的世界!

提到數學家,可能許多讀者腦海中浮現的第一幀畫面是這樣的:

一文帶你走入全球頂尖應用數學家的世界!

圖片來自"The hundred greatest mathematicians of the past"

儘管來自於不同時代,說著不同的語言,頭髮和鬍子數量也有巨大差異,每張照片裡面卻都凝聚著同樣偉大的智慧,同樣深邃的思想。數學的半壁江山濃縮在一張三寸不足的泛黃紙片上,大道至簡,令人驚歎不已;藏諸塌側,半月三旬後再度翻看,又令人回味無窮。

然而美中不足之處在於,以上名單(可搜索"The hundred greatest mathematicians of the past")主要考慮對象是在純數學領域有重大影響的人物,很多偉大的應用數學家,例如費希爾(現代數理統計和生物數學的奠基者)、香農(信息學之父)、維納(控制論之父)和伊藤清(隨機微分方程的提出者,對金融領域產生顛覆性影響)等則未能出現在這個榜單中(唯有馮諾依曼和阿蘭圖靈這兩位全才例外)。事實上這些應用數學家對整個科學界的影響是極為巨大的,只不過往往被純數學家們的光輝掩蓋住了。

筆者的目的,便是通過介紹牛津大學的一個應用數學團隊,讓讀者們對應用領域的數學家們有所認識,讓這些被掩蓋住的光輝重見天日。

第一部分 牛津大學生物數學中心

筆者曾和一位本系(數學系)的東歐小哥討論過歐美學術界的異同。當談到生物數學(筆者的主要研究方向)時,小哥信誓旦旦地說:“生物數學?!歐洲可沒多少人做這個!”

看來要讓生物數學這話足足讓我掃興了一個星期。然而一星期後筆者就收到了牛頓研究所一個生物數學會議的邀請通知:

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牛頓研究所位於英國的劍橋大學,這說明生物數學在歐洲還是相當有關注度的!正欲興致勃勃地用這封郵件同東歐小哥辯論,而當看到小哥一米九的高大身材,筆者倒吸一口涼氣;逡巡良久,只好偷偷地把郵件藏到垃圾箱,把一切人證物證爛熟在心中。

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事實上在後來的生物數學會議中,筆者又注意到了不少來自英國、法國和德國的專家與會,說明生物數學的光輝已經逐漸擴散到整個歐洲了。東歐數學家自成體系,也許生物數學這一新興“物種”尚未攻破他們的免疫防線。

生物數學在英國還是人氣頗高的。除了劍橋大學牛頓研究所旗下的生物數學研究院,牛津大學也有一個“沃夫森生物數學中心”(Wolfson Center for Mathematical Biology)。這個中心的頭目叫Philip Maini,是愛爾蘭生物數學家[1]

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Philip Maini, 圖片來自維基百科

Maini在整個應用數學界都非常活躍,可以是這幾十年來全球應用數學的發展的見證者。筆者曾在三個不同報告廳見到過Maini,每個報告廳都被這位頭髮花白的數學家裝裱地生機盎然,宛如岑參筆下一夜間被春風喚醒的千萬簇梨花——他的演示文稿並沒有繁多的文字或複雜的數學公式,但聽眾們總能在他抑揚頓挫的語調中心潮暗湧:或領悟到數學與其他學科之間的千絲萬縷,或體會到潛伏在簡單公式中的偉大智慧,或摸索出簡樸文稿背後鮮為人知的試驗探索。三言兩語便誘出千思萬緒,“大師”這兩字在這裡得到最佳詮釋。

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Maini的演示文稿。唯一的槽點大概在於文稿背景色稍微醜了些

筆者私下請教過Maini一些問題。第一次和全球頂尖的應用數學家交談總是免不了幾分羞澀,而Maini則不斷鼓勵我“There are no silly questions.”(不存在愚蠢的問題)。當筆者提出自己的一個簡單想法時,他會像激動地喊道:“我怎麼沒想到這個!”如同小孩子找到了新的玩具。這種返璞歸真的溝通方式,讓筆者備受鼓舞。

第二部分 形態發生(Morphogenesis

那麼沃夫森生物數學中心的數學家們平常都在研究什麼呢?我們可以從Maini的研究列表中得到線索(為方便大家理解,筆者對這些研究方向進行了意譯):

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圖片來自Maini的個人主頁[2]

這些研究方向看似五花八門,但基於的數學模型主要有三個:

1. 連續力學模型(描述物體在彈性介質和流體中的運動)[3]

2. 細胞的趨性模型(趨藥性、趨光性等)[4]

3. 圖靈模型(生物圖案的生成者)[5]

以上每個模型都對應著一類方程,稱作耗散結構方程(Dispersive equation)。這一類方程依賴於時間“t”和空間座標“x”,之所以叫做“耗散結構”,是因為系統的“能量”會隨著時間的推移而逐漸減小,熵增原理便是耗散結構方程的一個特例。在數學上,耗散結構方程(儘管這個術語不是數學家發明的)擁有數不清道不盡的神奇特性,所以今天我們在不同論文中看到的同時間“t”有關的偏微分方程,幾乎都是耗散結構方程。

本文中筆者將著重介紹圖靈模型。在此之前,我們先來瞻仰瞻仰圖靈這一位大帥哥:

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阿蘭·圖靈。圖片源自網絡

或許圖靈最廣為人知的是他在計算機智能領域的貢獻(例如圖靈測試)。事實上他引用量最大的論文叫做“形態發生的化學基礎”(The chemical basis of morphogenesis)[5]形態發生是一個非常廣泛的生物概念,這個概念包括了細胞分化、胚胎形成、器官形成、腫瘤擴散以及生物表面花紋的形成等。我們容易想到,形態發生是基於一系列複雜的化學反應,而圖靈的工作,則是把這些化學反應總結成為一個簡單的微分方程組:

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或許讀者們已經在筆者的其他文章中看到過這個方程了[6-8]。多一分邂逅便少幾分朦朧與曖昧,相信這個方程的再度出現能讓讀者更加體會到耗散結構方程在整個自然科學界的核心地位。筆者寫了一段代碼(用python,有興趣的讀者可參考[9])用以模擬一個簡單的圖靈模型:

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是不是很像獵豹毛皮上的花紋?

值得一特的是,圖靈模型並非唯一研究生物圖案的數學方程。物理學家們更偏向於應用復Ginzburg-landau方程(最早用於描述超導現象)和Cahn-Hilliard方程(最早用於描述二元體,如水和酒精的分離)。儘管這兩個方程的推導是從能量角度出發的,和圖靈的推導方式全然不同,但從形式上看來,這些方程具有驚人的相似性,可謂英雄所見略同。這一點筆者會在以後繼續詳細解讀。

第三部分 科普工作

筆者隨後發現,Maini所掌管的生物數學中心還經常做一些科普性的工作,尤其是該中心的研究員Thomas Woolley。作為熱衷於把複雜的數學理論散步於大眾的青年科學家(目測35歲左右),Woolley身上不僅沿襲了沃夫森數學中心所特有的激情洋溢,而且形成了自己的獨立風格。他的演示文稿主要由五彩斑斕的圖片構成(不得不承認比Maini的文稿顏值高出不少),以致於聽完他的報告後,聽眾們很難相信他其實是數學家。而當Woolley把他的演示文稿發給筆者時,只能通過雲端傳送,因為他的文稿實在太佔空間了,郵箱附件難以容下這樣的大氣。

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Woolley的演示文稿幾乎都是這個畫風

Woolley對科研的熱情同樣延續到了他的生活中。他是媒體的常客,常常受BBC邀請錄製一些輕鬆有趣同時不乏科學嚴謹的節目,鏈接[11]給出了Woolley的視頻目錄。與此同時,Woolley也常常在他的學術報告中分享自己的“失敗”經歷,例如得到的數值模擬結果如何與實驗前的預想不同等等。這一風格對筆者本人的影響是巨大的,或許這也正是為什麼Woolley的學術報告能受到眾多學者青睞的原因。

當知曉筆者也在做類似的科普工作後,Woolley顯得更加興奮。他和Maini等人之前寫過一篇關於殭屍的數學模型[12](被登上過泰晤士報),與筆者之前寫過的《星際爭霸》[7]一文頗為相似,於是我們談論了很長時間的星際爭霸(當然筆者之前寫的只是上半部分)。我們都對單機對戰時的神族狂劍客一波流(Zealot rush)感到頭疼。

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當晚Woolley就給筆者發送了另一篇他自己創作的科普文,題目為《光怪陸離的生物形態》[13](Mighty Morphogenesis,筆者的翻譯),希望筆者能翻譯成中文。

第四部分 總結

也許讀者們已經清晰地感受到,大師其實離我們並不遙遠。並非所有數學界的大師都是板著一副面孔的,相反,他們很樂意傳遞自己的所見所聞,很願意和不同背景的人們交流。而筆者和他們的交流,更多像是平輩之間的相互探討,或許這種探討更有助於思維的對衝碰撞和新想法的橫空出世。這和筆者“嚴謹而不拘謹”[14]的科研觀點頗為相似。

應用數學家們善於把數學融入生活的方方面面。也許正是因為太過“通俗”,他們對世界的影響往往容易被人們所忽視。筆者也希望通過本文,讓更多讀者瞭解到應用數學家們不可磨滅的貢獻,同時希望讓大家知道,數學的趣味性不僅僅侷限於數論、組合、代數方程等;它的滲透力之強,擴散範圍之廣,早已隱含在生活中的方方面面。

參考文獻:

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Philip_Maini

[2] https://people.maths.ox.ac.uk/maini/

[3] P. Maini et. al, Sequential pattern formation in a model for skin morphogenesis.

[4] E. Keller, Model for Chemotaxis.

[5] A. Turing, The chemical basis of morphogenesis.

[6] https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyNjc2NzY4OA==&mid=2247483706&idx=1&sn=1a920ef867db8e3d4642c619f764f04d&chksm=e86a271ddf1dae0b308ef4b559b9a266b8a851faa9dcaf3c04285a5a950c2c83a5ef706f94bc#rd

[7] https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyNjc2NzY4OA==&mid=2247483777&idx=1&sn=27ec78f138b1fa74d81a6fdf7c712976&chksm=e86a27a6df1daeb03c1265a2d88a4f0c466b3de2b2ddacf17dfa6a427582ff0bc55e7d7cee8a#rd

[8] https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyNjc2NzY4OA==&mid=2247483922&idx=1&sn=25db02958d8481038fa4391bc92cc08a&chksm=e86a2435df1dad23914f157915bd66ffd5c8af0ea08bd2e02cea57d2a3447c0757d27555a9af#rd

[9] https://people.math.osu.edu/yang.2677/Turning.txt

[10] http://people.maths.ox.ac.uk/woolley/outreach.html

[11] http://people.maths.ox.ac.uk/woolley/outreach.html

[12] T. Woolley et. al, Mathematical Modelling of Zombies.

[13] https://en.wikipedia.org/wiki/Belousov%E2%80%93Zhabotinsky_reaction

[14] https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIyNjc2NzY4OA==&mid=2247483977&idx=1&sn=9c04fb2eb29c96b0f741bf83d5d743f4&chksm=e86a246edf1dad78aab171359ef6cc592e67c7ca4407a37f6546edb971f7b087bb9cfd1835f8#rd

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