給你一疊書
你能疊多寬
愛學（you）習（xi）的表妹又來到超模君家裡，但超模君的家裡停電沒有wifi，於是無聊的表妹看著桌子上的書玩起了疊書遊戲。
看著無聊的表妹玩無聊的遊戲，無聊的超模君也一起加入了疊書遊戲，畢竟數學界科普偶像，馬丁·加德納在《科學美國人》雜誌特別介紹過這個數學遊戲。
超模君66的疊書方式
我們先來看看這種擺法的最終結果：
看完了結果我們再來動手試一試，先拿多些書放到桌子上：
▲點擊查看，表妹都看什麼書
最簡單的兩本書擺法
我們假定每一本書是完全相同且質量均勻的長方體，寬度均X。
要想讓兩本書達到最寬，大家很容易就想到只要讓第一本書的重心剛好落在第二本書的邊緣，那麼兩本書能達到的最大寬度為（1+1/2）X
再來看看三本書
根據上面的結論，我們只要讓上面兩本書的總重心剛好落在第最下面書的邊緣不就可以讓寬度達到最大。
用力矩可以很簡單地解決這個問題。首先，我們把第1、2本書的交點看為旋轉軸，要想總寬度達到最大，需要讓第 2、3本書的總重心在第1本書邊緣，也就是說2、3本書處於剛好不會掉下來的狀態。
從力矩的角度來看，第2、3本書處於力矩平衡狀態，所以他們各自的力矩大小相等，方向相反。假設一本書的重量為mg，長度為1，力臂為Y，可以得出等式：
mg×Y= mg×（1/2-Y）
解得Y=1/4
四本書呢？
跟3本書一樣，我們只需要把上面兩本書看成一個整體，這個整體跟第3本書也可以看成一個力矩平衡狀態，這樣我們可以繼續用力矩平衡來列等式.設力臂為Z，可以得到等式：
2mg·Z=mg·（1/2-X）
解得Z=1/6
既然表妹還沒明白那我們就來看看這張圖吧：
根據上圖我們可以很容易地發現一個規律：
1/2=1/2×1，1/4=1/2×1/2，1/6=1/2×1/3。
根據這個規律可以得出總長度：
C=1/2·（1+1/2+1/3+……+1/n）·X
其實想要求書的最大寬度就只要知道調和級數是發散還是收斂，如果它是收斂的，那麼它就有最大寬度；反之，寬度為無窮大，也就是說沒有最大寬度。
那麼調和級數是發散還是收斂的呢？超模君就在這裡介紹一種簡單易懂的證明方法
首先，我們來對比兩串數列：
從圖中可以發現，兩個數列的個數都為n，並且調和級數第x位一定大於等於數列2的第x位（比如1/3＞1/4, 1/5＞1/8, 1/6＞1/8）。
在數列2中,當n趨近於無窮時可以發現，這是無數個1/2相加，所以數列2一定是發散數列。而調和級數大於數列2，所以調和級數也是發散的
在伯努利兄弟證明完後，數學大神歐拉發現：ln（n）和調和級數的和在n→∞時，它們的值都趨於無窮大，但它們的差卻是常數。
我們把它寫成數學形式：
而且n越大， c就越精準，大概等於0.57721566……
這串數字歐拉最大算到了小數點後6位。
數學大神——歐拉
到了1790年，一位意大利數學家——馬歇羅尼算到了小數點後32位，在算的時候他覺得用常數c來命名太普遍了，於是乾脆把c換成了希臘字母γ。
雖然後來人們發現他從第20位開始就是錯的，但還是把常數γ命名為了歐拉——馬歇羅尼常數（簡稱歐拉常數），現在人們利用計算機已經算到了小數點後48億位。
意大利數學家——馬歇羅尼
在巴洛克時期，建築師在建造教堂和宮殿時，運用調和級數為樓面佈置和建築物高度建立比例，並使室內外的建築細節間呈現和諧的聯繫。
吉他中的泛音也跟調和級數有關，泛音點對應的就是調和級數。
但是除了1/2、1/3和1/4點以外，其他的泛音人們往往聽不到，這是因為越小的泛音發出的聲音就越模糊，導致發出的聲響會被基音或者噪音蓋住。
知識擴充
既然表妹跑了，那超模君就偷偷告訴大家一些更有趣的疊書問題：
按照調和級數疊書的方式又叫做對數堆疊，但對數堆疊並不是最優疊的方法，也就是說相同本書的情況下，還有其他擺法可以把書疊的更長。
一些最大長度疊法的例子：
3本書：
4本書：
19本書：
根據靜力學定律，如果有n本書，我們可以得到4n個變量，6n個等式與不等式，這是一個非常大的計算量！
時至今日，我們通過計算機也只能計算出40本書的最優堆疊方式。
