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我是一箇中國學校的學渣。不是謙虛，是官方認證的。我在國內上中學的時候，150分的數學考試，最低考過27分。
27分大家知道是什麼概念嗎？我們那時候考試用的是答題卡，27分就相當於是把這個答題卡放到地上，然後踩兩腳，把鞋印放到機器裡，估計這樣出來的分數也不止27分。
我考27分那次，是我們班的倒數第三名。還有兩個比我更差的，我們三個人現在還是很好的朋友。
比我考得差的那兩個人，倒數第二的考了26分，我以一分險勝。他現在在美國一個世界500強的公司擔任副總裁級的高管。考倒數第一的那個人考了9分，9分啊，如果我是兩個鞋印，他就只能是大半個鞋印了。這個人後來考上了英國的牛津大學，現在是全球知名的經濟學家。
所以請大家放心，如果孩子數學成績不好，不用太焦慮，其實它代表不了什麼，既不代表你不聰明，也不代表你學習能力不好，是我們的數學課有問題。
先和大家分享我的一個故事。
那是我在英國讀研究生的時候，剛入學沒多久，老師在黑板上講一道題，有一個7×9的算式，我在下面隨口答了一句63，結果引來全班一片驚歎聲。包括老師在內都用特別崇拜的眼光看著我，彷彿看到數學之神了。
英國一直沒有乘法表和乘法口訣。2015年，英國前首相卡梅倫和教育部長摩根兩個人曾經想過在中小學生中推廣乘法表和乘法口訣，結果遭到了媒體和學生家長的一致反對。
有一次卡梅倫在演講的時候，突然有個人站起來問他：“8×9等於多少？”卡梅倫當時張口結舌，目瞪口呆，因為他不知道8×9等於幾。大家想想，一個英國的首相連8×9都算不出來。而我因為很快算出了7×9＝63，於是就第一次當了數學的學霸。
特別巧，沒過幾天我們就有一個測驗，我是從來沒有如此期待過數學考試，十多年來從來沒有當過數學的好學生，終於有這個機會了，尤其還是在在國外，終於有了為國爭光的機會。
到了考試那一天，老師把考題發下來，然後我發現一個特別奇怪的事，我所有的同學第一個動作就是從書包裡拿出科學計算器，當時我就特別懵，因為我在國內上學的時候，計算器是不能在考試中用的。但是在英國學校裡，計算器是一個必備工具。
所以我眼睜睜的看他們從書包裡拿出計算器，而全班只有我從書包裡拿出來的是一疊稿紙。
最後的結果，可想而知，全班只有我沒有答完題目，因為別人都是隻要知道方法了，他們就可以用計算器非常快的算出結果，而我把大量的時間都浪費在了計算過程上。最後在課程結束的時候我是唯一一個沒有寫完答案的人。
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於是我開始反思，數學到底學什麼？我們為什麼要學數學？數學真的跟現實生活息息相關嗎？我們學數學到底學的是什麼？大家都說中國的數學課程比國外的難很多，中國的基礎教育紮實，中國學生的數學可以碾壓國外學生。
我反思的結論是：我們數學課的問題不在於難度，而在於我們的數學課堂上壓根就沒有數學。
為什麼國外學校可以容忍我們認為的特別低級的運算無能，但是他們卻依然能夠培養出那麼多優秀的數學家？我們學數學究竟是學一種運算技巧，還是學一種數學思維。
我反思的結論，也就是我今天的題目：數學是一場遊戲。因為數學是可以脫離現實生活，在完全想象的世界裡進行邏輯運算的東西，數學最大的驕傲，就是可以與現實生活完全無關。
我們現在把數學公式都背得很熟練，把幾何的原理背得很熟了，然後用不斷地做各種各樣的題。這就相當於我們玩遊戲的時候，我不讓你體驗遊戲的過程，我只告訴你，摁前進，摁五下，然後跳，往左邊走，然後打，最後到了關卡，你記住上上下下，左右左右，ABBA，你把這些都記住，然後一遍一遍去訓練，就可以完成任務。
大家覺得這樣的遊戲還有意思嗎？這還是遊戲嗎？遊戲的目的不是結果，而我們看到的所有的公式，其實就是遊戲的結果，運用得再熟練，也無助於我們體驗遊戲的精髓。
我們需要具備的，是獨立的思考、有創造力的思考，我們最不需要的就是“被訓練”。就如高斯所說：“我們需要的是想法，而不是符號。”
數學的學習方式就像我們看電影或是看書一樣。
比如，我們看《西遊記》，我不告訴你唐僧為什麼取經，他經歷了什麼事情，我就告訴你唐僧經過了九九八十一難，最後取回了真經，你要記住這八十一難都是什麼，這個順序還不能亂，最後考試的時候你要把每一難的名字答上去就算通過了。
大家覺得這樣的閱讀是正確的嗎？如果大家覺得這樣看書是不對的，為什麼這樣學數學就是對的呢？
其實數學和所有的文學、藝術、影視作品一樣，都是人類為了娛樂自己創造出來的。而且它比我們所有的遊戲，比如足球、籃球、和我們看到的所有電影都更自由。
因為這些遊戲非常依賴於我們這個現實世界的物理性質，而數學是可以完全天馬行空的創造出一個世界來，那個世界的規則完全可以由你來決定，你只要把你想要解答的題目的條件帶入，使用一種嚴謹的推理，找出答案就可以了。這就是一個更加自由、更加考驗創造力的遊戲。
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我們數學最大的問題，我們每個人都“隱約”記得一些公式和定義，但清晰記得我們對它們的”憎恨”！我說數學其實就是一種遊戲，你可以在你想象的世界裡去制定規則，考驗你的創造力。
我們舉一道“雞兔同籠”題，相信所有的孩子都被考過這道題：
籠子裡有雞和兔若干只， 籠子裡有25個頭和70只腳。問：兔子和雞各有多少隻？
我不知道大家是怎麼做的題，我就記得我學這道題時，是在第一次學一元一次方程式，老師告訴我標準答案是：
我們假設兔的數量是 X：
4X＋2×（25－X）=70
X＝10
兔子＝10（只）
雞＝25－10＝15（只）
這麼做對不對呢？肯定是對的。那這道題這麼做好玩嗎？肯定不好玩。
“雞兔同籠”其實有特別多的證法，我給大家舉一個特別好玩的例子。
你想象一個世界，這一籠子的兔子和雞就在這個想象的世界裡，你站在這個籠子前面，一聲令下，所有的動物都抬起一隻腳，這個時候還有多少隻動物站著？
70－25＝45只，還有45只腳站著，你再一聲令下，所有動物又都抬起一直腳站著，這時候還有45－25＝20只腳站著，但是雞已經一屁股坐地上了，因為雞隻有兩隻腳全抬起來了，那站著的全是兔子，這20只腳全是兔子的，所以兔子有10只，雞就是15只。這樣解這道題就好玩。
這道題還有很多種解法，我們還有一種解法，假設雞也有四隻腳，因為我們沒有把它的翅膀算做腳，我們假設所有的雞也有四隻腳，那25個動物裡面應該有100只腳，那為什麼只有70只腳呢？因為有30個（100－70＝30）翅膀沒有算做腳嘛！那30個翅膀肯定就是雞的了，所以就是15只雞。
我們再舉個例子：這是一個矩形，就是一個長方形，長方形裡面有一個三角形，問題就是：這個綠色的三角形面積和旁邊藍色三角形面積的比是多少？
正常來說我們的標準答案是：
三角形的面積＝1／2×底×高
矩形面積＝底×高
這麼一算矩形內三角形內和三角形外的面積比是1：1，這麼解對不對呢？肯定對！那這麼解好不好玩呢？肯定不好玩。
我們來說另外一種解法，
還是放到我們想象的世界裡，把它想象成一張紙，我們從三角形頂點向下畫一條線，把它撕開，它變成了兩個方形，每一個方形都被對角線分割成了一模一樣的兩個部分，也就是每一個方形裡面綠色和藍色部分的面積都是一樣的，他們合起來的面積也是一樣的，也是1：1。
我們再舉一個例子，有條直線上面有兩個點，從左邊這個點到達直線再到達右邊這個點最短的距離怎麼畫？我們可以多種情況畫，怎麼才能畫出最短的線呢？
最簡單的方法是：在右邊那個點給它一個鏡像，也就是給它一個對直線來說對稱的點，因為這個藍色的點和直線上面它對稱的那個綠色的點對於這個直線的位置是一樣的，所以我們從左邊這個綠點到右邊這個綠點就可以轉換成從左邊這個綠點到右邊這個藍點，兩點之間最短的距離是一條直線，它與原來那條直線有個交點，這個點連上直線上面左右兩個綠點的直線間距離就是我們要畫的最短的距離。
我們可以不知道那些公式、定理，我們可以在我們想象的世界裡把這些東西做的很有意思。這就是數學的意義，這就是數學訓練我們真正的目的。不是訓練我們什麼計算能力，它是訓練我們一種數學思維。
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什麼是數學思維呢？我特意查了一下百度，百度對數學思維的概念是這樣：數學思維是數學的思考問題和解決問題的思考形式，也就是能夠用數學的觀點去思考問題和解決問題的能力，比如轉化與劃歸、從一般到特殊、特殊到一般、函數/映射的思想等等。
說得對，但不好懂。我怎麼理解數學思維的呢？數學思維就是遊戲思維，就是窮盡你的想象力去創造一個世界，然後用嚴謹的論證和邏輯推理去得到一個答案。是一種高度抽象並解決問題的能力。
數學思維給你的是重新看世界的一雙眼睛，看這個世界的另外一種眼光。有的時候它可能跟我們對這個世界的直覺理解會比較大的的區別。我舉幾個的例子：
我們知道，自然數、奇數、偶數。
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12…… 自然數
2，4，6，8，10，12，14，16，18，20…… 偶數
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19…… 奇數
大家覺得，自然數、偶數和奇數這三種數那個數的數目多？我們從直覺上感覺偶數和奇數組合成了自然數，自然數自然比它們多，但是從數學角度來說它們三個數是一樣多的，因為他們三個的數目都是無窮。
我們再舉個例子。
一個屋子裡有23個人，他們有兩個人的生日是同一天的可能性大不大？直覺來說我們出去坐公交車、去機場等經常會碰見很多人，但我們都不會覺得在這麼多人裡面會有兩個人的生日一樣。
從數學的角度來說，在23個人的這個人群裡，有兩個人的生日是同月同日的概率超過50%。為什麼？因為我們把每一個人的生日和另外22個人作對比，那它就是有253次對比的機會，在這253次對比中出現相同的概率是非常高的，這個就被稱為“生日悖論”。在計算機裡面呢，有一種專門破解密碼的方式叫做生日攻擊，它的原理就是從生日悖論來的。
我再舉個悖論例子。
減肥，從某種數學的角度來說，減肥這個事是不可能的。因為想要減掉10斤，首先得減掉5斤，那想減掉5斤，就得先減掉2.5斤，想要減掉2.5斤，就先得減掉1.25斤。這個是無窮的對摺，但人無法減掉一個無窮的數，所以減肥是不可能的。
就像龜兔賽跑。只要烏龜先跑，兔子就永遠都追不上。為什麼？因為兔子永遠要到達烏龜之前到達的那一個點，那兔子只要到達那一個點，那烏龜就又往前移動了，所以兔子永遠都無法追上烏龜。
我們知道這個在現實生活中是不可能的，但是大家想想，這一個一個的著名“悖論”，就是數學家在玩的一個一個遊戲。如果說我們學數學是希望有用，那我告訴大家，你只要學會加減法，會用計算器就可以了。因為數學就是數學家在玩的遊戲。
那應該要怎樣鍛鍊數學思維？我覺得要把每一個數字都看成遊戲中的一個元素。忘掉所有的公式和定理，用自己願意、喜歡的方法去求證問題，然後不斷試錯。
另外就是玩真正的遊戲，比如象棋、圍棋、桌遊。我前兩天親眼見到了一個十歲的孩子在玩數學推理的桌遊，名字叫“達芬奇密碼”，把兩個二十八九歲、有碩士學位的成年人打的大敗。
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我總說數學是一個遊戲，有證據嗎？讓我們回到數學的發端，畢達哥拉斯，人類最早的數學家之一。
他生活在2600年之前，特別好玩，他認為這個世界就是由數字支配的，數字是這個世界的真理，所以他對數字帶有一種神性的膜拜，他給每個數字都賦予意義。比如他認為1是世界的開始，4是完美，5是婚姻等等。
雖然他對數字有這樣神性的崇拜，但是他依然在拿數字做遊戲。
比如說，他給這些數字增加了很多的名稱，比如他認為6是一個完滿數，因為這個數可以被1，2，3整除。 1加2加3正好等於6，所以他認為6這個數是一個完滿數。10可以被1，2，5整除，1加2加5等於8，不到10，所以他認為10就是個虧數，他用這種做遊戲的方式給各種各樣的數字一些新的稱呼。
他還說“朋友是你靈魂的倩影，要像220和284一樣親密”，這句話聽著就特別像神經病人說的話啊，220和284兩個數字有什麼可親密的呢？
220和284這兩個數字，畢達哥拉斯把他們稱之為親和數，他們代表了友誼和愛情。因為220它可以被1，2，4，5，10，11，20，22，44，55，110整除，這些數加起來正好等於284。284可以被1，2，4，71，142整除，這些數加起來正好等於220。所以他認為284和220是一對親和數，他們代表著友誼、愛情。所以那個時候做徽章，就會刻著數字220和284，表示我們之間是好朋友。
畢達哥拉斯還辦了一所學校，叫畢達哥拉斯半圓。
他為了招學生，他就跟學生說，你們過來跟我上課，每上一堂課我就給你多少錢。過了一段時間之後，他就跟他的學生說，他說“哎，我沒錢了，我不能給你們上課了，咱們解散吧”。
這時候學生學他的課已經很入迷了，學生就說，這不行，你不給我上課，我這日子沒法過呀，那這樣，你給我上一堂課，我給你錢吧。所以畢達哥拉斯就開始每上一堂課，學生們就給他錢，他就把這個錢給賺回來了。
畢達哥拉斯還成立了一個組織，叫畢達哥拉斯兄弟會。最多的時候有300人。他們在一起聊哲學、數學，是當時的一個精英組織。這個兄弟會想加入很難，必須要經過畢達哥拉斯本人的面試。有一個人面試沒通過就懷恨在心。
有一次趁著戰爭，把畢達哥拉斯兄弟會的大門緊鎖，在裡面放了一把火，包括畢達哥拉斯本人在內很多兄弟會的人都被燒死了，只有少數的幾個人逃了出來，逃到了世界各地，最後為畢達哥拉斯學派在世界各地的生根發芽奠定了基礎，數學也因為他們而有了蓬勃的發展。
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畢達哥拉斯之後出現了很多著名的數學家，比如歐幾里得，有次上課的時候，他的學生突然站起來問他說，“我們學這些東西，現實生活中到底有什麼用”，歐幾里得回頭跟旁邊的奴僕說，你給這個人拿三個錢幣，讓他走，他居然想從數學中得到實際的用處”。
歐幾里得認為數學原本就是和實際生活沒關係的，想在現實中得到實際的用處就是對數學的羞辱。
歐幾里得之後，希臘對數學的研究，就已經偏向幾何了，就算要解決代數問題，一般也套一個幾何的殼子。直到出現了一個人，這個人叫丟番圖，他可以說是古希臘集數學之大成者，他把代數從幾何裡拽了出來，這個人也被稱為代數之父。
他寫了一本書《算數》，殘卷現在還保留著。這本書原來是收藏在亞歷山大圖書館的，後來大家知道亞歷山大圖書館被毀掉了，很多書只留下了殘本。
丟番圖之後，因為神學的興起，數學就一落千丈，一直到一千年之後文藝復興時期，人們才重新開始關心數學。
1667年，法國有一個大法官叫費馬，他是一個數學愛好者，他在《算數》這本書的某一頁寫了一句話，他說：“當n＞2時，a∧n+b∧n=c∧n，這個公式沒有正整數解，對於這道題，我已經想到了一個美妙的證法，很可惜地方不夠，沒法寫。”
就這麼一句話，困擾了數學家幾百年。直到1994年，才最終驗證。人類被它困擾了三百年，被稱為費馬大定理。費馬大定理的驗證過程，就是整個數論的發展歷史，這裡邊有太多熠熠生輝的名字，比如高斯、歐拉等等。
還有很多好玩的故事，比如德國有一個數學愛好者，也是個商人，叫沃爾夫凱勒，他做生意很成功，掙了很多錢，但他追求一個女孩追不上，很痛苦，準備自殺。
他是個德國人，做事很嚴謹，自殺那天他列了一個計劃：7點幹什麼、8點幹什麼……最後要在午夜12點鐘聲響起的時候，吞槍自盡。但是他做事比較快，9點鐘就把所有事做完了，又不想放棄美感提前自殺，那乾點什麼呢？
他就隨手抄起了一本書。因為是一個數學愛好者，他拿起的是一本數學期刊，裡面有一篇論文，是一個著名數學家驗證另外兩個數學家對費馬大定理的驗證是錯誤的，而且他推論費馬大定理在現階段是無法驗證的。
沃爾夫凱勒在閱讀中發現了作者的一個漏洞——使用了一個未經證明的公式，於是他就拿起筆開始對論文進行彌補。等他做了一整晚的驗算，補足了論文的漏洞時，已經是第二天早晨了。
這個時候，他的心情非常舒暢，作為數學愛好者居然幫助一個著名的數學家補足了論文漏洞。他感覺生活太美好了，不再想自殺了，之後還捐出了10萬馬克，承諾獎給在他死後100年之內，解決費馬大定理的人。
最後完成了驗證費馬大定理的是安德魯·懷爾斯，著名的英國數學家，他在1993年的一次大會上宣佈自己證實了費馬大定理，但在一個月之內，被同行評議發現論文中有一個重大疏忽。
在繼續補足疏忽中，他一度想要放棄。期間，他的太太一直在鼓勵他，對他說“我最想要的生日禮物，就是你對定理的最終驗證”。
安德魯第一次發佈有漏洞的論文是在1993年8月，他太太的生日是在10月，結果直到第二年的9月19日，他才最終真正完成了費馬大定理的驗證。
在太太的生日晚會上，安德魯從樓上拿下來一疊稿紙交給他的太太，對她說：“我完成了費馬大定理，我結束了困擾人類三百年的難題，這就是我給你的生日禮物。”
看看，數學家也是很會煽情的。安德魯的最終證明寫了足足一百頁，後來就有人說費馬寫下那句著名的話“對於這道題，我已經想到了一個美妙的證明法，但是很可惜地方不夠，沒法寫”的時候，其實並沒有真正驗證這個猜想的能力，因為現在看到的最終證明裡，用到了很多費馬去世一百年之後才發明的數學模型和公式。
其實費馬大定律就是費馬自己想出來的一個數學遊戲，很多的數學家來一起玩兒。而數學的發展就是由一個又一個的遊戲來推動的。
比如，一個叫希爾伯特的數學家，他有一個特別的稱呼，叫數學之王。他在1900年提出了人類要解決的二十三個數學難題，然後在2000年的時候，一些數學家模仿他，提出了千禧年七大數學難題。這些題就是推動了這一百多年主流數學的發展，其實就是三十個數學遊戲。
這些遊戲包括我們都知道的哥德巴赫猜想，希爾伯特提出的二十三個人類要解決的數學題，目前還有九個沒有得到論證。千禧年的七大數學難題已經有一個被驗證了，就是龐加萊猜想，被俄羅斯數學家格里高利佩雷爾曼驗證。他證實了龐加萊猜想後，沒有去領菲爾茨獎，仍然住在聖彼得堡的一個簡陋的單身公寓裡，他沒有去領獎金也不接受媒體的採訪。
後來美國的一個記者終於在聖彼得堡堵住了偑雷爾曼。但是佩雷爾曼就在公寓裡面不開門，隔著門咆哮：不要來煩我，我應有盡有！其實真正的數學家的樂趣不是來自於現實生活上的物質。而是來自於數學的虛擬世界，在這個世界盡情的遊戲。
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如果我們要強調數學到底在我們現實中有什麼意義，那可以說，數學思維讓我們有更理性的思考，更有邏輯的分析。能夠用另外一種眼光來看這個世界。最起碼，它能讓我們少上一些當，能讓我們看穿一些初級騙局。
舉個例子，在雷鋒日記裡有一段話說：我連過年所放的假都沒有休息。我去撿大糞，初一初二那兩天我一共撿大糞六百來斤。我想這也是響應黨的號召，大積肥，也搞了衛生運動也能夠促進農業生產。
其實這是一道數學題，一共撿大糞六百多斤，兩天撿大糞六百多斤，一天就是一百五十公斤。一百五十公斤的糞便，約等於一千四百坨。
我們假設雷鋒同志從早上九點出門，晚上五點回來，這中間不吃不喝不停的勞動。平均每小時撿糞一百七十五坨，每分鐘2.9坨。
我們知道那是大年初一初二，他在撫順，天特別冷，糞便應該都凍在地上很難弄的，我們不去計算剷下來需要多少時間，把所有時間都忽略掉。平均每二十秒就要撿起一坨，相當於他每一步都能撿到。
我看到過一篇文章寫道“雷鋒同志，你哪裡是在撿糞呀，你分明就是在糞坑裡呀。”
給大家推薦一本書《數學家的嘆息》，不管你是對數學學習有困難的孩子，還是家長、老師，都特別推薦這本書。
扉頁上寫著《小王子》的作者的一句話：如果你要造船，不要招攬人來搬木柴，不要指派任務和工作，而要教他們渴望那無邊無際、廣袤的大海。
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