達蘭貝爾為什麼稱平行公理問題是“幾何原理中的家醜”？數學家又為何一直嘗試用其它公理證明平行公理，卻一千多年未解。直到19世紀，非歐幾何又是怎樣證明在歐幾里得空間內平行公理既不能被證明亦不能被證偽的呢？

達蘭貝爾

每個時代都有其神話，並稱之為至高的真理。

十九世紀之前的時代，數學家們一直視數學為真理。在所有的數學分支中，歐幾里得幾何最受人推崇，因為它是第一個用演繹方法建立的理論，兩千多年來，它的定理一直“完美地”與客觀事實一致。

歐幾里得

在任何特定的理論中，只有其中包含數學的部分才是真正的科學。——康德

哲學家康德說，經驗是知識的必然因素，而數學就是精神的必然法則。幾何學的科學性揭示了真理的邏輯，說明了經驗與公理的一致性。數學家高斯也堅持相信物理空間的幾何必然是歐氏幾何，對此幾乎所有的人都深信不疑。

康德

關於那個時代，康托爾曾這樣評述：一旦錯誤的結論被廣泛接受，那麼它將不會輕易地被放棄，而且對它懂得越少，則它的地位越牢固。數學家克萊因批判康德說，他在幾何上的輕率超過他在哲學上的大膽。

而這個時代的變動開始於“平行公理”，一個令數學家痛苦的命題。

康托爾

歐氏幾何的五大公理

1、任意兩個點可以通過一條直線連接。

2、任意線段能無限延長成一條直線。

3、給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

4、所有直角都全等。

5、如果一條直線與兩條直線相交，使得一側的內角不都是直角，則將這兩條直線延長，它們在內角不都是直角的直線一側相交。即若∠1+∠2<180°，將a，b充分延長，它們必定相交。

歐氏幾何中的第五公理，一直在困惑著數學家們，不是由於它的正確性，而是由於它的表達方式。第五公理缺少了其他公理的簡潔性，令人不知所措，歐幾里得本人也不喜歡，直到所有不經過它的定理都被證明出來之後，歐幾里得才不得以提出來。

在數論和其他任何比較完善的數學理論中，所謂的公理都是解釋性的，而非基礎性的。——哥德爾

哥德爾

平行公理問題

公理的實質在於符合經驗而並非其不證自明——克呂格爾

第五公理又稱為“平行公理”，為了避免公理的冗長，數學家們做了兩種不同類型的嘗試，一種是用更加自明的命題來代替平行公理。另一種是試圖從歐幾里得的其他公理中推導出平行公理，將其變為定理，使其不容置疑。

最為人知曉的替代公理是，普萊費爾提出的平行公理的說法：給定一條直線，通過此直線外的任何一點P，有且只有一條直線與之平行。另外還有“三角形內角和為兩直角”、“存在兩個相似但不全等的三角形”、“所有三角形都有外接圓”、“存在一對等距的直線”等等。所有的替代公理似乎都比歐幾里得的要簡單，但進一步研究證明，它們並不比歐幾里得的敘述更令人滿意。

在嘗試用其他公理推出平行公理的努力中，最有意義的是薩謝利的工作。他提出了各種假設，首先假定過P點沒有與l平行的直線，則由此公理和歐幾里得其他公理，薩謝利認為可以推出矛盾。接著又假設過P點至少有2條直線p和q，不管如何延伸總不與l相交，然後他得到一個奇怪的結論，於是薩謝利認為這也是矛盾的。由此薩謝利得出結論：平行公理是其他公理的推論。其實後來的數學家發現其中並沒有真正的矛盾，因此平行公理的問題依然存在。

薩謝利

平行公理問題的徒勞無功，讓數學家們終於意識到歐幾里得的平行公理中的深刻意義。

非歐幾何的誕生

任何較大的數學成果，都不會只是個人的工作。充其量，某些決定性步驟或證明可以歸功於個人。——克萊因

漸漸地數學家們終於意識到平行公理不能由其它公理推出，平行公理是建立歐氏幾何所必需的條件。既然平行公理是獨立的，邏輯上講，可以假設一個與此矛盾的命題，從而作為新的公理，是不是可以導出新的幾何？

克萊因

數學家羅巴切夫斯基是第一個真正意義上放棄歐幾里得平行公理的人，他提出了自己的假設：給定一條直線，通過此直線外的P點允許有無限多條平行線。

若角A等於90°則得到歐幾里得的平行公理；

若A為銳角，隨著距離a趨於0，則角A增大趨於90°，當a趨於無窮大，則角A減小且趨於0°。於是，三角形的內角和總是小於180°，且隨著三角形面積的減小而趨近於180°，且兩個相似三角形必定全等。

羅巴切夫斯基建立的非歐幾何——羅氏幾何，就是所謂的雙曲幾何。

羅巴切夫斯基

當我們由之開始的定義不再有意義的時候，我們就不應當再問它是什麼，而應該問，如何做出合適的假設，使它繼續有意義。——高斯

緊接著是數學家黎曼，作為高斯的學生，他提出了與歐氏幾何根本不同的假設：給定一條直線，通過此直線外的P點沒有平行線，任何兩條直線相交於兩點，三角形內角之和大於180°。

黎曼

黎曼提出的關於空間可以是無界的而不是無限的非歐幾何——黎曼幾何，就是現在的雙橢圓幾何。

高斯

自1826年非歐幾何誕生至1868年，羅氏幾何和黎曼幾何經過了數十年漫長的爭論，其幾何真理性內容才慢慢被人們接受，期間值得一提的是1855年——著名數學家高斯與世長辭。尋求真理遲遲到來的原因，並不是因為支持非歐幾何的論據加強了，而是正如量子之父普朗克所言：一個新的科學真理並不是靠說服它的對手而取勝，而是由於它的對手死了，新一代熟悉它的人成長了起來。

普朗克

一個時代或許本沒有真理，只不過是相信的人多了，才有了真理。至此，平行公理問題才剛剛起步，非歐幾何的完備性與相容性問題將引領下一個時代的到來。