幾乎所有人對數學的感覺都是嚴肅的，在數學上非正確即錯誤，不存在什麼模稜兩可的結論。任何結論都可以通過公理或者已知條件來推導，哪怕過程紛繁複雜，邏輯上讓人應不暇接，但是結論卻是確定了的。我們是這麼認為的，數學界也曾經是這麼認為的，至少在哥德爾那篇驚世論文發表之前是這麼認為的。
熱力學家 湯姆遜和他著名的話
進入到20世紀以來，所有科學領域都蓬勃發展，尤其在物理學界，經典物理學，熱力學，統計物理學的大發展，已經形成了一個完整的科學體系，人們幾乎可以用已知的科學理論去解釋一切物理現象。於是有位著名的物理學家發表了一篇著名的講話。1900年在英國皇家學會的新年年會上，熱力學家威廉湯姆遜說“科學的大廈已經基本上建成，未來的物理學家只要做一些修修補補的工作就可以了。”很快他的話就成了笑話，量子力學和相對論的到來，又極大地擴充了已有的科學體系，人們也更加深刻認識到了世界的本質。
基本上是在同一時代，數學界也發生了差不多的宏偉暢想。
1930年，大數學家希爾伯特在即將退休之前發表了最後一次著名的演說，他認為。
“數學的所有結論都是一致性的，不存在既不能肯定又不能否定的結論，那些諸如哥德巴赫猜想至今沒有肯定的證明，只是因為數學工具不夠，等發展到了時機，這些問題是註定會被解決的。也就是著名的我們必須知道，我們必將知道。”
這是一個雄心勃勃的計劃，相當於給數學做一個框架，在這個框架裡，我們把已知的所有公理，定理放上去，然後可以利用這些為數不多的條件，通過各種推演來得到所有的數學成果。這是一個美好的願望，也有許許多多的科學家支持，大家一起為了這個終極目標努力奮鬥。
20世紀最偉大的數學邏輯學家 哥德爾
然而事與願違，僅僅在一年之後的1931年，有個理論的提出徹底終結了這個美好的願景。
1931年，哥德爾發表了不完備定理。
哥德爾何許人也？奧地利裔美籍數學家，1906年4月28日出生捷克布魯諾。
不完備定理有2條：
第一不完備定理：任意一個包含一階謂詞邏輯與初等數論的形式系統，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明為真，也不能被證明為否。
第二不完備定理：如果系統S含有初等數論，當S無矛盾時，它的無矛盾性不可能在S內證明。
不完備定理深刻地向人們展示出，數學中的任何公理下，你總能找出一些命題。你不能在這套公理模式下來得到證明。也就是說，有些命題，你不能證明它是錯的，也不能證明它是對的。這一驚世駭俗的結論一下子就讓希爾伯特等人的宏偉目標成為泡影，永遠不可能實現。
原來數學並非嚴肅的，自身也並非是一致的，你不能在現有數學公理條件下，用已知的結論去推導所有命題的結果。人們也更加意識到，一個數學問題的正確與否和它能不能被證明是兩個概念。這一下子就拓展了人們的思路，對於某些複雜難度極大的問題，為什麼我們那麼久都得不到一個明確的證明，可能就是因為這個問題本身就在現有理論下不能被證明。曾經也有人就考慮到為什麼黎曼猜想和費馬大定理如此艱深不可解決（當然現在費馬大定理已經被完全解決），從其問題的證明存不存在上進行考慮會有收穫。
第二定理的大概意思就是，你不能通過使用一個公理系統來證明自身的相容性，想要證明就必須要藉助另外一套公理系統。
25歲的哥德爾正是風華正茂的年紀，這個偉大的結論瞬時就讓數學家苦心建立的大廈“崩塌”，圖靈在看到哥德爾這個結論之後，放棄了自己自己正在試圖建立一種可以解決一切問題的機器的研究，轉向了判定性問題的研究了。
很快不完備定理的影響就由數學領域轉向哲學領域。一種新的觀念產生，人對於自然或者任何未知事物的理解永遠都是沒有窮盡的，總是有侷限性，而且這個侷限性人類本身總是無法察覺到。事實上，任何事物都是不完備的，你總是不可能用自己的理論去證明自身的正確性。
愛因斯坦和哥德爾壓草地
1948年，哥德爾移居美國後到了普林斯頓學院，和愛因斯坦有著相同的教育背景和理念，成了一對忘年交。愛因斯坦是普林斯頓神一般存在的人物，而哥德爾是研究院裡唯一能跟愛因斯坦平起平坐的人。
普林斯頓大學
哥德爾不完備定理作為20世紀數學界最有名的理論之一，影響力早就已經不僅僅限於數學領域，它深深地改變了人類的思維方式，更加讓人們認清楚自然與科學還有本身的價值。