《自然哲學之數學原理》導讀

《自然哲學之數學原理》是劃時代的鉅著,也是人類掌握的首個完整的、科學的宇宙論和科學理論體系。牛頓在本書中構建了一個人類有史以來最為宏偉的物理理論體系。這一理論體系很好地解釋了當時已知的一切運動形式和現象。

《自然哲學之數學原理》的影響所及,遍佈經典物理學的所有領域,並在其後300年裡一再取得豐碩成果,它達到的理論高度前所未見的,其後也不多見。內容涉及天文、物理、生物、心理、政治、經濟、法律與軍事等領域,是過去、現在和將來人類認識世界與發現世界的重要理論基石。

導讀

《自然哲學之數學原理》是牛頓一生中最重要的科學著作。

《原理》(第一版)成書於1687年,是牛頓經過20年的思考、實驗研究、大量的天文觀測和無數次數學演算的結晶。這20年,以及這之前的幾十年裡,歐洲的許多先進思想家和科學家在研究自然和數學方面取得了許多成就。其中直接或間接影響牛頓的思想體系以及《原理》的主要有:

哥白尼(Nicholas Copernicus,1473—1543)提出了日心說。在哥白尼以前,歐洲佔統治地位的宇宙學說是亞里士多德—托勒密(Aristotle—Ptolemy)地心說體系。地心說本來是許多種宇宙學說中的一種,與紀元前後人們的天文觀測水平相適應,它認為地球處於宇宙的中心,行星和太陽、月亮圍繞著地球旋轉,宇宙的最外層是不動的恆星,上帝住在遙遠的恆星天注視著人類活動的地球,主宰著整個宇宙。由於這一學說符合上帝創造世界和人的基督教教義,後來在政教合一的歐洲成為佔統治地位的意識形態,長期禁錮歐洲的思想界達千年之久。它的影響所及,既包括人們對於世界的基本看法,也影響人們對於天文曆法編制、普通物體運動,甚至人類的生老病死的具體看法、解釋和態度,可謂無所不包。但是,到中世紀中後期,隨著人們天文觀測精度的提高和觀測資料的大量積累,地心說越來越不能自圓其說,不能滿足實際需要。例如編制曆法,到中世紀後期,天文現象與曆法之間的誤差越來越大,不僅天象(如日月食)無法預報和解釋,連季節變換和每年的元旦都定不準,誤差竟達幾個月。

波蘭的天主教神父和天文學家哥白尼對地心說體系發起了挑戰,他用神學的語言和畢生天文觀測的數據寫成了《天體運行論》一書。他指出,更合理的宇宙結構應當是太陽為宇宙中心,地球和其他行星繞太陽旋轉,旋轉的軌道是完美的圓形。但哥白尼預計到自己的學說會被當做宗教異端對待,他直到臨死前才發表了這部著作。

哥白尼的著作和學說贏得了有獨立思考能力的思想家和科學家的賞識。意大利哲學家布魯諾(Giordano Bruno,1548—1600)就到處宣傳日心說,遭到教會的迫害,他在備受酷刑摧殘之後,被燒死在火刑柱上。

意大利科學家伽利略也相信日心說。他進一步認為,自然的語言是數學,觀察和研究自然要通過科學的實驗,而要表達自然的運動規律,應當使用數學和實驗數據。伽利略發明了折射望遠鏡,並且用望遠鏡發現了木星的衛星,伽利略認為木星的衛星圍繞木星旋轉充分說明了哥白尼原理的正確性。伽利略還發現了慣性原理,他用數學關係精確表達了運動物體的距離與時間的關係(如自由落體),他研究過單擺的運動,他還研究了力的合成及拋體運動。伽利略寫下了兩本著名的書:《關於托勒密和哥白尼兩大世界宇宙體系的對話》和《關於兩種科學的對話》,集中表達了他的科學(主要是物理學和天文學)成就,以及他對於宇宙和新的實驗科學的看法。他被宗教法庭判為異端。他屈服了,寫下了“悔過書”,但他被押離法庭時還是喃喃自語:“但是地球畢竟是在動的!”伽利略死於1642年,10天之後,牛頓出生了。

從伽利略以後,新的實驗科學獲得了地位,數學語言取代哲學思辨語言用於表達自然的規律,成為時尚。但是宇宙體系問題還遠遠沒有解決。哥白尼日心說簡潔優美,但在天文計算中卻十分繁雜,比起托勒密地心體系甚至有過之無不及。於是德國天文學家第谷(Tycho Brahe,1546—1601)提出了折中方案,認為太陽和月亮圍繞地球旋轉,行星圍繞太陽旋轉,但是這並沒有使問題變得簡單些。第谷的學生開普勒認識到需要作更加精密的天文觀測,然後才有可能回答宇宙體系的問題。他一生孜孜不倦地觀測天象,用大量數據總結出天體(行星)運動三定律,其核心是發現行星的運行軌道是橢圓,而不是哥白尼所說的正圓,太陽或地球位於橢圓的兩個焦點之一。開普勒的行星運動定律是牛頓之前人類所取得的最高天文學成就。

與伽利略的實驗科學傳統略有不同的是法國哲學家和數學家笛卡兒(René du Perron Descartes,1596—1650)。以今天的眼光看來,笛卡爾有些奇怪,他在數學上很有建樹,對於代數學和幾何學都有很大貢獻,他發明了我們今天十分熟悉的座標系,以及把幾何問題轉化為代數問題的解析幾何。馬克思(Karl Marx,1818—1883)評價笛卡爾,說從他開始,運動被引入了幾何學。在哲學世界觀上,笛卡爾堅持用自然的原因來解釋自然,但是他在認識論上卻又是個不可知論者,他的名言是“我思故我在”。

笛卡爾的哲學學說有極大影響,從他年輕時直到死後統治整個歐洲長達一個世紀。這影響波及科學領域,特別是天文學和物理學。在物理學上,笛卡爾及其追隨者強調有某種特殊的物質“以太”(牛頓所說的“隱祕的質”),它們充滿空間,因為“自然厭惡真空”,以太傳遞物體之間的相互作用,使物體的運動得以持續。“以太”是一種想象中的物質存在,一種純思辨的產物,它排除了物質世界裡和物體運動關係中神的作用,但為探究自然規律設置了新的障礙。

困難在於它既無法測量,又難以想象。笛卡爾學說的最大成就和最大失敗都集中體現在它的宇宙論中。它承認日心說體系。因為它必須否認真空的存在,他設想宇宙中充滿以太,太陽的轉動在以太中形成宇宙渦旋,渦旋運動帶動各個行星運動,從而有我們所見到的天象奇觀。這一解釋從哲學思辨上來說,其成功是前所未有的,它首次提出了一個不訴諸神力的宇宙動力學模型,很有想象力,滿足了人們解釋天象的思辨需要。

但是,笛卡爾學派的渦旋說在具體的天文現象的解釋上卻遭遇到重重困難,例如,地球和各行星的自轉,這要求在整個宇宙的大渦旋中有局部的方向和速度都不相同的小渦旋,而且因為各個行星圍繞太陽的公轉速度不同,大渦旋的到太陽距離不同的部分的旋轉速度也不相同,這很難與人們的日常經驗相符;更糟的是,某些行星,如火星,有時會出現天文學中常見的“逆行”現象,似乎宇宙大渦旋中的某些層次有時會隨心所欲地發生“逆轉”,這對於以自然解釋自然的信條構成了嚴重障礙。還有,渦旋說無法說明行星發光現象,只能暗示天體實際上是某種與地面物體很不相同的“精英”物質,這就又請回了亞里士多德的宇宙論。最後,渦旋說對於具體的天文現象的解釋與實際觀測數據相矛盾,在《原理》第二編的末尾,牛頓指出渦旋的速度與它到渦旋中心的距離成正比,然而天文觀測數據表明行星的速度與它到太陽距離的3/2方成正比,這對渦旋說來說是致命的。

笛卡爾宇宙體系是牛頓出世時面對的最大的宇宙體系,英國和整個歐洲大陸的大學都講授它,以它為標準的宇宙學說。牛頓在大鼠疫時期就已經看出笛卡爾體系的問題,摧毀這一體系,成為牛頓研究生涯的首要直接目標。而要建立起一個全新的體系,則要經過長達20年的思考和研究,直到完成《原理》的寫作。

牛頓在思想上還受到英國的思想家培根(Frances Bacon,1561—1626)、洛克(John Locke,1632—1704)和摩爾(Henry More,1614—1687)等人的影響,他們都強調經驗論的作用。在科學思想和神學思想上,牛頓又受到同時代的英國化學家波義耳(Robert Boyle,1627—1691)的影響,認為每一個哲學家的最崇高的職責是認識並證明上帝的存在和完美,自然界是上帝創造的,它只是上帝的神性的外在形式,它可以為人類所認識和想象,人類只能通過自然哲學去研究自然才能最終認識上帝。在此意義上,牛頓畢生所從事的各種研究,包括數學、物理學、天文學、鍊金術、聖經考古學和聖經年代學以及神學等,都是服務於他心目中的上帝的。

此外,當牛頓進入學術研究時,與他同時代的一些科學家也做出了一些重要的工作,如荷蘭物理學家和天文學家惠更斯發明了發條鍾和擺鐘,這為準確的科學計時準備了條件;荷蘭工程師貝克曼(Isaac Beeckman,1588—1677)提出一切運動都要找出其力學原因的思想,為機械唯物主義做好了鋪墊;地理大發現已經過去了一個多世紀,歐洲人早已有能力在地圖上畫滿經度和緯度線,以準確定位地球上的每一點。

牛頓的《原理》正是在這樣的背景下寫作出來的。

《自然哲學之數學原理》的體系、結構和特點

牛頓並沒有聲稱自己要構造一個體系。牛頓在《原理》第一版的序言一開始就指出,他要“致力於發展與哲學相關的數學”,這本書是幾何學與力學的結合,是一種“理性的力學”,一種“精確地提出問題並加以演示的科學,旨在研究某種力所產生的運動,以及某種運動所需要的力”。他的任務是“由運動現象去研究自然力,再由這些力去推演其他運動現象”。

然而牛頓實際上構建了一個人類有史以來最為宏偉的體系。他所說的力,主要是重力(我們今天稱之為引力,或萬有引力),以及由重力所派生出來的摩擦力、阻力和海洋的潮汐力等,而運動則包括落體、拋體、球體滾動、單擺與復擺、流體、行星自轉與公轉、迴歸點、軌道章動等,簡而言之,包括當時已知的一切運動形式和現象。也就是說,牛頓是要用統一的力學原因去解釋從地面物體到天體的所有運動和現象。

在結構上,《原理》是一種標準的公理化體系。它從最基本的定義和公理出發,“在第一編和第二編中推導出若干普適命題”。第一編題為“物體的運動”,把各種運動的形式加以分類,詳細考察每一種運動形式與力的關係,為全書的討論做了數學工具上的準備;第二編討論“物體(在阻滯介質中)的運動”,進一步考察了各種形式的阻力對於運動的影響,討論地面上各種實際存在的力與運動的情況。牛頓在第三編中“示範了把它們應用於宇宙體系,用前兩編中數學證明的命題通過天文現象推演出使物體傾向於太陽和行星的重力,再運用其他數學命題由這些力推算出行星、彗星、月球和海洋的運動”。在全書(我們選用的這個第三版)的最後,牛頓寫下了一段著名的“總釋”,集中表述了牛頓對於宇宙間萬事萬物的運動的根本原因——萬有引力——以及我們的宇宙為什麼是一個這樣優美的體系的總原因的看法,集中表達了他對於上帝的存在和本質的見解。

在寫作手法上,牛頓是個十分專注的人,他在搭建自己的體系時,雖然仿照歐幾里得(Euclid,約公元前3世紀)的《幾何原本》,但從沒有忘記自己的使命是解釋自然現象和運動的原因,沒有把自己迷失在純粹形式化的推理中。他是極為出色的數學家,在數學上有一系列一流的發明,但他嚴格地把數學當做工具,只是在有需要時才帶領讀者稍微作一點數學上的遠足。另一方面,牛頓也絲毫沒有沉醉於純粹的哲學思辨。《原理》中所有的命題都來自於現實世界,或是數學的,或是天文學的,或是物理學的,即牛頓所理解的自然哲學的。《原理》中全部的論述都以命題形式給出,每一個命題都給出證明或求解,所有的求證求解都是完全數學化的,必要時附加推論,而每一個推論又都有證明或求解。只是在牛頓認為某個問題在哲學上有特殊意義時,他才加上一個附註,對問題加以解釋或進一步推廣。

大多數讀者在閱讀《原理》時感到困惑和困難的是牛頓的對於命題的解決方式。首先,牛頓大量使用作圖,採用幾何學的證明方法;其次,牛頓大量運用比例關係式,這一點令讀者感到繁雜,但卻正是牛頓論證的有力之處。它在思想上符合牛頓的可測度空間和時間以及重量等物理概念只是相對性的見解,運算中迴避了拘泥於單位制的麻煩並且使牛頓極為方便地引入了他發明的極大極小比方法。此外,我們應當理解到,在牛頓寫作《原理》時,用來解決物體運動的動力學問題的有力工具微積分(牛頓稱為流數法)還處於發明的初期,遠遠沒有成熟到今天的樣子,而牛頓本人正是這種技術的主要發明人之一。有證據表明,書中的許多論述,牛頓是通過自己發明的流數法或反流數法得到的,但在寫作《原理》時,牛頓換成了當時人們較為熟悉的幾何作圖與代數運算相結合的形式。實際上,《原理》發表後,許多讀者根本讀不懂,以至於有人認為牛頓寫了一本“連他自己也看不懂的書”,牛頓那令人眼花繚亂的數學技巧使許多當時一流的數學家也感到非常吃力。

《原理》中使用的數學、物理學和天文學概念術語非常多,其中有許多與我們今天常見的相同,但也有許多不同,還有一些今天已很少使用。這一點需要讀者注意。

牛頓的《原理》大致上仿照古希臘歐幾里得的《幾何原本》來佈局。全書是一種邏輯體系,從基本的定義開始,再給出幾條推理規則(運動定律),經過一系列的推理和演算,得到一些普適的結論,再把這些結論應用到實際中與實驗或觀測數據相對照。

《原理》一開始就是“定義”和“運動的公理或定律”。其中“定義”部分共有8條,在隨後的附註中又補充了4對十分重要的定義。

第一個定義是“物質的量”,也就是我們今天所說的“質量”。在當代物理學中,質量是一個最基本的物理概念,但在牛頓時代,這一點還沒有得到公認,也沒有國際公認的質量標準和統一單位制,因此牛頓利用物體的密度和體積來決定物質的量。這與我們今天的做法正好相反,我們是用質量和體積來定義密度。不瞭解歷史背景的人會以為牛頓是在搞循環論證,實際情況是牛頓發現一切物體在運動中都有某種共同的不變的東西,不管物體怎樣運動,受到怎樣的力,它的體積與密度的乘積都是保持不變的,這就是物質的量,研究物體的運動時,必須要考慮到它。

第二個定義是“運動的量”,即質量與速度的乘積,也就是我們今天熟知的動量。

第三個定義是物體的慣性,表述物體保持其已有運動的大小和方向的本領(當物體不受其他外力作用時)。伽利略已經知道物體的慣性。今天我們知道,物體的質量越大慣性越大。

隨後牛頓定義了外力、向心力及其度量,然後是向心加速度和向心運動量的定義。這些與我們今天物理教科書的定義大致相同,只是我們較多地談論向心力和向心加速度,其他概念則較少用到。

這些概念總的來說是我們今天所熟知的,但在當時,正如牛頓所指出的,是“鮮為人知的術語”。

引起後世廣泛討論的是牛頓在附註中所作的4對補充定義,即絕對時間和相對時間、絕對空間和相對空間、絕對處所和相對處所以及絕對運動和相對運動等4對範疇,其中後兩對是派生概念,而前兩對十分重要。絕對時間和絕對空間是牛頓力學的基本框架和標誌性概念,由此引申出後來的宇宙在時間和空間上的無限概念。牛頓用了較大篇幅解釋他的時間和空間概念,但讀者可能會認識到,牛頓的絕對的時間和空間並不是絕對必要的,至少在他的《原理》討論所及不是必要的,這一對範疇為牛頓力學所提供的框架遠較其所必要的來得充分。的確如此。其實牛頓自己也承認,絕對的時間和空間實際上是無法測度或被認識的,我們能確知的只是相對的時間和空間,它們才是在運算上有意義的。

那麼怎樣理解牛頓的絕對時間和空間呢?牛頓寫作《原理》,有兩大基本任務,一是建構自己的體系,另一是批駁笛卡爾學派的體系。絕對時間和空間概念雖然對於牛頓自己的計算並不是必要的,但對於預防對手的攻擊卻是必要的。在牛頓的體系中,巨大的宇宙空間裡行星及其衛星各自在自己的軌道上運行,秩序井然又常運不已,這體系是上帝的創造,但上帝在創造它以後卻不再進行干預。按照牛頓的力學,如果時間不是絕對的,則必然要顧慮到時間起點和終點問題;而要使得這一體系永遠維持其穩定,空間又必須是真正的空,而且在尺度上也必須足夠的大,它必須沒有邊緣,否則牛頓必須回答自己無法解答的空間的起點問題。牛頓把一切絕對的、無限的性質歸結於上帝(我們將在《原理》最後的“總釋”中見到有關論述),這是由其基本宗教信念決定的,絕對時間和空間範疇的引入,既很好地體現了牛頓的神學見解,又有效地迴避了對手的詰難。

長期以來,很多學者,主要是哲學家,對牛頓的絕對時間和絕對空間概念進行了經久不息的討論,並且因此給牛頓戴上或是“唯心”或是“唯物”之類的帽子。這些爭論在科學上毫無意義可言,而且硬要給300多年前的歷史人物貼上某種標籤的做法,是一種膚淺幼稚的舉動。例如,牛頓的絕對時空觀,說它是唯心主義的,因為它沒有把上帝徹底排除出局,把宇宙的第一次推動留給了上帝。那麼,我們要問,如果牛頓不是使用絕對時空概念,他將把他的有限宇宙中的主宰者放在什麼地方呢?他的絕對時空概念是不是使得上帝離人間更遙遠一些了呢?實際上,正是牛頓的絕對時空觀使得後來的唯物主義的無限宇宙論得到科學上的依據,它在很長一段時間裡統治著我們的哲學和思想領域,然而,現代科學已經證明,它才是根本站不住腳的,我們的宇宙,的確在時間上是有起點的,其空間也是有限的。

還有一種見解認為牛頓的絕對時空觀是形而上學的,說他看問題太絕對化了。但是,既然牛頓用這樣的思維方式如此有效地建構了宏偉的宇宙體系,使得世人沿用它長達300年之久,我們還能要求牛頓什麼呢?還有哪一種方法能給我們帶來更多的關於世界的真正的知識呢?

牛頓在試圖區分絕對運動和相對運動時,提出了一個歷史上極為著名的“水桶實驗”,300年來,幾乎所有的大物理學家和哲學家都對這個實驗發表過見解,有人辯駁,有人維護。對此,我們不多加評論,請讀者自己思考。

總之,牛頓寫下的定義,是過去300年來所有大科學家、哲學家、思想家們尋找靈感的地方,值得認真研讀、思考。

緊接著定義部分,就是“運動的公理或定律”。在這裡,牛頓給出了每一箇中學生都能倒背如流的極為著名的“力學三定律”。我們看到,牛頓對力學三定律的敘述與我們今天的表述幾乎完全一樣,反映出牛頓對有關問題的思考極為成熟,經得起時間的長期考驗。

隨後牛頓就三定律做出了6條推論,討論了力的分解與合成,以及由此而產生的運動的分解與合成。其中值得注意的是牛頓關於多個物體的公共重心所作的討論,牛頓的公共重心相當於我們今天所說的質量中心。這一概念的使用,在以後討論天體的運動時有著重要意義,也反映出牛頓從複雜現象中抽象出簡單的有代表性的現象的能力。

第一編共有14章內容。

首先,讀者應能注意到,牛頓在專門引入數學工具時,使用的是“引理”,而在論述本書正題時,使用的是“命題”。引理與命題都在必要的時候加入推論和附註。

牛頓在第1章首先引入極限概念、求極限的方法,引入無窮小概念和求曲線包圍的面積以及求曲線的切線的方法。這一章中的11條引理是牛頓能夠成就《原理》所依賴的最重要的數學手段之一,幾乎全是牛頓自己的發明。牛頓在該章的附註中指出,“這些引理意在避免古代幾何學家採用的自相矛盾的冗長推導”。其中的引理2、3和11正是牛頓運用著名的牛頓流數法的例證。牛頓是這樣來為自己的無窮小概念辯護的:

“可能會有人反對,認為不存在將趨於零的量的最後比值,因為在量消失之前,比率總不是最後的,而在它們消失之時,比率也沒有了。但根據同樣的理由,我們也可以說物體達到某一處所並在那裡停止,也沒有最後速度,在它到達前,速度不是最後速度,而在它到達時,速度沒有了。回答很簡單,最後速度意味著物體以該速度運動著,既不是在它到達其最後處所並終止運動之前,也不是在其後,而是在它到達的一瞬間。”

第2章論述根據物體的運動軌跡(軌道)來求該物體所受到的向心力。這裡,牛頓做出的是最一般化的討論,曲線的形狀包括正圓、橢圓、雙曲線、螺旋線、拋物線等,物體到指定向心力中心的力與距離的關係則又有多種情況。其中命題4的推論6適用於天體運行的情況:“如果週期正比於半徑的3/2次冪,則向心力反比於半徑的平方;反之亦然。”這一關係,是牛頓宇宙論最核心的基石。

在隨後的第3、4、5章中,牛頓進一步詳盡考察了物體沿圓錐曲線運動時的有關問題,包括向心力的規律(反比於距離的平方)、確定曲線形狀等。命題第22—29為幾種由已知條件(點、線或某些區域)畫出圓錐曲線,在當時的天體力學乃至當今的天文學中都有重要意義。

第6、7兩章是求解已知軌道上物體的運動,相當於我們熟知的由已知方程求解。其中第7章是“物體的直線上升或下降”,把伽利略的自由落體運動定律推廣到最一般的情形。

由前面幾章的鋪墊,牛頓就可以在隨後的幾章裡運用力和運動的合成與分解方法,討論拋體運動、擺體運動和物體沿軌道運動時的迴歸點運動,以及其他受兩種以上力的物體的運動。

第11章“受向心力作用物體的相互吸引運動”是整個第一編的高潮,其中的命題66是整部《原理》中最長的一個,它討論了3個相互間都有吸引力作用的物體的複雜的相互運動關係,推論多達22個,幾乎討論了地面物體的運動、各種天體的運動、天體軌道的運動、潮汐運動等所有形式,差不多可以認為它就是一部濃縮的《原理》。但是,這一命題所討論的還不是嚴格的三體問題,對三體問題的正式討論出現在第三編的命題22。

第12章中再次出現了極為重要的內容。這一章的標題是“球體的吸引力”。在命題76的推論3和4中,我們看到了今天盡人皆知的萬有引力定律的文字表述。這一定律還將在隨後的論述中多次出現,全書最後的總釋中也以更加標準的形式加以表述。需要指出的是,我們今天談到牛頓的豐功偉績時,首先會談到他的萬有引力定律,其次才是他的力學三定律。《原理》的讀者可能很容易在書中發現他的力學三定律,但找不到萬有引力定律,原因是牛頓並沒有把這一定律像我們今天這樣把它突出出來。但是,這並不意味著牛頓本人不認為萬有引力定律有普適意義,而是在牛頓那裡,萬有引力的大小、方向等規律必須是推導出來的結果,不是當做經驗性的普適原理直接引入的。

在隨後的第13章,牛頓把由典型的球形物體得出的引力規律進一步推廣到一般的非球形物體。

第一編的最後一章也是值得注意並且十分有趣的。牛頓討論“受指向極大物體各部分的向心力推動的極小物體的運動”。在這裡,極大物體指的實際上是具有平行平面的光學介質,而極小物體指的是光線。牛頓認為,光的本性是極其微小的顆粒,這些微小顆粒受力學規律的支配。這就是在歷史上一度產生巨大影響的關於光的本性的“微粒說”,牛頓是這一學說的鼻祖。與牛頓同時代的荷蘭物理學家惠更斯提出關於光的本性的“波動說”,曾在《原理》發表以前得到普遍認同,但後來由於牛頓和《原理》的巨大影響,微粒說壓倒了波動說,直到19世紀托馬斯·楊(Thomas Young,1773—1829)的光的干涉實驗得到波動說的圓滿解釋後,波動說才又重新抬頭。有趣的是,到20世紀初量子論提出來後,光的微粒說又得到復活。現在的通行觀點是光以及所有的粒子都有微觀粒子所特有的“波粒二象性”。在《原理》中,牛頓把光看作是粒子,在考慮了介質的吸引或排斥作用後,推導出了光的折射定律。牛頓還進一步考察了光在經過介質後所產生的像差,指出運用折射原理的任何光學儀器都不可能產生出完美的像。

《原理》的第一編篇幅巨大,它具備了牛頓力學的全部主要內容,包括基本定義、力學三定律和萬有引力定律、求極限和無窮小數學手段、物體的各種運動形式、物體的各種受力情況、各種運動軌道與受力的關係,甚至還涉及光的傳播、海洋潮汐運動等等。正如有的學者所評論的,即使《原理》沒有完整出版,僅僅憑著這第一編,就足以使牛頓成為有史以來最偉大的人物之一。

儘管牛頓本人認為《原理》的第二編也和第一編一樣是推導“若干普適命題的”,但是今天的人們還是傾向於認為這個第二編主要是屬於第一編的應用部分。牛頓給它的標題與第一編幾乎相同,叫做“物體(在阻滯介質中)的運動”,其括號中的限定語說明第二編所討論的主要是地面物體的實際運動情況。這一部分中雖然沒有第一編中那麼多君臨天下的大規則、大定義,但卻也推導出許多重要的具體結論,讀起來常常令人頓生“原來如此”的感慨。

本編的導讀,我們不再逐章逐節地介紹,而是換一種方式,把值得特別指出的成果進行羅列。

第一值得指出的是牛頓在引理2中介紹了他發明的求微分或導數的方法,即牛頓流數法。牛頓說,一個變化的量,其增大或減少的速率,他稱之為“瞬”,“是一種普適方法的特例或更是一種推論,它不僅可以毫不困難地推廣到求作無論是幾何的還是力學的曲線的切線,或與直線及其他曲線有關的方法中,還可用於解決有關曲率、面積、長度、曲線的重心等困難的問題”。顯然,這一方法正著用是求導數,反著用就是求積分。牛頓分6種情形詳細介紹了求導數的方法,還做出了3項推論。我們已經知道,牛頓早在大鼠疫時期就發明了這種方法,這是他一生中最為傑出的發明之一。

第二,牛頓演示了在求解極為複雜的問題時,可以採用近似求解的方法。在命題10中,牛頓具體演示了求解拋體在阻滯介質(空氣)中的運動時,用雙曲線來近似替代更為複雜的拋物線的方法求解。他甚至還就這種方法給出了8條規則。實際上,直到今天,科學家們擁有功能強大的運算工具電子計算機,在求解大量的科學、技術和工程問題時還是必須大量採用近似求解的方法。難能可貴的是,牛頓的演示表明,近似的方法,在大大簡化求解難度的同時,又不會過度失去嚴格性,這正是現代科學的精妙所在。

第三,牛頓通過嚴格的數學推導和大量的實驗數據演示了怎樣通過在介質(如水、空氣)中的擺體的運動來求出介質的阻力(見第6章,命題24—31)。在這中間,牛頓甚至還教給人們怎樣處理數據的誤差,消除不合理的實驗數據。在第6章的總注的最後,牛頓還設計了一個擺體實驗,用於檢測以太的存在。牛頓的結論是以太不存在。順便指出,在現代物理化學實驗中,許多物體的特性(特別是力學特性)仍然是運用形形色色的擺體實驗來測定的,當然,實驗裝置比牛頓的要複雜,但基本原理並無大的不同。

第四,在第8章,牛頓通過設想流體由流體粒子所組成,推導出波動的小孔擴散效應。這一效應被運用到推算聲音的傳播速度,牛頓得到的數據(包括做了些修正)是一秒鐘行進約979英尺,經過一系列修正後達到1142英尺,相當於381米,與他的實測數據完全吻合。這一數據與當代的實驗數據有較大出入,但牛頓正確地估計到了空氣的壓力、溼度等因素對於音速有較大影響。

第五,在這一編的最後部分(第9章),牛頓精心安排了“求解流體的圓運動”內容。牛頓在這不長但卻令人矚目的一章中,只安排了3個命題(51—53),分別討論無限長柱體、球體在均勻介質中旋轉時傳遞給介質的運動,以及渦旋自身的運動規律。其中命題52十分重要,它有3種情形、11條推論和1條附註。牛頓推導出,像太陽那樣的球體旋轉所帶動的宇宙渦旋(如果有這種東西的話)運動,各部分的速度與它到渦旋中心的距離是成正比的,然而天文觀測事實是,行星的速度與它們到太陽的距離的3/2次冪成正比,各衛星與行星的關係也是如此。牛頓挖苦說,“還是讓哲學家們去考慮怎樣由渦旋來說明3/2次冪的現象吧”。牛頓經常以“哲學家”來稱呼他的論敵,這一個命題及其推論是對笛卡爾及其學派渦旋說的最直接最沉重的打擊。

牛頓摧毀了一箇舊的世界,以下就要建立起自己的新世界了。

牛頓曾為《原理》寫過兩個第三編,一個是我們現在看到的,題為“宇宙體系(使用數學的論述)”,另一個題為“宇宙體系”,是一個非數學的通俗寫法。牛頓把使用數學論述的宇宙體系收入正式出版的《原理》作為第三編。在第三編開頭的引言中,牛頓指出,只要讀者仔細閱讀過本書前面的定義、運動定律和第一編的前3章,就可以直接閱讀第三編,而在遇到引述的命題時,再回到前面查閱。

第三編是《原理》中最為輝煌的篇章。它氣勢磅礴,美輪美奐。在這一章中,牛頓詳細地描繪了他的宇宙體系,太陽與各行星、各行星與它們的衛星之間的相互關係,以及彗星的運動和地球上海洋的潮汐運動。牛頓以萬有引力作為所有這些現象的動力學原因,可以說是有史以來人類所能對宇宙做出的最大的立法。牛頓的宇宙,結構簡單明快,不留絲毫的神祕和含糊,這種結構的運行機制是如此的簡單、如此的強有力、如此的穩定、如此的井井有條,實在是令人歎服。

在這一編的寫作安排上,牛頓取消了章的設置,直接由一個個命題展開論述,重要的命題安排附註加以解釋或總結。

這一編開頭,牛頓先寫下了4條“哲學中的推理規則”,它們實際上就是自然哲學即我們今天所說的科學研究的基本推理規則,值得每一個有志於研究問題的人默記在心。

然後牛頓羅列了6種天文現象,分別描述木星及其衛星系統、土星及其衛星系統、太陽與5大行星系統(當時人們只發現了太陽系的5大行星)和地球與月球的運行關係,實際上是複述了開普勒的行星運動三定律。需要特別注意的是,整個第三編涉及大量天文學術語以及許多地理學和歷史學知識,閱讀起來有一定的難度,要求讀者有較寬的知識面。

運用上述推理規則、前文的推導結果,牛頓就正式開始對上述現象給出解釋,展開他那壯美的宇宙畫卷。

命題1—17,牛頓逐一論述了木星系統、太陽系、地—月系統、土星系統等的運動情形和軌道變化。在這期間,我們會多次看到萬有引力定律的表述,特別是其中的命題8。還有一個令人驚異之處,牛頓僅僅憑著觀測到的行星運行數據和引力定律,就推算出各個行星的物質的密度,進而推算出那裡引力的強弱和物體重量情況,教人大開眼界。

命題18、19和20更進一步推算出地球的形狀和物體重量隨地理位置的變化。牛頓指出,地球的自轉使得其兩極處較之赤道處更加扁平。這是一個可以直接驗證的科學預言。如果按照笛卡爾學派的觀點,地球的形狀正好與牛頓的預言相反,是兩極處高於赤道處。這正好是兩種宇宙體系在同一個具體問題上尖銳衝突的地方。後來歐洲國家特別是法國多次派出遠征考察隊到全球各地實地測量地球數據,得到的結論無一不支持牛頓,而與笛卡爾的相左。歷史事實是,正是由於牛頓預言的地球形狀得到確認,才使得歐洲人、特別是民族自豪感極為強烈的法國人最終拋棄笛卡爾學說,轉而接受牛頓體系。

從命題22到命題39,牛頓對月球運動的不規則現象進行討論。現代天文知識告訴我們,由於日、地、月三者之間的相互影響,月球的運動十分複雜,處理起來十分棘手。牛頓正確地判斷出這三者的關係對於月球運動的不規則性有重要影響。命題22被認為是歷史上第一次正式提出三體問題,這樣的問題至今還是沒有精確解的。

一般認為,牛頓的月球理論問題最多,致使《原理》乃至整個牛頓學說備受當時論敵詬病。這是實情。然而牛頓的月球理論的問題主要是具體數據的問題,不是思路和方法上的問題,更不表明牛頓的力學理論和宇宙理論是錯誤的。我們知道,牛頓早在1665—1666年間就已經形成了他的力學和宇宙體系的基本看法,並且做出了大部分的理論計算和推導,但他遲至20年後才發表所有這一切,有一種解釋就是牛頓一直認為有關的天文觀測數據特別是月球的觀測數據與他的理論有較大出入,迫使他擱置自己的發明,也促使他積極置身於天文觀測工作。這種見解至少是部分合理的。當然,牛頓推遲發表《原理》的原因,主要並不是因為要等待觀測數據,而是因為他一直無法在數學上建立起平方反比關係與行星橢圓軌道之間的對應關係。牛頓是在1679年才解決了有關的問題。但是,限於當時的天文觀測工具水平,牛頓以及當時所有的天文學家都不可能得到高精度的觀測數據,因此月球理論與實際情況之間的誤差是不可避免的。

這一部分的論述,雖然有關月球的部分誤差較大,但關於海洋潮汐運動和地面物體在不同緯度有重量變化的推導和論述卻是高度可靠的。牛頓用統一的理論解釋了地球形狀與地面物體隨緯度變化現象,所依據的關鍵性證據是在地球各不同地點的擺體的週期變化。這再好不過地證明了他的引力理論和把地球重量集中於地心的抽象假設的合理性,真是意料之外、情理之中。

海洋潮汐運動理論是牛頓的引力理論與流體力學的綜合運用。牛頓收集的海洋數據來自全球各地,牛頓極為雄辯地指出,月球運動是潮汐的根本原因,太陽也對潮汐有影響,但與月球相比只有約1/5左右。月球驅動海洋的力量只有地球上重力的二百萬分之一,這樣小的力在任何力學研究中都絕對是微不足道的,但對於浩瀚的海洋,它足以引起波濤洶湧的大潮。相信每一位讀者讀到這裡,都會掩卷歎服,拍案叫絕。

與此同時,牛頓還順帶著推導出太陽、地球和月球的密度、形狀和體積,以及地球與月球的距離等。這些在當時都是唯有牛頓的理論才能推算出來的數據。

在談論完月球與海洋之後,牛頓寫到了整部《原理》中最精彩奪目的部分:彗星理論。

彗星是人類記錄到的最古老的天文現象之一,各民族(包括中國)的史料中都有記載,但都認為彗星的出現是災禍的徵象,它居無定所,來去匆匆。牛頓受到其他天文學家的啟發,運用來自全球各地的大量觀測數據、他本人的觀測數據,甚至還運用了大量的古代文獻記載,證明彗星是與行星十分類似的天體,以偏心率極大的橢圓軌道圍繞太陽運行,其近日點可以潛入水星軌道以內,遠日點則達到遙遠的宇宙深處,其環繞週期可能長達數百年,甚至更多。

這一部分的命題只有3個:命題40、41和42,但牛頓為了計算彗星的軌道,引用了多達8個引理。其中命題40之後的引理5有重要意義,它就是十分著名的牛頓內插公式。

牛頓十分幸運,他親身經歷了1665年、1680年、1683年和1723年出現的幾次彗星的觀測,這使他有可能用豐富的數據資料反覆驗證自己的理論。

牛頓指出,根據哈雷博士的研究,1680年出現的彗星繞太陽運行週期是575年。牛頓沿著史料記載一直追溯到公元前44年,那一年愷撒(Julius Caesar,前 100—前44)大帝被刺殺。隨後它在531年、1106年和1680年出現,每一次都帶來極為壯觀的彗星景觀,其彗尾在天空中跨越幾十度,能照亮夜空。由於它週期極長,因而當它處於近日點時到太陽的距離還不足太陽直徑的1/6。

牛頓還指出,1682年出現的彗星,經過哈雷的計算,與1607年的彗星的軌道應當是相同的,即它們是同一顆彗星,其週期為75年。今天我們知道,這顆彗星的確在1758年、1834年、1910年、1986年回到地球,週期為76年,它就是著名的哈雷彗星。

除了推算出彗星的軌道和週期,牛頓還以與現代天文學極為吻合的方式解釋了彗尾現象:彗星在近日點受到太陽加熱,放射出氣體物質,氣體物質又受到陽光的照射而反光。牛頓甚至還估計了彗尾的稀薄程度。

還有,牛頓進一步大膽設想,新星和超新星的出現與彗星有關,彗星在環繞運動的末期被恆星俘獲落入恆星放出巨大能量。但這一推測是錯誤的。此外,在牛頓撰寫的“宇宙體系”(使用非數學的論述)中,還提到太陽系外層行星(土星)的遠日點有前移現象,牛頓認為,“這可能是由於在行星區域以外有彗星沿極為偏心的軌道運行,很快地掠過它們的近日點,並在其遠日點處運動極慢,在行星以外區域度過其幾乎全部的運行時間”。這一思想的實質是,在內層軌道上的行星運動的不規則性,可能是由外層行星的攝動引起的。有論者指出,牛頓在這裡實際上預言了天王星的存在。天王星於1781年被發現。而海王星的發現,也是由於人們觀測到天王星軌道的攝動。這一例子說明牛頓理論的強大預言能力。

這樣,天空中最困擾人類的彗星現象終於被納入牛頓的宇宙體系,得到了最有說服力的合理解釋。至此,牛頓也就在令讀者沉醉於凝視彗星景觀與繁星密佈的蒼穹中結束了《原理》。

在《原理》的第一版中,牛頓沒有安排這一部分內容,於是招致來自宗教界和神學界的強有力的批評。批評者主要指責的是牛頓的體系中沒有上帝的位置,《原理》(第一版)甚至通篇沒有提及上帝。其中貝克萊大主教(Bishop Berkeley,1685—1753)和萊布尼茲的批評很有分量,他們都有充分資格與牛頓對話。貝克萊大主教認為牛頓的絕對時空觀排除了上帝的存在的可能性,因而屬於無神論。貝克萊甚至還仔細推敲了牛頓的流數法、無窮小和極限概念及理論,指出了它們在數學上沒有足夠的理論基礎,甚至是荒謬的。牛頓生前總算在與萊布尼茲的優先權爭執中取得勝利,但對貝克萊的批評卻無法做出解答。實際上,微積分的基礎極限論要到19世紀才發展完備,其複雜和抽象程度遠不是牛頓時代的人們能夠想象的。

萊布尼茲則認為萬有引力是一種說不清道不明的“隱祕的質”,連上帝也說不清。在這篇“總釋”裡,牛頓迴應了萊布尼茲的指責,但語氣上比較含糊。而他的學生科茨(Roger Cotes,1682—1716)在為《原理》第二版所作的序言中對萊布尼茲做出了猛烈回擊。人們公認,科茨為《原理》寫的這篇序言是得到了牛頓充分認可的,是一篇完整闡述牛頓自然哲學思想的檄文。

但是牛頓必須澄清自己的神學見解。在他那個時代,對於有教養的人和有社會地位的人來說,不信神或者無神論者是一個可怕的罪名。牛頓當然不願戴上這頂帽子,更何況牛頓本來篤信上帝,自幼就有著極為深沉的宗教情感,堅信自己所做的一切都是服務於證明上帝的存在和解釋上帝的創造物的莊嚴、偉大和秩序。近年研究牛頓的學者發現,牛頓青年和中年時代,大約是想使自己成為一個集大成的神學家,自然哲學、數學只是他向著這個方向努力的一個方面而已。我們甚至不妨這麼來看問題:對於牛頓來說,《原理》和他的偉大宇宙體系,只是他的神學研究總體計劃中的一個局部的或階段性的成果。由此也就容易理解為什麼《原理》和《光學》發表後,牛頓又那樣專注地沉迷於神學研究,並寫下頁數十倍於自然哲學手稿的神學手稿。因此在《原理》第二版發表時,牛頓加寫了這段總釋,集中表述了他的上帝觀和上帝與他的宇宙體系之間的關係。據學者們研究比較,牛頓的這段總釋到《原理》發表第三版時又做了一些字句上的改動,就是我們現在所見到的。

“總釋”並不長,大約只有4000餘字。

一開頭,牛頓簡單複述了渦旋說的困境:無法解釋行星週期與3/2次冪的關係,無法解釋彗星的現象;隨後,牛頓重申了宇宙空間的真空特性。然後他指出,天體維繫在其軌道上的原因似乎不大可能僅僅是由於萬有引力規律的存在,“它們絕不可能從一開始就由這些規律中自行獲得其規則的軌道位置”。這裡就為日後人們反覆提起的“第一推動”留下了伏筆。

牛頓進一步描述了他發現的(也就是上帝所創造的)宇宙體系:

“六個行星在圍繞太陽的同心圓上轉動,運轉方向相同,而且幾乎在同一個平面上。有十個衛星分別在圍繞地球、木星和土星的同心圓上運動,運動平面也大致在這些行星的運動平面上;……彗星的行程沿著極為偏心的軌道跨越整個天空的所有部分,……這個最為動人的太陽、行星和彗星體系,只能來自一個全能全智的上帝的設計和統治。”

牛頓進一步猜想:“如果恆星都是其他類似體系的中心,那麼這些體系也必定完全從屬於上帝的統治。……為避免各恆星的系統在引力作用下相互碰撞,他(上帝)便將這些系統分置在相距很遠的位置上。”

到這裡,牛頓肯定了上帝的存在,肯定了這個“最為動人” 的體系來自於上帝的設計和統治。到這裡,我們不免會注意到牛頓明顯地迴避了《聖經·創世紀》中講的上帝創造世界的故事:他似乎不反對上帝創世,但他不同意《聖經》中的那種創世說。在他自己的宇宙裡,他只強調了上帝對於宇宙的統治權。

他說,“上帝不是作為宇宙之靈而是作為萬物的主宰來支配一切的”。牛頓比較了統治權與自治權的區別,指出一般人心目中的上帝只不過是有自治權的神,但真正的上帝是享有對於一切的統治權的。“只有擁有統治權的精神存在者才能成其為上帝:一個真實的、至上的或想象的統治才意味著一個真實的、至上的或想象的上帝。”

然後,牛頓由上帝的統治權推導出上帝的稟賦,一個他心目中與常人想象的不同的上帝:統治意味著能動性和全能全智,完善和至上,支配一切。“他不是永恆和無限,但卻是永恆的和無限的;他不是延續或空間,但他延續著而且存在著。他永遠存在,且無所不在;由此構成了延續和空間。”

到這裡,牛頓大致迴應了貝克萊主教對他的指責,在絕對時間和絕對空間與上帝之間掛上了聯繫。緊接著,牛頓回擊了萊布尼茲的詰難:

上帝“以一種完全不屬於人類的方式,一種完全不屬於物質的方式,一種我們絕對不可知的方式行事。就像盲人對顏色毫無概念一樣,我們對全能的上帝感知和理解一切事物的方式一無所知。……我們能知道他的屬性,但對任何事物的本質卻一無所知。……我們無法運用感官或任何思維反映作用獲知它們的內在本質;而對上帝的本質更是一無所知”。

“因此,像萊布尼茲那樣妄論引力是不是上帝的意志、或其屬性、或什麼隱祕的質的人,才是真正不敬神的人。”

最後,牛頓沒有忘記為自己所從事的自然哲學的研究進行辯護:

“我們只能通過他(上帝)對事物的最聰明、最卓越的設計,以及終極的原因來認識他;……我們隨時隨地可以見到的各種自然事物,只能來自一個必然存在著的存在物的觀念和意志。……我們關於上帝的所有見解,都是以人類的方式得自某種類比的,這雖然不完備,但也有某種可取之處。……而要做到通過事物的現象瞭解上帝,實在是非自然哲學莫屬。”

到這裡,牛頓結束了對上帝的談論。

總的來說,牛頓的上帝見解的確與大多數基督徒的見解不同。他不談論上帝創世,但他談論上帝“治世”;一般人認為“是”上帝的東西,他認為那隻“屬於”上帝;普通信眾認為要認識和接近上帝必須禱告和誦讀《聖經》,他卻認為應當研習自然哲學。

有的論者認為牛頓實際上只是一個泛神論者或自然神論者,這是不對的。僅從《原理》的這一篇“總釋”來看似乎有些道理,但是這並不是真正的牛頓。牛頓信仰上帝,而且認為自己負有重要的神學使命。讀者應當記得牛頓的生日那天是聖誕節,這一巧合成為牛頓的精神負擔。他以為自己的使命是向世人宣示宇宙的真理。人們無不驚異牛頓的《原理》是一部純粹的科學著作,正文通篇與上帝毫無關係;人們同樣驚異牛頓堅信《聖經》是古代賢哲寫給後人的密碼書,其中深藏玄機,而歷代流傳下來的《聖經》已經充滿訛誤,甚至還被篡改過,牛頓自覺承擔研究《聖經》年代學的任務,他要還《聖經》以本來面目,並且解讀其中的祕密;人們還驚異牛頓相信鍊金術,經常夜以繼日地守候在烏煙瘴氣的鍊金爐前,還曾經為此累垮了身體甚至中毒,牛頓認為鍊金術中也深藏著宇宙機密;當然,人們還會驚異牛頓巨大的管理才能和在官場上的老道練達,在運用統治手段時那種毫不留情和摧毀對手的殘忍。牛頓是個極為複雜的歷史人物。

在這篇“總釋”中,牛頓剛剛談論完上帝,就再次表述了他的萬有引力定律:“它(引力)取決於它們(粒子)所包含的固體物質的量,並可向所有方向傳遞到極遠距離,總是反比與距離的平方減弱。”但是,牛頓堅定地拒絕談論萬有引力的原因。關於引力從何而來的問題,他實際上是這樣回答的:“不知道。”

後世的哲學家們真是應當感謝牛頓,因為他描述完自己的體系之後,又談論起自己的方法論來,寫下了一段可以讓他們大書特書、聚訟紛紜的文字:

“我也不構造假說;因為,凡不是來源於現象的,都應稱其為假說;而假說,不論它是形而上學的或物理學的,不論它是關於隱祕的質的或是關於力學性質的,在實驗哲學中都沒有地位。在這種哲學中,特定命題是由現象推導出來的,然後才用歸納方法做出推廣。……對於我們來說,能知道引力確實存在著,並按我們所解釋的規律起作用,並能有效地說明天體和海洋的一切運動,即已足夠了。”

顯然,牛頓寫這段文字時心裡是想著德國人萊布尼茲的,這是一段帶有論戰性的文字,不能代表牛頓一以貫之的總的方法論態度。牛頓顯然極為滿意於自己的發明,極為滿意自己構造的有史以來最大的假說。他好像向對手攤開了雙手,挑釁說:我做到了,你行嗎?就像今天的科學家們爭吵時常說的,拿出實驗結果來,拿出觀測數據來!

“不構造假說”和“在實驗哲學中沒有地位”是牛頓所有的文字中被現代人炒作得最多的。牛頓是偉人,他的話當然一定是微言大義了。

在牛頓的時代,像牛頓這樣只對宇宙體系進行描述而拒絕做出充分說明和解釋的做法,是有些不合時宜的。學界的風氣是一事當前必先追問終極原因,這種思維方式至今仍在許多人的頭腦中存在,但它在大多數場合並不能給人們帶來更多的知識。牛頓的這種思維可以追溯到伽利略。伽利略對人們說,要先搞清楚事物是怎麼樣,然後才能回答為什麼。在思辨風氣甚囂塵上的時代,伽利略得不到廣泛的認同,而自牛頓始,這種先描述後解釋的思維才成為自然科學的標準思維,正因為如此,牛頓以後的科學才步入正軌,日益昌明。

然而更值得稱道的是,牛頓在深深自負於自己的發明之餘,並沒有忘記求實的態度:牛頓談到了某種最精細的精氣的事情,它使物質粒子在近距離上相互吸引,一旦接觸就粘連在一起;它還使帶電物體既推斥又吸引其他物體;使光發射、反射、折射,並加熱物體;使感官受到刺激,使軀體受到意志的驅動,等等。牛頓暗示,他的學說對這些現象還無能為力。

這是一種美德:謙遜。牛頓本人清醒地看到了自己理論的不足。

今天的科學和技術大大超越了牛頓的時代,但是在兩個問題上我們還沒能超越牛頓:一是建構一個與牛頓的同樣簡單的宇宙體系;二是用統一的理論去描述和解釋牛頓在上面提到的種種現象。

牛頓出生於公元1642年12月25日,那天是基督教的聖誕節,地點在英國的林肯郡伍爾索普鎮。牛頓家境貧寒,父親是個小農場主,在牛頓出生以前三個月就已經去世,那時他的生身父母結婚才半年多。牛頓3歲時母親改嫁給一位牧師,是外祖母把他撫養大。12歲時他的繼父又去世,他回到了母親身邊,發現自己多了三個同母異父的弟妹。牛頓的小學教育,主要是在外祖母家完成的。

牛頓在離家較遠的格蘭薩姆文科學校讀中學,寄宿在一位藥劑師的家中。在那裡,他獲得了極為寶貴的廣泛閱讀各類書籍,製作各種玩具,從事多種化學、物理實驗的機會。

牛頓的童年沒有得到父愛和母愛,這種不幸使小牛頓性格孤僻內向。他沒有知心朋友,他的課餘時間全都獻給瞭如飢似渴的閱讀和興趣盎然的實驗。但是他的學習成績不好,一度還是班級裡倒數第二。直到有一次他與一個欺負他的同學打架並且贏得了那場本來實力懸殊的毆鬥,他萌發出強烈的上進心,天才的一面開始展現出來,成績也一躍進入前茅。

牛頓中學畢業後以優異成績被推薦到劍橋大學三一學院。他極其勤奮地讀書、思考,他研究了大量古代和當代人的著作,特別是有關自然哲學、數學和光學方面的。不久他的指導教師就發現這個學生的學識已經超過了自己。1665年和1666年間,英國流行大鼠疫,各大學師生被疏散,牛頓回到家鄉。在這18個月裡,牛頓度過了他一生中最富於創造力的階段。

牛頓晚年回憶道:“1665年初,我發現了逼近級數法和把任意二項式的任意次冪化成這樣一個級數的規則。同年5月,我發現格里高利(Gregory,James,1638—1675)和司羅斯(Slues,René-Francois de,1622—1685)的切線方法。11月,得到了直接流數法。次年1月,提出顏色理論。5月裡我開始學會反流數方法。同一年裡,我開始想到引力延伸到月球軌道(並且發現計算使小球緊貼著內表面在球形體內轉動的力的方法),並且由開普勒定律、行星運動週期倍半正比於它們到其軌道中心距離,我推導出使行星維繫於其軌道上的力,必定反比於它們到其環繞中心距離的平方。因而,對比保持月球在其軌道上的力與地球表面上的重力,我發現它們相當相似。所有這些都發生在1665—1666那兩年的大鼠疫期間。那時,我正處於發明初期,比以後任何時期都更多地潛心於數學和哲學。”

1667年劍橋大學復課,牛頓當選為三一學院院士。兩年後,牛頓接替著名的數學家巴羅(Isaac Barrow,1630—1677)任魯卡斯教席數學教授。1668年牛頓發明並製作出第一臺反射望遠鏡,1671年他製作了第二臺並贈送給英國皇家學會,不久當選為該學會會員。在科學研究中嶄露頭角的牛頓遭到胡克(Robert Hooke,1635—1702)等人的刁難,捲入曠日持久的關於光的本性的爭論;約10年後牛頓與胡克之間又發生關於引力和運動學方面的爭論;在《原理》寫作期間(1686)和出版後,牛頓與胡克又發生關於發現萬有引力的優先權問題的爭論;同時牛頓與德國人萊布尼茲(Wilhelm Gottfried Leibnitz,1646—1716)之間又發生關於微積分的發明權的爭論。

1679年,牛頓與胡克的爭吵十分激烈。胡克對牛頓關於引力的見解提出強烈質疑,這促使牛頓全面考察了開普勒(Johannes Kepler,1571—1630)定律、伽利略(Galileo Galiei,1564—1642)運動學公式與引力之間的關係。這一年,牛頓終於證明了引力的平方反比關係與行星橢圓軌道之間的對應關聯。至此,牛頓的整個宇宙體系和力學理論的基本框架宣告完成。

牛頓在1684年才進入寫作《原理》的準備階段。到那一年,哈雷(Edmond Halley,1656—1743)、胡克和雷恩(Christopher Wren,1632—1723)三人大約同時猜到引力的平方反比關係與行星的橢圓軌道之間有必然聯繫,但他們都無法證明這一點。哈雷請教牛頓,牛頓表示他在幾年前已經證明了這一點,但是原先的手稿找不到了,他可以給哈雷再證明一遍。牛頓重新寫出了一篇《論軌道上物體的運動》,文中證明,天上與地上的物體服從完全同樣的運動規律,引力的存在使得行星及其衛星必定沿橢圓軌道運動。

哈雷一眼看出這篇論文有劃時代的價值,他敦促牛頓把它擴充為專著發表。於是1685和1686兩個年份的18個月裡,牛頓專心致志地從事寫作,《原理》這部偉大著作從牛頓的筆下源源不斷地流淌出來。牛頓顯然是有長期研究所取得的豐富成果作為基礎,他寫下的論述事無鉅細,都經過深思熟慮。他的寫作速度之快令人驚異,他寫作時的專注忘我令人感佩。

值得一提的是,皇家學會雖然十分重視牛頓的《原理》,但卻沒有財力資助出版它,是哈雷自費出版了牛頓的這部著作。

《原理》的出版震動了整個英國和歐洲學界。牛頓一躍成為當時歐洲最負盛名的數學家、天文學家和自然哲學家。人們爭相向他表示敬意,英國王室請他做客,歐洲公認的最偉大的幾何學家惠更斯(Christiaan Huygens,1629—1695)專程到英國拜訪他,各國元首和貴族訪問英國時也要去看望他,以結識他為榮。1689年,牛頓當選為國會議員;1696年,牛頓獲得造幣局總監任命;1701年,他再次當選國會議員;1703年,當選為英國皇家學會會長;1705年,受女王冊封成為爵士。

《原理》第一版出版時牛頓43歲。他的後半生研究強度大大減少,1704年他的另一重要著作《光學》出版,這本書是以英語寫作的。1707年,他出版了《數學通論》,這部著作沒有引起廣泛重視。在他生前,《原理》出版三個版本,第二版在1713年,第三版在1726年。

牛頓的後半生主要從事的工作和活動有:

社會活動。他應付各類社會名流賢達的拜訪,從事國家造幣局的管理工作,管理皇家學會。

與胡克、弗拉姆斯蒂德(John Flamsteed,1646—1719)、萊布尼茲等人爭論。

研究神學和《聖經》。

研究鍊金術。

整理出版自己的著作和文稿。

牛頓終生未娶,1727年3月20日逝世,英國王室為他在西敏寺大教堂舉行了國葬。(王克迪 中央黨校教授)

序言

牛頓

由於古代人(如帕普斯①告訴我們的那樣)在研究自然事物方面,把力學看得最為重要,而現代人則拋棄實體形式與隱祕的質,力圖將自然現象訴諸數學定律,所以我將在本書中致力於發展與哲學相關的數學。古代人從兩方面考察力學,其一是理性的,講究精確地演算,再就是實用的。實用力學包括一切手工技藝,力學也由此而得名。但由於匠人們的工作不十分精確,於是力學便這樣從幾何學中分離出來,那些相當精確的即稱為幾何學,而不那麼精確的即稱為力學。然而,誤差不能歸因於技藝,而應歸因於匠人。其工作精確性差的人就是有缺陷的技工,而能以完善的精確性工作的人,才是所有技工中最完美的,因為畫直線和圓雖是幾何學的基礎,卻屬於力學。幾何學並不告訴我們怎樣畫這些線條,卻需要先畫好它們,因為初學者在進入幾何學之前需要先學會精確作圖,然後才能學會怎樣運用這種操作去解決問題。畫直線與圓是問題,但不是幾何學問題。這些問題需要力學來解決,而在解決了以後,則需要幾何學來說明它的應用。幾何學的榮耀在於,它從別處借用很少的原理,就能產生如此眾多的成就。所以,幾何學以力學的應用為基礎,它不是別的,而是普遍適用的力學中能夠精確地提出並演示其技巧的那一部分。不過,由於手工技藝主要在物體運動中用到,通常似乎將幾何學與物體的量相聯繫,而力學則與其運動相聯繫。在此意義上,理性的力學是一門精確地提出問題並加以演示的科學,旨在研究某種力所產生的運動,以及某種運動所需要的力。古代人曾研究過部分力學問題,涉及與手工技藝有關的五種力,他們認為較之於這些力,重力(縱非人手之力)也只能表現在以人手之力來搬動重物的過程中。但我考慮的是哲學而不是技藝,所研究的不是人手之力而是自然之力,主要是與重力、浮力、彈力、流體阻力以及其他無論是吸引力抑或推斥力相聯繫的問題。因此,我的這部著作論述哲學的數學原理,因為哲學的全部困難在於:由運動現象去研究自然力,再由這些力去推演其他現象;為此,我在本書第一和第二編中推導出若干普適命題。在第三編中,我示範了把它們應用於宇宙體系,用前兩編中數學證明的命題由天文現象推演出使物體傾向於太陽和行星的重力,再運用其他數學命題由這些力推算出行星、彗星、月球和海洋的運動。我希望其他的自然現象也同樣能由力學原理推導出來,有許多理由使我猜測它們都與某些力有關,這些力以某些迄今未知的原因驅使物體的粒子相互接近,凝聚成規則形狀,或者相互排斥離散。哲學家們對這些力一無所知,所以他們對自然的研究迄今勞而無功,但我期待本書所確立的原理能於此或真正的哲學方法有所助益。

埃德蒙·哈雷(Edmond Halley)先生是最機敏淵博的學者,他在本書出版中不僅幫助我校正排版錯誤和製備幾何插圖,而且正是由於他的推動本書才得以發表,因為他在得知我對天體軌道形狀的證明之後,一直敦促我把它提交皇家學會,此後,在他們善意的鼓勵和請求下,我才決定把它們發表出來。但在開始考慮月球運動的均差,與重力及別的力的規律和度量有關的某些其他情形,以及物體按照已知定律受吸引的軌跡形狀,若干物體相互間的運動,在阻滯介質中的物體運動,介質的力、密度和運動,彗星的軌道等等諸如此類的問題之後,我延遲了這項出版,直到我對這些問題都做了研究,並能將它們放到一起提出之時。與月球運動有關的內容(由於不太完備)我都囊括在命題66的推論中,以免此先就得提出並闡明一些勢必牽扯到某種過於繁冗而與本書的宗旨不相合的方法的問題,從而打亂其他命題的連貫性。至於事後所發現的遺漏問題,我只好安排在不太恰當的地方,免得再改變命題和引證的序號。懇望讀者耐心閱讀本書,對我就此困難課題所付之勞作給予評判,並在糾正其缺陷時勿太過苛求。

1686年5月8日於劍橋三一學院

《自然哲學之數學原理》

[英]牛頓 著 王克迪 譯

北京大學出版社2018年6月出版