每天好玩的數學
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“24點遊戲”是大家非常熟悉的數學益智遊戲，它的遊戲規則是：在除掉大小王之外52張撲克牌中任取4張牌，看能否在其間添加四則運算符號和括號得出24。其中A、J、Q、K分別代表數字1、11、12、13。
有兩個與之相關的數學問題值是我們研究。從一副撲克牌中任取4張牌，一共有多少種可能的出牌組合？此其一。在所有可能的出牌中，有多少種組合是可以算出24的？此其二。
第一個問題是一個排列組合問題，對於所選的4張牌有以下5種情況：
①4張牌點數都不相同，共有
種組合。
②其中2張牌點數相同，另兩張牌點數都不同，共有
種組合。
③其中2張牌點數相同，另2張牌點數也相同，共有
種組合。
④其中3張牌點數相同，另一張牌點數不同，共有
種組合。
⑤4張牌點數都相同，共有13種組合。
所以，所有的可能情況數為：
在旅美科普作家蔣迅與數學史專家王淑紅最新出版的數學科普著作《數學都知道》第一分冊中提到了一個更簡潔的計算公式：
其中
即
。
如此簡潔的一個公式是如何得到的呢？這需要用到組合數學中的隔板法。
用
表示點數為i（i=1,2,3,…,13）的撲克牌在四張牌中出現的次數，那麼“24點遊戲”的所有可能出牌組合數即為方程
的非負整數解的個數。令
，那麼“24點遊戲”的所有可能出牌組合數即為方程
的正整數解的個數。這個問題又等價於把17個相同的小球放入13個盒子中，每個盒子至少一個球，問有多少种放法？設想把17個小球排成一排，則小球與小球之間有16個空隙，那麼問題又相當於在16個空隙中插入12塊隔板的方法數。顯然有
種插入方法，亦即
。
對於第二個問題，可能與你所期待的相反，並沒有什麼快捷的方法得出答案，而只能通過枚舉的方法一個一個進行判斷。根據計算機編程得出的結果，在這1820種可能的組合中，有1362種組合是可以算出24的，即有458種組合算不出24。進一步的研究表明，在所有1362種可解組合中：
有515 種組合有且只有1個解；
有427種組合有且只有2個解；
有216種組合有且只有3個解；
有125種組合有且只有4個解；
有31種組合有且只有5個解；
有17種組合有且只有6個解；
有17種組合有且只有7個解；
有8種組合有且只有8個解；
有2種組合有且只有9個解；
有3種組合有且只有10個解；
最後，只有（2，4，8，10）有11個解。
以上，有且只有1個解的意思是，比如（1，1，1，8）只有1種方式算24：（1+1+1）×8=24，又比如（1，1，2，6）只有2種方式算24：(1+1)×6×2和(2+1+1)×6，即有且只有2個解。
現在人們玩“24點遊戲”往往把乘方、開方、階乘等算符也用上，在這樣的情況下又有多少中可解的組合呢？這個問題就留給各們讀者去思考吧！
（感謝蔣迅老師為本文提供指導意見）
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